2023屆上海市虹口區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題一、填空題1．不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．【詳解】原不等式等價(jià)于，解得．故答案為：．2．對(duì)于正實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值為_(kāi)_____．【答案】4【分析】由基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，所以代數(shù)式的最小值為4，故答案為：43．已知球的半徑為3，則該球的體積為_(kāi)________.【答案】【分析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃?，所以球的體積；故答案為：4．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】35【分析】直接利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，令，解得：..得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：5．設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個(gè)虛根，則______．【答案】2【分析】將根代入方程，化簡(jiǎn)即可得到，列方程組即可求得.【詳解】將代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故答案為：26．已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的公比為，則這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和為_(kāi)_____．【答案】3【分析】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式結(jié)合數(shù)列極限即可得出答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以等比數(shù)列的前項(xiàng)和為：，而，則這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和為：3.故答案為：3.7．設(shè)曲線的斜率為3的切線為，則的方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.【詳解】設(shè)切線與函數(shù)的切點(diǎn)為又因?yàn)?，所以在處的?dǎo)數(shù)值為所以，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在函數(shù)上，即所以切點(diǎn)為，所以切線方程，即故答案為：8．第5屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校派出了包括甲同學(xué)在內(nèi)的4名同學(xué)參加了連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)．已知甲同學(xué)參加了2天的活動(dòng)，其余同學(xué)各參加了1天的活動(dòng)，則甲同學(xué)參加連續(xù)兩天活動(dòng)的概率為_(kāi)_____．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）【答案】##【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】“甲同學(xué)參加了2天的活動(dòng)，其余同學(xué)各參加了1天的活動(dòng)”共有種可能，“甲同學(xué)參加連續(xù)兩天活動(dòng)”共有種可能，故甲同學(xué)參加連續(xù)兩天活動(dòng)的概率.故答案為：.9．設(shè)，，若函數(shù)為奇函數(shù)，則______．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得值，結(jié)合奇函數(shù)即可求解.【詳解】由于為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，故取，則，代入得，由此的定義域?yàn)椋虼?，所以，故答案為?0．設(shè)函數(shù)（其中,）,若函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與其對(duì)稱中心的最小距離為,則______．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的最小距離即可得到周期,將對(duì)稱軸代入即可得到關(guān)于的等式,再根據(jù)的范圍即可得到解析式.【詳解】解:由題知,因?yàn)閷?duì)稱軸與對(duì)稱中心的最小距離為,所以,即,所以,此時(shí),因?yàn)閷?duì)稱軸為,故有:,即,因?yàn)?所以,故.故答案為:11．在中，，，，是的外心，若，其中，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為_(kāi)_____．【答案】##【分析】先利用余弦定理求出的長(zhǎng)，因?yàn)槭堑耐庑?，設(shè)外接圓的半徑為，所以，再利用正弦定理求出，由，，知道動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形為以為邊的菱形畫(huà)圖，由圖可知菱形為，求出即可得.【詳解】在中，因?yàn)?，，，所以由余弦定理：，所以，又因?yàn)槭堑耐庑?，設(shè)外接圓的半徑為，所以，由，所以，由正弦定理：，所以，由，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形為以為邊的菱形，如圖所示：由圖知為所對(duì)的圓心角與圓周角，所以有，所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形面積為：，故答案為：.12．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，且，，則在下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．①雙曲線的離心率為2；②雙曲線的一條漸近線的斜率為；③線段AB的長(zhǎng)為；④的面積為．【答案】①④【分析】利用雙曲線定義結(jié)合可得，利用，求得，繼而可得，即可求得額離心率，判斷①，由離心率可得，判斷②，利用，求得，判斷③，計(jì)算的面積判斷④.【詳解】如圖示：不妨設(shè)A在第一象限，則，由于，可得：，由于，所以，故，可得：，故，而,故，所以由可得，即，所以①雙曲線的離心率，①正確；由可得，故，則雙曲線的漸近線的斜率為，②錯(cuò)誤；由以上分析可知，③錯(cuò)誤；在中，，故，④正確，故答案為︰①④﹒【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線定理的理解和應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于利用雙曲線定義結(jié)合已知求得后，要注意推出，從而，即可求得相關(guān)線段長(zhǎng)，則離心率漸近線斜率和弦長(zhǎng)以及面積問(wèn)題即可解決.二、單選題13．設(shè)，已知直線與圓，則“”是“直線與圓相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先求出直線與圓相交的充要條件，然后根據(jù)充分、必要條件的判斷即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與圓，由點(diǎn)到直線的距離公式可得:，解得：且，因?yàn)槌闪?，則且一定成立，但且成立，則不一定成立，所以“”是“直線與圓相交”的充分不必要條件，故選：A.14．若復(fù)數(shù)z滿足且，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，解得(舍)或.故選：C.15．已知是橢圓與拋物線的一個(gè)共同焦點(diǎn)，與相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段AB的長(zhǎng)【詳解】橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，拋物線由，解得或則故選：B16．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（為正整數(shù)）．