2020年山東省濟南市高考數學一模試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（5分）已知全集U=H,集合A={%I%C.f(%)=%一]sin2C.f(%)=%一]sin2%5.（5分）方艙醫(yī)院的創(chuàng)設，在抗擊新冠肺炎疫情中發(fā)揮了不可替代的重要作用.某方艙醫(yī)院醫(yī)療小組有七名護士，每名護士從周一到周日輪流安排一個夜班.若甲的夜班比丙晚

一天，丁的夜班比戊晚兩天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙第1頁（共26頁）A.[0,1] B.（0,1） C.（-8,1]D.（-8,1）（5分）設復數z=含（其中i為虛數單位），則復數z在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限（5分）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為400N,則該學生的體重（單位：依）約為（ ）則該學生的體重（單位：依）約為（ ）1212cos%TOC\o"1-5"\h\z的正中間，則周五值夜班的護士為（ ）A.甲 B.丙 C.戊 D.庚（5分）已知拋物線y2=4%的焦點為R直線l過F且與拋物線交于A,B兩點，過A作拋物線準線的垂線，垂足為M，/MAF的角平分線與拋物線的準線交于點P,線段AB的中點為。.若AB1=8,則IPQ1=（ ）A.2 B.4 C.6 D.8（5分）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，被世界公認為組合數學的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻之一.在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有圖1：“以五居中，五方白圈皆陽數，四隅黑點為陰數”這就是最早的三階幻方，按照上述說法，將1到9這九個數字，填在如圖2所示的九宮格里，九宮格的中間填5,四個角填偶數，其余位置填奇數.則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數字的和都等于15的概率是()131C.一72A.是()131C.一72A.D.144（5分）已知直線y=a%+b（b>0）與曲線y=%3有且只有兩個公共點A（巧，y1）,B（%2,為），其中，則%1<%2，則2%1+%2=（ ）A.-1BA.-1B.0C.1D.a二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.（5分）原油價格的走勢在一定程度上反映了全球的經濟形勢.如圖是2008年至2019年國際原油價格高低區(qū)間的對比圖.第2頁（共26頁）下列說法正確的是（ ）2008年原油價格波動幅度最大2008年至2019年，原油價格平均值不斷變小2013年原油價格平均值一定大于2018年原油價格平均值2008年至2019年，原油價格波動幅度均不小于20美元/桶1,%>0（5分）已知符號函數sgn（x）={0，x=0下列說法正確的是（ ）（-1,x<0A.函數y=sgn（x）是奇函數B.對任意的x>1,sgn（lnx）=1C.函數y=ex-sgn（-x）的值域為（-8,1）D.對任意的xGR,Ix1=x,sgn（x）（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點（點P不與點C,C1重合），過點P作平面a分別與棱BC,CD交于M,N兩點，若CP=CM=CN,則下列說法正確的是（ ）A.A1C，平面aB.存在點P，使得Ag〃平面a第3頁（共26頁）5C.存在點P，使得點A1到平面a的距離為D.用過P,M,D1三點的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形(5分)已知函數f(x)=(sinx+cosx)Isinx-cosxI,下列說法正確的是( )f(x)是周期函數nf(x)在區(qū)間［-2.上是增函數2 2kn,C.右f(xi)I+If(x2)I=2,則xi+x2=2((kGZ)D.函數g(x)=f(x)+1在區(qū)間［0,2n］上有且僅有1個零點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分TOC\o"1-5"\h\z萬 2一.1 - 萬(5分)已知cos(2a-^)=3，則:；-sin2(a-')的值為 .3 3 2 6(5分)已知雙曲線C：老-藝=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓(x-2)2+y2a2匕2 ，=1相切，則雙曲線的離心率為 ._ _ 兀(5分)已知。，R是夾角為3的單位向量，若Ia4+b耳I=V3(a,bGR),則Ua+b的最大值為.(5分)古希臘數學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A,B距離之比為常數人(入>0且入W1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體ABCD-A1B1clD1中，AB=2AD=2AA1=6,點E在棱AB上，BE=2AE,動點P滿足BP=V3PE.若點P在平面ABCD內運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為;若點P在長方體ABCD-A1B1C1D1內部運動，F(xiàn)為棱C1D1的中點，M為CP的中點，則三棱錐M-B1CF的體積的最小值為 .四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟(10分)若數歹U｛an｝滿足an+12-an2=p(nGN+,p為常數)，則稱數列｛an｝為等方差數列，p為公方差.第4頁(共26頁)

