2023屆四川省資陽(yáng)市樂至中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)全集，且，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先求得集合，根據(jù)，結(jié)合集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由不等式，解得，即又由，可得滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為．故選：D2．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】先化簡(jiǎn)得，再求出得解.【詳解】由題得，所以.故選：A3．如圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的2021年春運(yùn)期間12個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（

）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津和重慶的春運(yùn)期間往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所上升C．平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門D．平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州【答案】C【分析】從折線圖看漲幅，從條形圖看高低，逐項(xiàng)判定即可.【詳解】從折線圖看，深圳的漲幅最接近，從條形圖看，北京的平均價(jià)格最高，故A正確；從折線圖看，天津和重慶的的漲幅均為正值，故B正確；從折線圖看，平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京，故C錯(cuò)誤；從條形圖看，平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州，故D正確.故選：C.4．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖像在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知函數(shù)為奇函數(shù)求出a值，然后得到和f(0)，再求出的圖象在x=0處的切線方程.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，可知，即，檢驗(yàn)可知，函數(shù)為奇函數(shù)，，，，又，所以切線方程為，即，故選：A5．角的終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由直線的斜率得出，再利用誘導(dǎo)公式將分式化為弦的一次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以，利用弦化切的思想求出所求代數(shù)式的值．【詳解】角的終邊在直線上，，則，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查弦化切思想的應(yīng)用，弦化切一般適用于以下兩個(gè)方面：（1）分式為角弦的次分式齊次式，在分子分母中同時(shí)除以，可以弦化切；（2）代數(shù)式為角的二次整式，先除以，轉(zhuǎn)化為角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同時(shí)除以，可以實(shí)現(xiàn)弦化切．6．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，求出的范圍，結(jié)合幾何概型，即可求出結(jié)果.【詳解】由時(shí)，由，得，由幾何概型得.故選：D.7．“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求得之間的關(guān)系和范圍，再根據(jù)充分不必要條件的判定，可得選項(xiàng).【詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則需，即，所以，所以“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查方程表示橢圓的條件，以及命題的充分不必要條件的判定，屬于中檔題.8．設(shè)g(x)的圖象是由函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象向左平移個(gè)單位得到的，則g()等于()A．1 B． C．0 D．－1【答案】D【分析】由條件直接利用左加右減的原則得到g(x)，再代入x=求值即可.【詳解】由f(x)＝cos2x的圖象向左平移個(gè)單位得到的是g(x)＝cos[2（x）]的圖象，則g()＝cos[2（）]=cosπ=-1.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移以及特殊三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．9．在中，，，，則在方向上的投影是（

）A．4 B．3 C．-4 D．-3【答案】D【詳解】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.10．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.11．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則為最短距離，根據(jù)垂直和中點(diǎn)坐標(biāo)求出對(duì)稱點(diǎn)即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)．的中點(diǎn)為，直線的斜率為1，故直線的方程為，即．由，聯(lián)立得，，，則，故，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與原點(diǎn)的距離求解是解題關(guān)鍵.12．已知，分別為雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），若射線是的角平分線，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由，，，四點(diǎn)共圓得到，結(jié)合射線是的角平分線以及雙曲線的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合雙曲線的定義求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，所以．因?yàn)樯渚€是的角平分線，所以，由雙曲線的對(duì)稱性知，所以，，因此，，從而，因此離心率.故選：B二、填空題13．已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．【答案】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對(duì)于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：14．若變量，滿足約束條件，則的取值范圍是__________．【答案】.【分析】首先繪制可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解取值范圍即可.【詳解】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)處取得最小值，綜上可得，目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.15．已知中，的內(nèi)角分別是A，B，C，若=，則角B=__________．【答案】或【分析】由=，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為=，再利用余弦定理求解.【詳解】在中，因?yàn)?，所以=，所以,解得，因?yàn)椋曰?，故答案為：?6．設(shè)直線（t為參數(shù)）與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)．則的值為______．【答案】##【分析】聯(lián)立直線的參數(shù)方程與拋物線的方程，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】聯(lián)立直線的參數(shù)方程與拋物線的方程有，即.設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，，故故答案為：三、解答題17．