2022-2023學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】運(yùn)用向量的減法和向量的數(shù)乘運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解：由已知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的減法運(yùn)算，及共線向量的知識(shí).2．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題求出圓心和半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系即求.【詳解】由題知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，圓截直線所得弦的長度為4，，解得.故選：C.3．已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，，則這個(gè)二面角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角，屬于中檔題.4．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且焦距為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓得，再根據(jù)焦距為得，解方程即可得的值．【詳解】解：∵方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，∴，∴，又橢圓的焦距為，∴，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．若數(shù)列是等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令、可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和第三項(xiàng)，即可求出第五項(xiàng)，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數(shù)列的公差為，所以，解得，故選：B.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用拋物線定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)三點(diǎn)共線求最小距離.【詳解】如圖，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，最小，此時(shí)線段與圓的交點(diǎn)為，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，，半徑為，所以的最小值為.故選：C7．已知，若，則（

）A． B．2C． D．e【答案】B【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將原式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，運(yùn)用疊加法求出，根據(jù)題意即可選出答案.【詳解】由題意可知，，因?yàn)?，所以，?令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，上式相加，得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：C二、多選題9．已知點(diǎn)、，直線l經(jīng)過點(diǎn)且與線段相交，則直線l與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．不好確定【答案】BC【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解的斜率，進(jìn)而求得的方程，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由題意可知：直線l經(jīng)過點(diǎn)且與線段相交,則直線l的斜率的范圍為，直線的方程為，即，由圓的方程得圓心為半徑為，圓心到直線的距離為，故直線l與圓相切或者相離,故選：BC10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為、的雙曲線C上，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線C的離心率為2 B．當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，的最大值為C．點(diǎn)P到兩漸近線距離之積為定值 D．雙曲線C的漸近線方程為【答案】AC【解析】先利用雙曲線方程得到對(duì)應(yīng)的，直接求得離心率和漸近線方程，判斷AD的正誤，設(shè)，知，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式直接計(jì)算點(diǎn)P到兩漸近線距離之積得到定值判斷C正確；利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的關(guān)系式，再利用基本不等式即求得最值，判斷選項(xiàng)B的正誤.【詳解】在雙曲線C中，實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距.對(duì)于AD，雙曲線的離心率，漸近線方程為，故A正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)P在雙曲線的左支上時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，即，而漸近線為和，故到漸近線的距離之積為為定值，故C正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于突破選項(xiàng)B，其關(guān)鍵點(diǎn)在于利用雙曲線定義將比值轉(zhuǎn)化到一個(gè)變量的關(guān)系式上，利用基本不等式突破最值.11．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．是的極大值點(diǎn)C．有三個(gè)零點(diǎn)D．在上最大值是【答案】BCD【分析】對(duì)求導(dǎo)，令，可得的值，列表可得函數(shù)的單調(diào)性與極值，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：因?yàn)樗裕?，解得或，與隨的變化情況如下表：200極大值極小值因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；是的極大值點(diǎn)，故正確；因?yàn)?，，，，由函?shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可知有三個(gè)零點(diǎn)，故正確；當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，，所以在，上的最大值是4，故正確．故選：．12．等比數(shù)列中，，公比，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列中的所有偶數(shù)項(xiàng)可以組成一個(gè)公比為的等比數(shù)列B．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)，，恒成立C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)和公差都小于0的等差數(shù)列【答案】ABC【分析】由，可判斷A；當(dāng)，時(shí)，，可判斷B；由，公比，可判斷C；與1無法比較大小，可判斷D．【詳解】由可知A對(duì)；由，公比，可知，當(dāng)，時(shí)，恒成立，故B對(duì)；由，公比，可知數(shù)列是遞增數(shù)列，故C對(duì)；與1無法比較大小，數(shù)列是首項(xiàng)無法和0比較，故D錯(cuò)．故選：ABC三、填空題13．已知空間向量，若，則________．【答案】【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)k，使得，即，所以解得，，，.故答案為：14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則___________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：15．若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則______．【答案】##【分析】先求得曲線在點(diǎn)處的切線，直線與曲線相切時(shí)，需設(shè)切點(diǎn)列方程組可解得參數(shù)a的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．設(shè)與相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則，，可得，從而．故答案為：16．在長方體中，，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】-2【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求最小值.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，設(shè)，有，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為-2.故答案為：-2四、解答題17．直線l經(jīng)過兩點(diǎn)(2,1)、(6,3).(1)求直線l的方程；(2)圓C的圓心在直線l上，并且與x軸相切于(2,0)點(diǎn)，求圓C的方程．【答案】（1）x－2y＝0；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝1【詳解】試題分析：（1）由直線過的兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線斜率，在借助于點(diǎn)斜式方程可得到直線方程；（2）借助于圓的幾何性質(zhì)可知圓心在直線上，又圓心在直線上，從而可得到圓心坐標(biāo)，圓心與的距離為半徑，進(jìn)而可得到圓的方程試題解析：（1）由已知，直線的斜率，所以，直線的方程為．（2）因?yàn)閳A的圓心在直線上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，所以，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以，圓的方程為【解析】1．直線方程；2．圓的方程18．已知直線和直線.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線和平行？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線和重合？【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）由直線平行與重合的公式列方程組求解.【詳解】（1）由題意，，得，解得或當(dāng)或時(shí)，直線和平行.（2）由題意，，得，解得，當(dāng)時(shí)，直線和重合.19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，利用數(shù)量積即可證明.（2）求出兩平面PAM與平面PDC的法向量，則法向量夾角余弦得二面角的余弦．【詳解】解：（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.可得，.所以，所以（2）由（1）得到，，因此可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得令，解得.同理，可求平面PDC的一個(gè)法向量.所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：.即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.20．已知等差數(shù)列的公差，且，數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且滿足，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由，且，可求得，從而可求出的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列中，，成等差數(shù)列列方程求出公比，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用錯(cuò)位相減法可求出，從而可證得結(jié)論【詳解】（1）因?yàn)?，．所以，解得．所以．因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，且，，成等差數(shù)列．所以．設(shè)公比為q，則，所以，所以，所以，．（2）證明：由（1）得，所以①，②，①-②得：，所以．21．已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的面積為，橢圓的長軸長是短軸長的倍.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍，【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的焦距，當(dāng)時(shí)，，由題意得，的面積為，，，解得即可；（2）設(shè)，，，分類討論：當(dāng)時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱性即可得出；時(shí)，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．【詳解】(1)由題意可得,則,則，的面積，①橢圓的長軸長是短軸長的倍，②，③，由①②③解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)當(dāng)時(shí),則，由橢圓的對(duì)稱性得，即時(shí),存在實(shí)數(shù),使得，當(dāng)時(shí),得，三點(diǎn)共線，，設(shè),由，得(，由已知得,即且，.由得,，，顯然不成立，，,即.解得或.綜上所述,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及直線與橢圓的綜合等知識(shí)，屬于?？碱}型.22．已知函數(shù).（1）若該函數(shù)在處的切線與直線垂直，求的值；（2）若函數(shù)在其定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn).①求的取值范圍；②證明:.【答案】（1）1；（2）①；②證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由