(1)已知數列{cn},{dn},{xn},{yn}分別滿足cn=2020,dn=Vn+1,xn=2n+1,yn=3n,從上述四個數列中找出所有的等方差數列(不用證明)(2)若數列{an}是首項為1,公方差為2的等方差數列，求數列{an2}的前n項和Sn5技，一.- a(12分)如圖，平面四邊形A5C。，點B,C,D均在半徑為一的圓上，且NBCD=3.3 3(1)求BD的長度；(2)若AD=3,NADB=2NABD,求△ABD的面積.(12分)如圖1,平面四邊形ABCD中，AB=AC=五,AB±AC,AC±CD,E為BC的中點，將A4CD沿對角線AC折起，使CD±BC,連接BD，得到如圖2所示的三棱錐D-ABC.(1)證明：平面ADE，平面BCD；兀(2)已知直線DE與平面ABC所成的角為「求二面角A-BD-C的余弦值.4(12分)網絡購物已經成為人們的一種生活方式.某購物平臺為了給顧客提供更好的購物體驗，為人駐商家設置了積分制度，每筆購物完成后，買家可以根據物流情況、商品質量等因素對商家做出評價，評價分為好評、中評和差評平臺規(guī)定商家有50天的試營業(yè)時間，期間只評價不積分，正式營業(yè)后，每個好評給商家計1分，中評計0分，差評計-1分，某商家在試營業(yè)期間隨機抽取100單交易調查了其商品的物流情況以及買家的評價情況，分別制成了圖1和圖2(1)通常收件時間不超過四天認為是物流迅速，否則認為是物流遲緩；請根據題目所給第5頁(共26頁)信息完成下面2X2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為“獲得好評”與物流速度有關?好評中評或差評合計好評中評或差評合計物流迅速物流遲緩30合計(2)從正式營業(yè)開始記商家在每筆交易中得到的評價得分為物流迅速物流遲緩30合計(2)從正式營業(yè)開始記商家在每筆交易中得到的評價得分為X.該商家將試營業(yè)50天期間的成交情況制成了頻數分布表，以試營業(yè)期間成交單數的頻率代替正式營業(yè)時成交單數發(fā)生的概率.成交單數363027天數102020成交單數363027天數102020(I)求X的分布列和數學期望;(I)求X的分布列和數學期望;(II)平臺規(guī)定，當積分超過10000分時，商家會獲得“誠信商家”稱號，請估計該商家從正式營業(yè)開始，1年內(365天)能否獲得“誠信商家”稱號.附：K2=n(ad—bc)2(a+b')(c+d)(a+c)(b+d)0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635k0附：K2=n(ad—bc)2(a+b')(c+d)(a+c)(b+d)0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635k021.(12分)在平面直角坐標系xOy中,①已知點A(V3,0),直線l：x二歲動點P滿足到點A的距離與到直線l的距離之②已知圓C的方程為x2+y2=4,直線l為圓C的切線，記點A(V3,0),(-V3,0)到直線l的距離分別為4,d2,動點P滿足IPA1=由，IPB1=d2；第6頁(共26頁)③點S,T分別在％軸，y軸上運動，且1ST!=3,動點P滿足稱=2欠+1歷；J J(1)在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程；(2)記(1)中的軌跡為E，經過點D(1,0)的直線l交E于M,N兩點，若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點。，求點Q縱坐標的取值范圍.22.(12分)已知函數f(x)=以”—：-D,且曲線丁=于(%)在(2,f(2))處的切線斜率X2為1.(1)求實數4的值；(2)證明：當x>0時，f(x)>1；1(3)若數列｛xn｝滿足e"=f(xn),且巧制，證明：2喉久n-11<1.第7頁(共26頁)2020年山東省濟南市高考數學一模試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（5分）已知全集U=H,集合A={%I%2>%}，則CuA=（ ）A.[0,1] B.（0,1） C.（-8,1]D.（-8,1）【解答】解：\?集合A={%I%2>%}={%|%<0或%>1},ACUA={%I0W%W1},故選：A.（5分）設復數z=含（其中i為虛數單位），則復數z在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限Az???2i_2i（l—i）【解答]解：，z=4一（1+D（1T）-1+1'???復數z所對應的點的坐標為（1,1）,位于第一象限.故選：A.3.（5分）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為400N,則該學生的體重（單位：依）約為（ ）【解答】解：由題意知，耳=%=400,夾角9=60°所以<5十月+月=0,即萬=-（耳+3）;第8頁（共26頁）所以次=(&+g)2=4002+2X400X400Xcos60°+4002=3X4002；7 r―,、IGI=400j3(N),則該學生的體重（單位：kg）約為4073=40X1.732心69（kg）,故選：B.1D.f(x)=x—-cosx2【解答】解：由圖象可知，函數的定義域為R，故排除A；又f（0）=0,故排除D；若選擇B，則fG）=[+s嗎=^+1>1,與圖象不符.4 4 2 4故選：C.5.（5分）方艙醫(yī)院的創(chuàng)設，在抗擊新冠肺炎疫情中發(fā)揮了不可替代的重要作用.某方艙醫(yī)院醫(yī)療小組有七名護士，每名護士從周一到周日輪流安排一個夜班.若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚兩天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中間，則周五值夜班的護士為（ ）A.甲 B.丙 C.戊 D.庚【解答】解：因為己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中間，所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日.因為乙的夜班比庚早三天，所以乙可能在星期二，三，如果乙在星期三，則庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但與甲的夜班比丙晚一天矛盾，則乙在周二，庚在周五，故選：D.第9頁（共26頁）