則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】將進(jìn)行整理，可以求出其通項(xiàng)公式，再代入可得答案.【詳解】由，，故選：C三、解答題17．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求角A；(2)若，求證：是直角三角形．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，化簡(jiǎn)，即可求得答案；（2）利用正弦定理邊化角可得，結(jié)合兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，求值，可得答案.【詳解】（1）由條件，得，即，亦即，故，因?yàn)?，所以．?）證明：由正弦定理及得，由（1）知，故，于是，則，即，因，故，又，從而，所以，則，因此是直角三角形．18．在等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）將全部用代換，結(jié)合等比性質(zhì)可求的通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)得，結(jié)合分組求解法求出，由的單調(diào)性可求的最小值．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，，成等比數(shù)列及，得，即，解得．當(dāng)時(shí)，，，構(gòu)成等比數(shù)列，符合條件；當(dāng)時(shí)，，，不能構(gòu)成等比數(shù)列，不符合條件．因此，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，故，所以易知在正整數(shù)集上嚴(yán)格遞增，且，．故滿足的正整數(shù)的最小值為6．19．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為AC的中點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在滿足條件的點(diǎn)，1【分析】（1）由已知條件可證平面，即可得到；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，并，利用向量的加減運(yùn)算，求出，利用線面夾角公式得出，求得，即可求出的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：由點(diǎn)在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)，知平面ABC，又平面ABC，故，因是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故，而，平面，，故平面，由平面，得．（2）由點(diǎn)，為AC的中點(diǎn)，側(cè)面為菱形，知，由是以AC為斜邊的等腰直角三角形，，可得，，由（1）知直線，，兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，又，故點(diǎn)到平面的距離為：（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，并，則，于是，由直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為，可得，即，解得．又，故．因此存在滿足條件的點(diǎn)，且．20．本市某區(qū)對(duì)全區(qū)高中生的身高（單位：厘米）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖．(1)若數(shù)據(jù)分布均勻，記隨機(jī)變量X為各區(qū)間中點(diǎn)所代表的身高，寫(xiě)出X的分布列及期望；(2)已知本市身高在區(qū)間的市民人數(shù)約占全市總?cè)藬?shù)的10%，且全市高中生約占全市總?cè)藬?shù)的1.2%．現(xiàn)在要以該區(qū)本次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估算全市高中生身高情況，從本市市民中任取1人，若此人的身高位于區(qū)間，試估計(jì)此人是高中生的概率；(3)現(xiàn)從身高在區(qū)間的高中生中分層抽樣抽取一個(gè)80人的樣本．若身高在區(qū)間中樣本的均值為176厘米，方差為10；身高在區(qū)間中樣本的均值為184厘米，方差為16，試求這80人的方差．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為171.7；(2)0.0312；(3)27.25【分析】（1）依據(jù)分布列和期望的定義即可求得X的分布列及期望；（2）利用條件概率去求此人是高中生的概率；（3）依據(jù)方差的定義去求這80人的方差．【詳解】（1）由，解得．所以的分布列為X155165175185195205P0.220.270.250.150.10.01（2）設(shè)事件A為任取一名本市市民的身高位于區(qū)間，事件為任取一名本市市民為高中生，則，．所以．于是，此人是高中生的概率為0.0312．（3）由于身高在區(qū)間，的人數(shù)之比為5：3，所以分層抽樣抽取80人，區(qū)間，內(nèi)抽取的人數(shù)分別為50人與30人．在區(qū)間中抽取的50個(gè)樣本記為，，…，其均值為176，方差為10，即，．在區(qū)間中抽取的30個(gè)樣本記為，，…，．其均值為184，方差為16，即，；所以這80人身高的均值為．從而這80人身高的方差為因此，這80人身高的方差為27.25．21．設(shè)，已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)于函數(shù)的極值點(diǎn)，存在，使得，試問(wèn)對(duì)任意的正數(shù)，是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為40，試求的取值集合．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為：與；單調(diào)遞減區(qū)間為：；(2)是定值6；(3).【分析】（1）由函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，令，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)將定義域分段，分析當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）方法一：根據(jù)，，確定，與之間的等式關(guān)系，又由得與的關(guān)系，即可得與的關(guān)系，由（1）知和是函數(shù)的極值點(diǎn)，則當(dāng)和分別求解，確定是否為定值即可；方法二：由，兩式聯(lián)立進(jìn)行因式分解可得，即可得為定值；（3）由于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只有可能在，6，，這4處取得，分別求解得，，，討論或，分別求解的取值情況，即可得的取值集合．【詳解】（1）解：由，，可得．因，由，解得．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為：與；單調(diào)遞減區(qū)間為：．（2）方法1：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（1）知：，且．因?yàn)?，，故由，得即．因?yàn)椋裕?）由題意，得，即．由（1）知，和是函數(shù)的極值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，由（*）可得，解得，即，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，由（*）可得，解得，即，此時(shí)．綜上，可得結(jié)論成立．方法2：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（1）知：，且．因?yàn)椋视?，得即．因?yàn)椋裕?）由題意，得，即，將其代入（*），得（**）即亦即．由于，因此．（3）解：因函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只有可能在，6，，這4處取得．又，，，（因）①若為在區(qū)間上的最大值（等于40），令，則，且，由，得．設(shè)，則恒成立，故在上嚴(yán)格遞增，于是在上存在唯一的，使，易知，進(jìn)而相應(yīng)的．而此時(shí)，，因此符合題意．②若為在區(qū)間上的最大值（等于40），則，或．（i）當(dāng)時(shí)，，，為在區(qū)間上的最大值，因此符合題意．（ii）當(dāng)時(shí)，，，，于是不符合題意，舍去．綜上所述，符合條件的的取值集合為．【點(diǎn)睛】本題考查了函