數(shù)字邏輯第三講邏輯函數(shù)的標準形式第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六1.格雷碼利用異或邏輯求格雷碼如：(13)10=(01101)21011第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六例1.兩個單刀雙擲開關A、B，分別安裝在樓上和樓下。上樓之前在樓下開燈，上樓后關燈；反之下樓之前在樓上開燈，下樓后關燈。試建立其邏輯函數(shù)式。解：假設A為樓上開關，B為樓下開關，A、B為輸入變量。Y表示燈，為輸出變量。A=1、B=1時開關向上；A=0、B=0時開關向下。Y=1時燈亮；Y=0時燈暗。ABY0001101110012.建立邏輯函數(shù)第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六例2.建立飛機允許滑跑信號的邏輯函數(shù)，滑跑需滿足以下條件：(1)發(fā)動機開關接通(2)飛行員入座，保險帶扣上(3)乘客入座，保險帶扣上；或座位上無乘客解：假設①發(fā)動機開關接通S=1②飛行員入座A=1，保險帶扣上B=1③乘客入座Mi=1，保險帶扣上Ni=1④允許滑跑F=1F=f(S,A,B,Mi,Ni)=SAB(M1N1+M1)(M2N2+M2)‥‥‥

=SAB(N1+M1)(N2+M2)‥‥‥第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六3.反演規(guī)則例.求F=A[B+(CD+EG)]的反函數(shù)F方法一：反演規(guī)則F=A+B(C+D)(E+G)方法二：直接對F求反F=A[B+(CD+EG)]=A+B+(CD+EG)=A+B·CD+EG=A+B·CD·EG=A+B·(C+D)(E+G)第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六邏輯函數(shù)的標準形式內(nèi)容：最大項和最小項的定義及其性質(zhì)邏輯函數(shù)的標準形式及其求取方法目的與要求： 理解并掌握最大項和最小項之間的關系； 掌握邏輯函數(shù)的標準形式及其求取方法；重點與難點：重點：最大項和最小項之間的關系；難點：最大項的應用。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式。一種形式的函數(shù)表達式相應于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。邏輯函數(shù)的表達式(1)與或表達式：Y=AB+AC(2)或與表達式：Y=(A+B)(A+C)(3)與非-與非表達式：Y=AB·AC(4)或非-或非表達式：Y=A+B+A+C(5)與或非表達式：Y=AB+AC第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六邏輯函數(shù)的標準形式

一個邏輯函數(shù)具有唯一的真值表，但它的邏輯表達式不是唯一的。邏輯函數(shù)存在一個唯一的表達式形式即標準形式。

一、最小項與最大項

1.最小項設一邏輯函數(shù)為利用互補律A+=1對函數(shù)進行擴展變換得：

最小項：與項中包含了全部的輸入邏輯變量，每個輸入邏輯變量在與項中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。又稱為標準與項。第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六對于有n個輸入變量（自變量）的邏輯函數(shù)，變量有2n種取值組合，因此有2n個最小項。全部由最小項構(gòu)成的與-或表達式稱為函數(shù)的最小項表達式，又稱為標準與-或表達式或標準積之和式。

為簡化書寫，用mi來表示一個最小項。m的下標i實際上是該最小項將其原變量用1、反變量用0代入構(gòu)成的二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為的十進制數(shù)。

前述邏輯函數(shù)F可用最小項的代號表示為：

F（A，B，C）=m7+m6+m3+m1

=∑m（1，3，6，7）

第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六最小項具有下列性質(zhì)：①n個變量構(gòu)成的任何一個最小項mi，有且僅有一種變量取值組合使其值為1，該種變量取值組合即序號i對應的二進制數(shù)。換言之，在輸入變量的任何取值組合下必有一個最小項，并且只有一個最小項的值為1。②任意兩個不同最小項相與為0，即mi·mj=0（i≠j）。③n個變量的全部最小項相或為1，即

。④n個變量的任何一個最小項有n個相鄰最小項。所謂相鄰最小項是指兩個最小項中僅有一個變量不同，且該變量分別為同一變量的原變量和反變量。因此兩個相鄰最小項相加一定能合并成一項并消去一對以原變量和反變量形式出現(xiàn)的因子。如