(5分)已知拋物線y2=4%的焦點為R直線l過F(5分)已知拋物線y2=4%的焦點為R直線l過F且與拋物線交于A,B兩點，過A作拋物線準線的垂線，垂足為M，/MAF的角平分線與拋物線的準線交于點P,線段AB的中點為。.若AB1=8,則IPQ1=( )A.2 B.4 C.6 D.8【解答】解：由題意，拋物線y2=4%的焦點為F(1,0),畫出圖形，可知PF±AB,AM=AF,設AB：y=k(%-1)與拋物線方程聯(lián)立，可得可得k2%2-(2k2+4)%+k2=0,所以％1+%2=2k2+4 一—^^—,%1%2=1,2k2+4線段AB的中點為Q.若ABI=8,%1+%2+p=8,即 +2=8,解得k=±1,K2所以中點k2+2 / 、Q的橫坐標：——=3,Q(3,2),

K2PF：y=-%+1,與%=-1的解得P(-1,2),所以PQ=4.故選：B.(5分)洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，被世界公認為組合數學的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻之一.在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有圖1：“以五居中，五方白圈皆陽數，四隅黑點為陰數”這就是最早的三階幻方，按照上述說法，將1到9這九個數字，填在如圖2所示的九宮格里，九宮格的中間填5,四個角填偶數，其余位置填奇數.則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數字的和都等于15的概率是()第10頁(共26頁)