2019年12月，《生活垃圾分類標(biāo)志》新標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布并正式實(shí)施.為進(jìn)一步普及生活垃圾分類知識(shí)，了解居民生活垃圾分類情況，某社區(qū)開展了一次關(guān)于垃圾分類的問卷調(diào)查活動(dòng)，并對(duì)隨機(jī)抽取的1000人的年齡進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的各年齡段頻數(shù)分布表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：各年齡段頻數(shù)分布表組數(shù)分組頻數(shù)第一組200第二組300第三組m第四組150第五組n第六組50合計(jì)1000（Ⅰ）請(qǐng)補(bǔ)全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖，并求出各年齡段頻數(shù)分布表中m，n的值；（Ⅱ）現(xiàn)從年齡在段中采用分層抽樣的方法選取5名代表參加垃圾分類知識(shí)交流活動(dòng).應(yīng)社區(qū)要求，從被選中的這5名代表中任意選2名作交流發(fā)言，求選取的2名發(fā)言者中恰有1名年齡在段中的概率.【答案】（Ⅰ）頻率分布直方圖詳見解析，，；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)年齡在的頻率/組距，根據(jù)頻率之和為1，列式計(jì)算，補(bǔ)全頻率分布直方圖，然后再分別計(jì)算m和n的值即可；（Ⅱ）先計(jì)算抽樣比，然后分別計(jì)算和段中抽取人數(shù)段中抽取的人數(shù)，最后再計(jì)算要求的概率即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè)年齡在的頻率/組距，因?yàn)轭l率之和為1，結(jié)合頻率分布直方圖可得：，解之得：，頻率分布直方圖如下：所以，；（Ⅱ）因?yàn)樵诙沃锌側(cè)藬?shù)為500，所以抽樣比為，所以在段中抽取人數(shù)為，在段中抽取人數(shù)段中抽取人數(shù)為，所以選取的2名發(fā)言者中恰有1名年齡在段中的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，考查分層抽樣，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于?？碱}.18．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式，并判斷，，是否成等差數(shù)列？【答案】(1)證明見解析(2)；，，成等差數(shù)列．【分析】（1）由遞推關(guān)系式可得，由此可證得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由等比數(shù)列前項(xiàng)和可求得，由可得結(jié)論.【詳解】（1）由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得：，；；，，即，，，成等差數(shù)列.19．如圖①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起使AD＝，得到如圖②所示的四棱錐A﹣BCDE.（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐P﹣ABD的體積.【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先證，即可求得平面，結(jié)合//，即可由線面垂直推證面面垂直；（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)，則的體積為體積的一半，再轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)求得的體積，則問題得解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且點(diǎn)為中點(diǎn)，又，故三角形為等邊三角形，則，又在三角形中，，滿足，故，又平面，故可得平面，又因?yàn)?/，故可得平面，又平面，故可得平面平面.即證.（Ⅱ）因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，故.又，平面，故平面，即為底面上的高.又，，故.故三棱錐P﹣ABD的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及線面垂直的證明以及棱錐體積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.20．已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是圓的一條切線為切點(diǎn)），并且點(diǎn)到直線的距離恰好等于切線長(zhǎng)．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）已知直線的方程為，過(guò)直線上一點(diǎn)作（Ⅰ）中軌跡的兩條切線，切點(diǎn)分別是，兩點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【分析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故根據(jù)題意得，進(jìn)而整理即可得答案；（Ⅱ）設(shè)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為，，設(shè)直線上一點(diǎn)，進(jìn)一步得直線的方程為，進(jìn)而與（I）中的方程聯(lián)立并結(jié)合韋達(dá)定理得，點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得面積并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)到直線的距離，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)為，因此，整理可得，即點(diǎn)的軌跡方程為：；（Ⅱ）對(duì)拋物線，求導(dǎo)可得，故在處的切線方程為：，整理可得：，同理在處的切線方程為：，設(shè)直線上一點(diǎn)，，故，在直線上，即直線的方程為．聯(lián)立可得．，，點(diǎn)到直線的距離，面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最小值為4．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）y=2x；（2）存在，．【分析】(1)在給定條件下求出及和的值，再用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；(2)求出，因時(shí)，由此對(duì)b分類討論并分析函數(shù)單調(diào)性即可作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，于是得，而，所以函數(shù)在處的切線方程為y=2x；（2）函數(shù)，，則，且，①若時(shí)，，于是得在上為減函數(shù)，，；②若時(shí)，，即在上為增函數(shù)，，，不能使在上恒成立；③若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而得函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不能使在上恒成立；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以存在，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立.22．已知曲線：在伸縮變換下得到曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）把化為極坐標(biāo)方程并求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）射線與，，交點(diǎn)為，，，求.【答案】（1）：，：；（2）或.【分析】（1）曲線根據(jù)來(lái)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)的意義建立關(guān)于的方程，然后求解即可.【詳解】（1）曲線：，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：.伸縮變換轉(zhuǎn)換為：，代入曲線：，得到極坐標(biāo)方程為.（2）把代入，即：，轉(zhuǎn)換為，同理：，由于，所以：，解得：，故：或.2