第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六2.最大項

繼續(xù)討論前式。因為

所以最大項：或項中包含了全部的輸入邏輯變量，每個輸入邏輯變量在或項中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。這種包含所有輸入邏輯變量的或項稱為最大項（或標準或項）。

第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六

對于有n個輸入變量（自變量）的邏輯函數(shù)，變量有2n種取值組合，因此有2n個最大項。全部由最大項構(gòu)成的或—與表達式稱為函數(shù)的最大項表達式，又稱為標準或—與表達式或標準和之積式。為了簡化書寫，用Mi來表示一個最小項。M的下標i實際上是該最大項將其原變量用0、反變量用1代入構(gòu)成的二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為的十進制數(shù)。

邏輯函數(shù)F的最大項代號表示：

F（A，B，C）=M0M2M4M5=∏M（0，2，4，5）

第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六最大項具有如下性質(zhì)：①n個變量構(gòu)成的任何一個最大項Mi，有且僅有一種變量取值組合使其值為0，該種變量取值組合即序號i對應的二進制數(shù)。換言之，在輸入變量的任何取值組合下必有一個最大項，并且只有一個最大項的值為0。②相同變量構(gòu)成的兩個不同最大項相或為1，即Mi+Mj=1（i≠j）。③n個變量的全部最大項相與為0，即。④n個變量的任何一個最大項有n個相鄰最大項。第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六列出函數(shù)F的真值表及其最小項和最大項代號如下表。

通過比較可以發(fā)現(xiàn)相同編號的最小項和最大項之間存在互補關系，即：所以：mi+Mi=1mi·Mi=0第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六因此，同一函數(shù)的最小項表達式和最大項表達式之間的關系為：

F（A，B，C）=∑m（1，3，6，7）

=∏M（0，2，4，5）

推廣到一般情況，同一邏輯函數(shù)從一種標準形式變換為另一種標準形式時，只需將∑m和∏M符號互換，并在其后的括弧中填入原標準形式缺少的數(shù)字即可。如：F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14）=∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六代數(shù)變換法求函數(shù)的最小項表達式

首先將函數(shù)變換成一般與-或表達式。從一般與-或表達式得到最小項表達式只須利用互補律（A+=1）將每個與項乘上未出現(xiàn)的變量的原變量與反變量和的形式，展開后即得到最小項表達式。例1：求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小項表達式。二、邏輯函數(shù)標準形式的求取方法-----------代數(shù)變換法和真值表法第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六2.真值表法求函數(shù)的最小項表達式將真值表中使函數(shù)值為1的變量取值組合對應的最小項相加，即可得到函數(shù)F的最小項表達式。例2：寫出下列真值表對應的最小項表達式。F(A,B,C)=m0+m1+m4+m5+m6

=∑m（0，1，4，5，6）

第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六3.代數(shù)變換法求函數(shù)的最大項表達式首先將函數(shù)變換成一般或—與表達式。從一般或—與表達式得到最大項表達式只須利用吸收律(A+B)(A+)=A將每個非最大項的或項A擴展成最大項，即可得到最大項表達式。其中B為非最大項或項中所缺少的變量。4.真值表法求函數(shù)的最大項表達式

作出函數(shù)F的真值表。將真值表中使函數(shù)值為0的變量取值組合對應的最大項相與，即可得到函數(shù)F的最大項表達式。

第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六5.綜合舉例例1：如果邏輯函數(shù)F(A，B，C，D)=∑m(1，4，9，12)，G(A，B，C，D)=∏M(1，4，9，12)，求F+G=？解：F和G是具有相同變量個數(shù)的兩個函數(shù)，F(xiàn)(A，B，C，D)=∑m(1，4，9，12)意味著ＡＢＣＤ取值為０００１、０１００、１００１、１１００時F的值為1，否則F的值為0。G(A，B，C，D)=∏M(1，4，9，12)意味著ＡＢＣＤ取值為０００１、０１００、１００１、１１００時G的值為0，否則G的值為1。由此可見，F(xiàn)和G互為反函數(shù)。所以F+G=1第19頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六例2：已知邏輯函數(shù)F（A，B