131C.172A.131C.172A.D.144【解答】解：九宮格的中間填5,四個角填偶數，其余位置填奇數，基本事件總數n=盟組=576，每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數字的和都等于15；必須滿足1和9對著即占④⑧或②⑥，2和8對角對著即占①⑤或③⑦，4和6對角對著即占①⑤或③⑦，3和7對著即占④⑧或②⑥；先讓1去挑位置，有②④⑥⑧4種選擇，9隨之確定;.然后讓8去挑位置，比如1挑⑧，則8只能占①或⑦，有2種選擇，其余隨之確定；故符合條件的共有：4X2=8種;故所求概率為：586172故所求概率為：586172故選：C.(5分)已知直線y=ax+b(b>0)與曲線y=x3有且只有兩個公共點A(x15y1),B(x2,為)，其中，則x1Vx2，則2x1+x2=( )A.-1BA.-1B.0C.1D.a【解答】解：直線y=ax+b(b>0)與曲線y=x3有且只有兩個公共點，即為b=x3-ax有兩個根，即函數y=x3-ax與y=b恰有兩個交點時滿足題意.做出兩個函數圖象：可知，x1是極大值點時滿足題意.,?*y‘=3x2-a，，3%i2=a.又b=%J-%=%3-a%，第11頁(共26頁)二%13-%23=a(%1-%2)，/.(x1-X2)(x12+X1X2+X22)=a(x1-X2),Vx]<X2,/.a=x12+X1x2+%22=3%12,：.2x12-x1x2-x22=0,?(2xi+x2)(xi-X2) 0,?2xi+x2=0.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.（5分）原油價格的走勢在一定程度上反映了全球的經濟形勢.如圖是2008年至2019年國際原油價格高低區(qū)間的對比圖.下列說法正確的是（ ）2008年原油價格波動幅度最大2008年至2019年，原油價格平均值不斷變小第12頁（共26頁）

2013年原油價格平均值一定大于2018年原油價格平均值2008年至2019年，原油價格波動幅度均不小于20美元/桶【解答】解：由圖可知，2008年原油價格波動幅度最大，A對；通過最高價，最低價，并不反應出平均值的大小，得不出結論，B錯；因為2013年原油價格最低價都比2018年原油價格最高值大，則2013年原油價格平均值一定大于2018年原油價格平均值，C對，由圖可知，2016年原油價格波動幅度均小于20美元/桶，D錯，故選：AC.1,%>0(5分)已知符號函數sgn(x)={0，x=0下列說法正確的是( )(-1,x<0A.函數y=sgn(x)是奇函數B.對任意的x>1,sgn(lnx)=1C.函數y=ex-sgn(-x)的值域為(-8,1)D.對任意的xGR,Ix1=x,sgn(x)【解答】解：A，畫出函數y=sgn(x)，的圖象，根據圖象對稱性判定函數y=sgn(x)是奇函數，故正確；B，對任意的x>1,lnx>0,可得sgn(lnx)=1,故正確;(-ex,%>0C,畫出圖象，即可得值域不為(-8,1)故錯0,%=0,exC,畫出圖象，即可得值域不為(-8,1)故錯第13頁(共26頁)（%,%>00，%=0，即可得，I%1=x,sgn（x），故正確.—X,%<0故選：ABD.（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點（點P不與點C,C1重合），過點P作平面a分別與棱BC,CD交于M,N兩點，若CP=CM=CN,則下列說法正確的是（ ）A.A1C，平面aB.存在點P，使得AC1〃平面a5C.存在點P，使得點A1到平面a的距離為D.用過P,M,D1三點的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【解答】解：連接AD1,D1P,AM.DB.易得AD1〃PM,CC1〃PM,C1D〃PN,DB//MN.對于A，可得正方體中A1C，面DBC1,即可得A1C，平面a,故A正確.5對于B,VA1C，平面a,且A1C=43>孑所以存在點P，使得點A1到平面a的距離為第14頁（共26頁）

5一一；，故正確.對于D，用過P，M,D1三點的平面去截正方體，得到的截面是四邊形PMAD1,PMWAQ1,四邊形PMAD1一定是梯形，故正確.故選：ACD.故選：ACD.12.(5分)已知函數f(x)=(sinx+cosx)Isinx-cosxl，下列說法正確的是( )A.f(x)是周期函數萬B萬B.f(x)在區(qū)間［—2冗：］上是增函數“萬C.若f(x1)l+lf(x2)C.若f(x1)l+lf(x2)D.函數g(x)=f(x)+1在區(qū)間［0,2n］上有且僅有1個零點【解答】解：f【解答】解：f(x)=(sinx+cosx)Isinx-cosxI='fcos2%—svn2x,svnx<cosxsvn2x—cos2x，svnx>cosxcos2%，svnx<cosx.、一cos2%，sinx>cosx其圖象如圖:其圖象如圖:?一、萬兀-f(x)在區(qū)間［-2；］上不是單調函數，故B錯誤;2 2第15頁(共26頁)

