數(shù)值分析方程求根二分法第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)值計算中的基本原則(1)避免絕對值小的數(shù)做除數(shù);(2)避免兩相近數(shù)相減;(3)防止大數(shù)“吃”小數(shù)現(xiàn)象

a=109，b=9，在8位浮點數(shù)系統(tǒng)中做加法a+b=1.0000000×109+0.000000009×109由于只保留8位有效數(shù)，處于第九、十位的數(shù)09被舍去,實際操作是:

將

a的數(shù)據(jù)作為加法計算的最終結(jié)果.2/16第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六(4)盡量減少計算工作量(乘、除法次數(shù))例計算

P(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4的值秦九韶算法

P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))應(yīng)用:2進制數(shù)轉(zhuǎn)換為10進制數(shù)算法(11101110)2=27+26+25+0+23+22+2+0=((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=2383/16第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例1

計算

(

n=0,1,···,20

)4/16(分部積分法)第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六初值：I0=1–e

–1≈0.63212055882856

n=20時，S20=-30.19239488558378遞推公式:In=1–nIn-1

(I0=1-e-1)S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;forn=2:20S(n)=1-n*S(n-1)end實際計算:Sn=1-nSn-1,S0=0.63212055882856

|e(S0)|=|S0–I0|<0.5·10-14error5/16第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六由In=1-

nIn-1Sn-In=-

n(Sn-1-

In-1)則e(Sn)=–ne(Sn-1)=······=(n!)(–1)ne(S0)新算法:In-1=(1-In)/nS(30)=1/31forn=30:-1:2S(n-1)=(1-S(n))/n;endS0=1-S(1),S(1:21)初值誤差在算法執(zhí)行過程中不斷增大,這種算法稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。6/16Sn-1-In-1=–(Sn

-

In)/n和Sn=1-nSn-1得Sn-1=(1-Sn)/n第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六

在算法執(zhí)行過程中,舍入誤差對計算結(jié)果影響不大的一類算法被稱為數(shù)值穩(wěn)定算法;否則稱為不穩(wěn)定算法.初始誤差在算法執(zhí)行過程中不斷減小,這種算法稱為數(shù)值穩(wěn)定算法。|e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)|=|S21-I21|/21=·······=|S30-I30|/(21·22·23·····30)7/16第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六

r

d

例2.水中浮球問題

有一半徑r

=10cm的球體,密度

=0.638.球體浸入水中后,浸入水中的深度d

是多少？

根據(jù)阿基米德定律,物體排開水的質(zhì)量就是水對物體的浮力。整理得:d3–3rd2+4r3

=0注意：上式已知物體密度

=0.638,r=10,水的密度為1.第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六由

=0.638,r=10.代入,得d3–30d2+2552=0令

f(x)=x3–30x2+2552,函數(shù)圖形如下所示求解方程

f(x)=0,即是求函數(shù)

f(x)的零點.f(x)的零點所在區(qū)間為:[0,20]9/16roots([l-3002552])ans=26.3146

11.8615-8.1761第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六第一步:對根進行隔離,找出隔根區(qū)間,或在隔根區(qū)間內(nèi)確定一個解的近似值x0;設(shè)f(x)=0的根為

x*,通過迭代計算,產(chǎn)生序列:

x0

x1

x2

···

xn·········用數(shù)值方法求非線性方程的根,分兩步進行:第二步:逐步逼近,利用近似解x0(或隔根區(qū)間)

通過迭代算法得到更精確的近似解.只須10/16非線性方程算法第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六已知方程

f(x)=0有一隔根區(qū)間[a,b],且f(x)滿足f(a)·f(b)<0,則先將[a,b]等分為兩個小區(qū)間,判斷根屬于哪個小區(qū)間,舍去無根區(qū)間保留有根區(qū)間[a1,b1];把區(qū)間[a1,b1]一分為二,進一步判斷根屬于哪個更小的區(qū)間[a2,b2],如此不斷二分以縮小區(qū)間長度.11/16[a1,b1][a2,b2][a3,b3]二分法迭代思路第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六[a,b]x0=0.5(a+b)[a1,b1]=[a,x0][a1,b1]=[x0,b]x1=0.5(a1+b1)f(a1)f(b1)<0已知f(x)=0在[a,b]內(nèi)有一根,且f(a)f(b)<0(1)計算:yaf(a),x00.5(a+b),y0f(x0)

判斷,若y0=0,則x0是根,否則轉(zhuǎn)下一步;(2)判斷,若y0·ya<0,則a1a,b1

x0

否則

a1x0,b1b,yay012/16二分法算法第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六二分法迭代將得到一系列隔根區(qū)間

定理2

設(shè)x*是

f(x)=0在[a,b]內(nèi)的唯一根,且

f(a)·f(b)<0,則二分計算過程中,各區(qū)間的中點數(shù)列性質(zhì):1.f(an)·f(bn)<0;2.bn–

an=(b–a)/2n滿足:|xn–x*|≤(b–a)/2n+113/16二分法第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例3

用二分法求方程

在區(qū)間

[0,1]內(nèi)的根,要求誤差不超過2-5.x=-1:.5:2;y=exp(-x)-sin(pi*x/2);plot(x,y)grid有一個點介于0和1之間.顯然f(0)·f(1)<0,14/16解:

令

,

繪圖如下第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六

00.50000.25000.50000.37500.50000.43750.50000.43750.468815/16f=inline('exp(-x)-sin(pi*x./2)');a=0;b=1;er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=1/2^5;whileer>er0x0=.5*(a+b);y0=f(x0);

ifya*y0<0b=x0;

elsea=x0;ya=y0;

enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1end第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六水中浮球問題:x3–30x2+2552=0

x

1020101510.000012.500011.250012.500011.250011.875011.562511.875011.718811.875011.796911.875011.835911.875011.855511.875011.855511.865211.860411.865216/1611.8628f=inline('x.^3-30*x.^2+2552');a=0;b=20;er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=.005;whileer>er0x0=.5*(a+b);y0=f(x0);

ifya*y0<0b=x0;

elsea=x0;ya=y0;

enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1;end第16頁