板塊一

梅涅勞斯定理與塞瓦定理梅涅勞斯定理及逆定理知識(shí)導(dǎo)航梅勞定：果條線△ABC三、BC、CA或其延長(zhǎng)交、、點(diǎn)，AF那．條線ABC的氏，△ABC叫梅氏三形FBDC證一如圖，過∥DF證二如圖，過A作AGBDDF延線BDCEBD三相即：．DCEABDDCAG證三如圖，分別過作DE的垂線，別于HH．則AHBHCH，AFCEBHCH所FBDCBHAH梅勞定的逆定理若FD、E別eq\o\ac(△,3)eq\o\ac(△,)ABC的三邊、、或延線三點(diǎn)，如夯實(shí)基礎(chǔ)

BDCE，則F、D、三共．DCEA【1如圖，在△中AD為中線，過點(diǎn)C任作一線AB于點(diǎn)，交AD于點(diǎn)，證:EDAF:．【析∵直FEC是△梅線，AEDCDCAEBFAEAF∴．而，∴即EDED2FAEDBF

．習(xí).在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)D的線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于F．求證：．BEAF【析直線ABC三于、、F三點(diǎn)，應(yīng)用梅氏定理知，因DBEAFCAFFABDBC，以，即FCEB

．習(xí).如圖在ABC中，ACBAC．AM為BC邊的線，CD于點(diǎn)D，的長(zhǎng)交點(diǎn)E．求

．【析由題，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AMC中，AM，，AD由影理．DMDMAEBCMD21對(duì)△ABM截線，由梅涅斯理即．EBDA14所

．1頁

CFDCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)5840CFDCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)5840探索提升【2如圖，在△ABC，D為AC中點(diǎn)，F(xiàn)C，證BM:MN:．【析∵直是△梅線∵線AF是的梅氏線，習(xí).如圖在△ABC，D為的中點(diǎn)，AE:EF:FD．AG:GH:．【析∵HFCABD的氏，∵DBC的點(diǎn)::FD4:3:1，∵GEC是△的梅線，【3過△的心G的線別AB、于、F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)DCF求：．FA【析作直交BC于M同，F(xiàn)A2

，而BDBDBDBMBDBM)DMAD【4如圖，點(diǎn)D、E分在△ABC的邊AC、AB上，，BD與交3于F，．求．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CDEF32【析對(duì)和線BFD，梅氏定理得：，，F(xiàn)CDABEFC1EF1所．所，F(xiàn)C348進(jìn)SS

．習(xí).如圖在ABC中個(gè)角面積分別為8四形的面積為x求的．EF18【析對(duì)和線BFD，梅氏定理得：，，得DA51522．【選如，ABC被過的三個(gè)頂點(diǎn)與一內(nèi)O的條線為個(gè)小三形其三小角形的面積如圖所，△ABC的積AFBC1【析對(duì)△ABD和線COF，由梅氏定理得：，即所以FBCDCD3，所所以．2BD非常挑戰(zhàn)【5如圖，ABC中外平線與邊BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)的分與邊CA交于點(diǎn)Q，的分與AB交于，求證：、Q、三點(diǎn)共線【析是的外平線，則BQ是的分，則是的平分線，①得

CECBADACBFBACEADBFCBBDCE因在，Q在CA上P在的長(zhǎng)線上，CECBADACBFBACEADBFCBBDCE則據(jù)涅斯定理的逆定理得、R三點(diǎn)共線．習(xí).證明不邊角的三個(gè)角的外角平線對(duì)的點(diǎn)是共線的三個(gè)點(diǎn)【析如圖CDBEAF分別三角形的三外平分線，分別交ABACBC于DF．過作BE的平行線，則EBD，所△BPC是等三形．則PBCB．則：BABA

．同；．DBCBFCAC所DBFC所DF共線

．板塊二

塞瓦定理及其逆理知識(shí)導(dǎo)航塞定果△ABC的個(gè)頂點(diǎn)與一點(diǎn)的連線BPCP交邊或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)DE、F，圖，那么

CEAF．通常稱點(diǎn)為△ABC的瓦．DCEAFB證：∵直FPC、分別是△、ACD梅氏線，BD兩相即得：．EA塞定的定理：如果點(diǎn)D、E、分別△ABC邊、CAAB上其長(zhǎng)線上，并且，么、BECF相交于點(diǎn)或行證：⑴若與相于點(diǎn)P時(shí)如，作直線C交AB于F．BDCE由瓦理：，F(xiàn)BDCEAFAF又知，F(xiàn)B

，∴F與重合∴CF'與CF重合∴AD、BE、CF相于一點(diǎn)．⑵若AD與所直線不相交，則AD∥，如圖．∴

BDBD，已，DCACDCEAFB∴，即ACFBACAF

．說：線行的情況在實(shí)際題中少．探索提升【6（）AXBY是△三條中線，求證：三線共點(diǎn)．3頁

DAKFL（）AXCZ為ABC的三條內(nèi)平線求：AXCZ三線共．DAKFLCY【析（1）由件，BXYCZAZB．∴XCYA根塞定的逆定理可得三條線共點(diǎn)．這點(diǎn)為個(gè)三角形的重心．

，BCAC（）由三角形角分定得：XCACYABC

．BXAZABBCAC三分相，得：XCZBACAB

．根塞定的逆定理可得三角三角分共點(diǎn)，這點(diǎn)為個(gè)三角形的內(nèi)心．習(xí).若AX分別為銳角△的條線，求證：AXBY三線共點(diǎn)．【析由△ABX∽：

BXABAZ；由△△CZA得：BZBCAYAB

；YCBX由△可得：．以CXACAYCXBC

．根塞定的逆定理可得三條線BY共點(diǎn)．對(duì)角角鈍角三角形樣可以證得三條高線點(diǎn)們把一個(gè)三角形三高線在線交點(diǎn)叫做這個(gè)三角的心【7如圖，M為△ABC內(nèi)的點(diǎn)BM與交點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若通過BC的中點(diǎn)D，求證：BC．AFBDCE【析對(duì)△ABC和點(diǎn)M應(yīng)用塞定可：FBDC

．因BDDC，所以AFCEAFAE．而FBFB

，以EF．習(xí).

如梯ABCD的兩腰ADBC延長(zhǎng)線交于M條角交于證線MN必分形兩底．∵板塊三

MDBC（由瓦理得）DAQBCM梅涅勞斯定理、瓦定理綜合非常挑戰(zhàn)【選如，E、F分別為的AC、邊上的點(diǎn)，且AEECFA，、CF交于點(diǎn)AP延線BC于D求:PD的．【析∵P為△ABC的塞瓦．∵為A