Zttt若（%pl+lf（馬）1=2,則/+%2=2（左eZ）,故c正確;函數g（%）=/（x）+1在區(qū)間［0,2川上有且僅有2個零點，故。錯誤.，說法正確的是AC故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分77" 2 1 TT 1（5分）已知cos（2a—可）=可，則5—sin2（a--）的值為_-【解答】解：,「cos（2a-5）=I，?J ?J??.；sin2（。蘭）另一j"2（Y）2 6 21/c??.；sin2（。蘭）另一j"2（Y）2 6 2=2C0S（2a—可）=2X3=3'1故答案為：=1（?>0,Z?>0）的兩條漸近線均與圓（％-2）2+y2久=1（?>0,Z?>0）的兩條漸近線均與圓（％-2）2+y2（5分）已知雙曲線C---=1相切，則雙曲線的離心率為2V3【解答】解：雙曲線。吟=1相切，則雙曲線的離心率為2V3【解答】解：雙曲線。吟3—=1（a>Q,匕2b>0）的兩條漸近線為b,y=±/,即為Z?%±qy=0,由漸近線與圓（％-2）2+"=1相切，可得化為a2=3b2,4由c2=a2+b2=^a2,可得e==竽?2V3故答案為：-T-.JTT（5分）已知或，說是夾角為1的單位向量，若I。,也1=V5（a,Z?eR）,則a+b的最【解答】解：由q,e.TOC\o"1-5"\h\zJI _【解答】解：由q,e.夾角為;■的單位向量，且I函3 j?乙.2 一一 冗 一2所以q2?e2^Z?le||pIcostb??e=3,1 1z 3 /化簡得cfl+ab+b2=3,第16頁（共26頁）

所以（a+b）2=3+abW3+（岑）2,當且僅當a=b時取“=”解得(a+b)2W4,所以a+b的最大值為2.故答案為：2.（5分）古希臘數學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比為常數人（入>0且入W1）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題:如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6,點E在棱AB上，BE=2AE,動點P滿足BP=V3PE.若點P在平面ABCD內運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為2V3_；若點P在長方體ABCD-A1B1cmi內部運動，F(xiàn)為棱C1D1的中點，M為CP的9中點,則三棱錐M-B1CF的體積的最小值為々【解答】解：①若點P在平面ABCD內運動時，如圖以A為原點距離平面直角坐標系，可得E（2,0）,B（6,0）.設P(x,y)，由BP=V3PE可得BP2=3PE2.即3(x-2)2+3y2=(x-6)2+y2,ox2+y2=12.則點P所形成的阿氏圓的半徑為2V3圓心為A,第17頁（共26頁）

