PAGEPAGE101.如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積．2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點(diǎn)M，邊EF交邊AC于點(diǎn)N．（1）求證：△BMD∽△CNE；（2）當(dāng)BD為何值時(shí)，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？（3）設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？并求y的最大值．3.如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=x交于點(diǎn)C．在線段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）．（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．4.如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3，6）．（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？1.（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C?！摺鰽BC≌△DEF，∴∠AEF=∠B。又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE?！唷鰽BE∽△ECM。（2）解：能?！摺螦EF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF?！郃E≠AM。當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM（SAS）?！郈E=AB=5?！郆E=BC﹣EC=6﹣5=1。當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA?！唷螹AE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA。又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴?！郆E=BC﹣EC=6﹣。綜上所述，當(dāng)BE=1或時(shí)，重疊部分能構(gòu)成等腰三角形。（3）解：設(shè)BE=x，則CE=6－x∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴?！?。∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為。又∵當(dāng)BE=x=3=BC時(shí)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC?！?。此時(shí)，EF⊥AC，∴?！唷！喈?dāng)線段AM最短時(shí)，重疊部分的面積為。2.解：（1）證明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°?！摺鱀EF是等邊三角形，∴∠FDE=∠FED=60°。科網(wǎng)]∴∠MDB=∠NEC=120°。∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°?！唷鰾MD∽△CNE。（2）過點(diǎn)M作MH⊥BC，∵以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，∴MH=MF。設(shè)BD=x，∵△DEF是等邊三角形，∴∠FDE=60°。∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B?！郉M=BD=x?！郙H=MF=DF﹣MD=4﹣x。在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=，.Com]解得：x=16﹣8?！喈?dāng)BD=16﹣8時(shí)，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切。（3）過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K，∵AB=AC，∴BK=BC=×8=4∵∠B=30°，∴AK=BK?tan∠B=4×?！郤△ABC=BC?AK=×8×。由（2）得：MD=BD=x∴MH=MD?sin∠MDH=x，∴S△BDM=?x?x=x2?！摺鱀EF是等邊三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x?！摺鰾MD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=?！郤△CEN=（4﹣x）2?！鄖=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）?！喈?dāng)x=2時(shí)，y有最大值，最大值為。3.解答：解：（1）∵直線y=﹣x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，∴x=0時(shí)，y=4，y=0時(shí)，x=8，∴==，當(dāng)t秒時(shí)，QO=FQ=t，則EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長度；（2）如圖1，當(dāng)PQ=PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，則∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴8﹣3t=t，解得：t=2，如圖2，當(dāng)PQ=PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8﹣2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴t=3t﹣8，解得：t=4；（3）如圖1，當(dāng)Q在P點(diǎn)的左邊時(shí)，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴S矩形PEFQ=QP?QF=（8﹣3t）?t=8t﹣3t2，當(dāng)t=﹣=時(shí)，S矩形PEFQ的最大值為：=4，如圖2，當(dāng)Q在P點(diǎn)的右邊時(shí)，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴S矩形PEFQ=QP?QE=（3t﹣8）?t=3t2﹣8t，∵當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤4，當(dāng)t=﹣=時(shí)，S矩形PEFQ的最小，∴t=4時(shí)，S矩形PEFQ的最大值為：3×42﹣8×4=16，綜上所述，當(dāng)t=4時(shí)，S矩形PEFQ的最大值為：16．4.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。解答：解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．（2012義烏市）OA=．…（3分）（2）是一個(gè)定值，理由如下：如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，此時(shí)；②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，∴∠MQH=∠GQN，又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN…（5分），∴，當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得．…（7分）①①（3）如答圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF=，∴點(diǎn)F（，0），設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1=6，x2=3（舍去），∴點(diǎn)B（6，2），∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，∴AB=5…（8分）；（求AB也可采用下面的方法）設(shè)直線AF為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（，0）代入得k=，b=10，∴，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB=5…（8分）（其它方法求出AB的長酌情給分）在△ABE與△OED中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠D