多圓盤上的Toeplitz算子Toeplitz算子是一類非常重要的線性算子，它由一個(gè)固定的矩陣構(gòu)成，在不同的向量空間之間進(jìn)行線性變換。在數(shù)學(xué)、工程和物理等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，尤其是在時(shí)間序列和圖像處理中。而多圓盤上的Toeplitz算子更是Toeplitz算子的一種自然推廣，它們?cè)诙鄠€(gè)圓盤上定義并被廣泛研究。本文將介紹多圓盤上的Toeplitz算子的定義、特性及其應(yīng)用。一、多圓盤上的Toeplitz算子的定義在復(fù)平面上，一個(gè)圓盤$D_r(a)$表示以$a$為圓心、半徑為$r$的開圓盤（不包含邊界）；而多圓盤是若干個(gè)圓盤的并集。設(shè)$D_1,D_2,\\cdots,D_n$是復(fù)平面上的$n$個(gè)互不相交的圓盤，它們的半徑分別為$r_1,r_2,\\cdots,r_n$，圓心為$a_1,a_2,\\cdots,a_n$，那么它們的多圓盤定義為：$$D=D_{r_1}(a_1)\\cupD_{r_2}(a_2)\\cup\\cdots\\cupD_{r_n}(a_n)\\quad.$$為方便起見，常常用不含圓的部分稱作圓盤。多圓盤上的Toeplitz算子就是在這樣的一個(gè)多圓盤上定義。設(shè)$f$是$D$中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，我們用$s$表示一個(gè)包含$D$的路徑，它與圓盤$D_i$沒有公共部分，并沿圓$|z_i-a_i|=r_i$順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)一圈，即$s(s^{-1}=|z_i-a_i|=r_i)$。對(duì)于一個(gè)$p\\ins$，記$t_p$表示$s$上離$p$最近的點(diǎn)，則$f$在$p$處的$n$次Toeplitz近似定義為$$(T_nf)(p)=\\frac1{2\\pi}\\oint_sf(z)\\frac1{(z-p)^{n+1}}dz\\quad.$$其中，$\\oint_s$表示沿$s$的積分方向?qū)瘮?shù)$f(z)(z\\ins)$取反，可以采用格林公式進(jìn)一步證明$T_nf$確實(shí)是一個(gè)Toeplitz算子，且它是一個(gè)有界線性算子。二、多圓盤上的Toeplitz算子的特性1.Toeplitz算子的定理多圓盤上的Toeplitz算子有類似復(fù)平面上的Toeplitz算子的一些性質(zhì)。其中一個(gè)最重要的定理是Toeplitz算子的穿越數(shù)公式。設(shè)$D$是一個(gè)有界區(qū)域，在它的邊界$\\partialD$上有一個(gè)圓盤$D_r(a)$，則多圓盤上的Toeplitz算子滿足如下公式：$$\\dim\\kerT_n=-\\frac1{\\pi}\\int_{\\partialD}\\ln|z-a|n|dz|\\quad.$$這個(gè)公式描述的是Toeplitz算子的核，即它的零空間，也稱為特征子空間，它是一個(gè)按照特征值排序的無(wú)窮維線性子空間。在實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)用這個(gè)公式來(lái)求取Toeplitz算子的核和特征值，并基于此建立算法，如解微分方程、壓縮感知等。特別地，當(dāng)多圓盤上的Toeplitz算子是正規(guī)的（它的零空間與共軛轉(zhuǎn)置的零空間相同），則它的特征值相應(yīng)地也是對(duì)稱的。2.多圓盤上的離散Toeplitz算子當(dāng)多圓盤上的Toeplitz算子可離散化時(shí)，計(jì)算會(huì)非常方便。離散化通常將連續(xù)函數(shù)$f$轉(zhuǎn)化為一個(gè)固定長(zhǎng)度的向量，即將其投影在一組滿足若干特定性質(zhì)的基向量上來(lái)對(duì)其進(jìn)行表示。特別地，對(duì)于仿射圓盤$D_r(a,\\theta)$，我們用一組自由基（freebasis）$a_{-n+1},a_{-n+2},\\cdots,a_0,a_1,\\cdots,a_n$來(lái)表示$f$，其中每個(gè)$a_k$是一個(gè)在圓盤$D_r(a,\\theta)$上的分段線性函數(shù)。這樣，多圓盤上的Toeplitz算子$T_n$就可以表示為$2n+1$階的線性矩陣$$T_n=\\begin{bmatrix}t_0&t_{-1}&\\cdots&t_{-n+1}\\\\t_1&t_0&\\cdots&t_{-n+2}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\t_{n-1}&t_{n-2}&\\cdots&t_0\\end{bmatrix}\\quad.$$其中，系數(shù)$\\{t_k\\}$構(gòu)成了一個(gè)離散化的Toeplitz矩陣，$t_k=(T_na)_k$。在這里，我們只是簡(jiǎn)單介紹了這個(gè)離散化，實(shí)際應(yīng)用中需要更深入的研究。三、多圓盤上的Toeplitz算子的應(yīng)用多圓盤上的Toeplitz算子在多個(gè)領(lǐng)域中都有應(yīng)用，以下列舉一些例子。1.建模和反演多圓盤上的Toeplitz算子可以被用來(lái)建立多個(gè)圓盤上的信號(hào)（如音樂、圖像等）的模型，并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)反演過(guò)程。在圖像處理中，多圓盤上的Toeplitz算子常被用到，特別是在壓縮傳感的圖像恢復(fù)中。例如，一張分解為許多圓盤上的圖像可以通過(guò)多圓盤上的Toeplitz算子來(lái)表示，同時(shí)，在壓縮感知的圖像采樣過(guò)程中，也能通過(guò)多圓盤上的伴隨Toeplitz算子計(jì)算采樣矩陣的共軛轉(zhuǎn)置操作開始采樣過(guò)程，從而大幅提高了采樣效率。2.數(shù)值計(jì)算多圓盤上的Toeplitz算子可以被用于數(shù)值微積分問題上。例如，對(duì)于$n$個(gè)不同圓盤上的連續(xù)函數(shù)$f_1,f_2,\\cdots,f_n$，它們可能由不同的數(shù)值數(shù)據(jù)格式，其雖然具有某種相似性，但不容易直接運(yùn)用于數(shù)值逼近。利用多圓盤上的Toeplitz算子，可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一組某種基函數(shù)的線性組合，求