②若點P在長方體ABCD-A1B1C1D1內部運動，由①可得點P在半徑為273,球心為A球上.如圖建立空間直角坐標系，可得A(33)則麗=(0如圖建立空間直角坐標系，可得A(33)則麗=(0,3,-3),FB1=(3,3,0,0),F(0,3,3),C(0,6,0),B1(3,6,0),AC=(-3,6,0)設面FB1C的法向量為晶=(%,y,z),濟?麗=濟?麗=3y—3z=0 .一/“ ，可得話=(1—1,—1)?、濟-FB1=3%+3y=0A到面FCB1的距離為d=嗎2=-9=373.\m\ 73???則p到面fcb1的距離的最小值為373-273=73,73:M為CP的中點，，M到面FCB1的距離的最小值”;■.則三棱錐M-B1CF的體積的最小值為1■$ ?竺=白X"X(372)2XB=91 3"叫234 2 49故答案為：273,-.4四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟17.(10分)若數歹U｛an｝滿足an+12_an2=p(nGN+,p為常數)，則稱數歹4｛an｝為等方差數列，p為公方差.(1)已知數列｛cn｝,｛dn｝,｛xn｝,｛yn｝分別滿足cn=2020,dn=Vn+1,xn=2n+1,yn=3n,從上述四個數列中找出所有的等方差數列(不用證明)；(2)若數列｛an｝是首項為1,公方差為2的等方差數列，求數列｛an2｝的前n項和Sn【解答】解：(1)由等方差數的定義可得：｛cn｝,｛dn｝為等方差數列.(2)數列｛an｝是首項為1,公方差為2的等方差數列，???*=1+2(n-1)=2n-1.第18頁(共26頁)???數歹U｛冊2｝的前n項和Sn=—+”)=n2.n n 25V3 萬(12分)如圖，平面四邊形A5C。，點B，C,D均在半徑為——的圓上，且NBCD=3.33(1)求BD的長度；(2)若AD=3,NADB=2NABD,求△ABD的面積.【解答】解：(1)二.由題意可知△BCD的外接圓半徑R為十，且NBCD=3.BD 5、/3???由正弦定理可得嬴即=2R=.'2,解得BD=5.(2)在4ABD中，??,/ADB=2NABD,??sinNADB=sin2NABD=2sinNABDcosNABD,AB2+BC2-AD2二AB=2AD?cosNABD=2AD- ,2AB-BD??BD=5,AD=3??AB=2/6,Z.cosNABD=/3-,sinNABD=苧，??Saabd=1AB?BD?sinNABD=2X2/6X5X/3=5/2.(12分)如圖1,平面四邊形ABCD中，AB=AC=/2,AB±AC,AC±CD,E為BC的中點，將AACD沿對角線AC折起，使CD±BC,連接BD，得到如圖2所示的三棱錐D-ABC.(1)證明：平面ADE，平面BCD；兀(2)已知直線DE與平面ABC所成的角為［求二面角A-BD-C的余弦值.4第19頁(共26頁)

VCD±BC,CD±AC,ACnBC=C,：.CD，平面ABC,,?AE5面ABC,AAE±CD,VAB=AC,E為BC中點，AE±BC,VBCnCD=C,AAE，平面ADE,VAEu平面ADE，二平面ADE，平面BCD.(2)解：由(1)知NDEC是直線DE與平面ABC所成角，, —兀-— ― —??/DEC=7，-CD=CE=1,4作EF//CD，交BD于點F,由(1)知EA,EB,EF兩兩垂直，以E為原點，EA,EB,EF所在直線分別為1,y,z軸，建立空間直角坐標系，則E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,1),由題意得平面BCD的法向量元=(1,0,0),標=(-1,1,0),疝=(-1,-1,1),設平面ABD的法向量訪=(%,y,z),1，2)，則『?標=r+y=。，令％=1,解得元=(],1，2)，. ＞.、 n-m 、/6?cos＜九，歷＞=二—一,,|n|-|m| 6由圖可知該二面角為銳角，面角A-BD-C的余弦值為+.6第20頁(共26頁)(12分)網絡購物已經成為人們的一種生活方式.某購物平臺為了給顧客提供更好的購物體驗，為人駐商家設置了積分制度，每筆購物完成后，買家可以根據物流情況、商品質量等因素對商家做出評價，評價分為好評、中評和差評平臺規(guī)定商家有50天的試營業(yè)時間，期間只評價不積分，正式營業(yè)后，每個好評給商家計1分，中評計0分，差評計-1分，某商家在試營業(yè)期間隨機抽取100單交易調查了其商品的物流情況以及買家的評價情況，分別制成了圖1和圖2(1)通常收件時間不超過四天認為是物流迅速，否則認為是物流遲緩；請根據題目所給信息完成下面2X2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為“獲得好評”與物流速度有關？好評 中評或差評 合計物流迅速物流遲緩 30合計(2)從正式營業(yè)開始，記商家在每筆交易中得到的評價得分為X.該商家將試營業(yè)50天期間的成交情況制成了頻數分布表，以試營業(yè)期間成交單數的頻率代替正式營業(yè)時成交單數發(fā)生的概率.成交單數 36 30 27天數 10 20 20(I)求X的分布列和數學期望；(II)平臺規(guī)定，當積分超過10000分時，商家會獲得“誠信商家”稱號，請估計該商家從正式營業(yè)開始，1年內(365天)能否獲得“誠信商家”稱號.附.K= n(ad_bc)2 叫：K (a+b)(c+d)(a+c)3+d)P(K三k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635第21頁(共26頁)

好評中評或差評合計物流迅速50555物流遲緩301545合計8020100.2_100x(50x15-30x5)2_100??K— 80x20x55x45 -IT>6-635,??.有99%的把握認為”獲得好評“與物流速度有關.(2)(I)由題意可知，X的可能取值是1,0,-1,每位買家給商家作出好評、中評、差評的概率分別為0.8,0.1,0.1,???X的分布列為TOC\o"1-5"\h\zX 1 0 -1P 0.8 0.1 0.1???E(X)=1X0,8+0X0.1+(-1)X0.1=0.7.(II)設商家每天的成交量為匕則y的取值可能為27,30,36,AY的分布列為Y 27 30 36P 0.4 0.4 0.2AE(Y)=27X0.4+30X0.4+36X0.2=30,第22頁（共26頁），商家每天能獲得的平均積分為30X0.7=21,商家一年能獲得的積分為21X365=7665<10000,???該商家在1年內不能獲得"誠信商家”稱號.21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，①已知點A(V3,0),直線l：x=竽，動點P滿足到點A的距離與到直線l的距離之比為當②已知圓C的方程為x2+y2=4,直線l為圓C的切線，記點A(V3,0),(-V3,0)到直線l的距離分別為d1,d2,動點P滿足IPA1=d],IPB1=d2；③點S,T分別在x軸，y軸上運動，且ISTI=3,動點P滿足種=2公+1辦J J(1)在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程；(2)記(1)中的軌跡為E，經過點D(1,0)的直線l交E于M,N兩點，若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點。，求點Q縱坐標的取值范圍.【解答】解：(1)若選①，V(%-V3)2+y2設p(x,y)，根據題意， 尸1A苧X2整理得「儼=1,所以所求的軌跡方+所以所求的軌跡方+y2=1.若選②，設P(x,y)，直線l與圓相切于點X,則IPAI+IPBI=d1+d2=2IOH1=4>273=\ABI,由橢圓定義知點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓，所以2a=4,2c=IABI=2V3,故a=2,c=V3,b=1,x2所以所求軌跡方程為彳+y2=1.若選③，設P(x, y), S (x,, 0), T(0, y,)則d(犬)2+(y')2 =3 (*).第23頁(共26頁)

整理得匕了因為標=加+^而整理得匕了因為標=加+^而%2代入（*）得一+y2=1,4X2所以所求軌跡方程為了+y2=1.4（2）方法一：設。（。，坨），當/'斜率不存在時，％=。，當/'斜率存在時，設直線//的方程為丁=左（％-1）（左WO）,M（xP月），N（%2,為），{y=k(x—1)x22—1'消去丁整理得(1+4N)%2-8N%+4(P-1)=o4+y2一△〉0恒成立，/+%2=8/c21+4k2’設線段MN中點（%3，△〉0恒成立，/+%2=8/c21+4k2’設線段MN中點（%3，為），貝U%3=勺+%22 l+4/c2，￥3k(%3-1)=1+4k2’設線段MN的垂直平分線的方程為y+l+4/c2l+4/c2),令％=0得%=令％=0得%=3k1+然2l+4k1 I當左＜0時，一+4/cW—4,當且僅當左=一5取

k z3所以一4工幾＜0,1 1當1 I當左＜0時，一+4/cW—4,當且僅當左=一5取

k z3所以一4工幾＜0,1 1當Q0時，一+4k24,當且僅當仁寺取

k /3所以4,33綜上。的縱坐標的取值范圍是-].41 4方法二:設。（0,%）,根據題意直線//斜率不為0,設直線//方程為x=my+l，若加=0,則y（）=0,當“W0時，設M（巧，〃），N