2023屆湖南省岳陽市華容縣高三上學(xué)期普通高中新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得出，根據(jù)交集運算結(jié)合集合的含義，即可得出答案.【詳解】解可得，，所以，，是偶數(shù)集，所以.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．C．2 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求得，進(jìn)而求得.【詳解】，所以.故選：B3．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．20【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得，再求向量的模；【詳解】解：由，得，則，即所以.故選：B4．函數(shù)的大致圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由排除兩個選項，再由時，排除一個選項后可得正確選項．【詳解】∵，所以，故排除C，D，當(dāng)時，恒成立，排除A，故選：B．5．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得，即可得出，則；又，即可得出.【詳解】，所以，所以.，所以.所以有.故選：C.6．若直線(，)截圓：所得的弦長為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓的圓心和半徑，根據(jù)給定弦長可得m，n的關(guān)系等式，再借助“1”的妙用即可計算作答.【詳解】圓：，則圓心，半徑r=，而直線截圓所得弦長為，于是得直線過圓心C，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，由及解得，且，所以當(dāng)且時，的最小值為.故選：B7．足球起源于中國古代的蹴鞠游戲．“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，已知某“鞠”的表面上有四個點，滿足，面ABC，⊥，若，則該“鞠”的體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，找到球心的位置，得到PB為球的直徑，推導(dǎo)出要想該“鞠”的體積最小，只需AB最小，由得到，結(jié)合基本不等式，求出最小值，從而得到直徑最小值，求出體積最小值.【詳解】因為，面ABC，⊥，故AB為三角形ABC所在小圓的直徑，取AB中點，過作，交BP于點O，則O即為球心，PB為球的直徑，要想該“鞠”的體積最小，只需PB最小，由于，故只需AB最小，其中，故，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故最小值為2，此時直徑最小值為，所以該“鞠”的體積最小值為.故選：B【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.8．裴波那契數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列滿足，且．盧卡斯數(shù)列是以數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用數(shù)列的遞推式推得，從而推得，由此得解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，所以，故，因為，所以，，故，所以.故選：C.二、多選題9．已知雙曲線的方程為，則（

）A．漸近線方程為 B．焦距為C．離心率為 D．焦點到漸近線的距離為8【答案】BC【分析】A選項，先判斷出雙曲線焦點在軸上，利用公式求出漸近線方程；B選項，求出，得到焦距；C選項，根據(jù)離心率公式求出答案；D選項，利用點到直線距離公式進(jìn)行求解.【詳解】焦點在軸上，故漸近線方程為，A錯誤；，故，故焦距為，B正確；離心率為，C正確；焦點坐標(biāo)為，故焦點到漸近線的距離為，D錯誤.故選：BC10．某校10月份舉行校運動會，甲?乙?丙三位同學(xué)計劃從長跑，跳繩，跳遠(yuǎn)中任選一項參加，每人選擇各項目的概率均為，且每人選擇相互獨立，則（

）A．三人都選擇長跑的概率為B．三人都不選擇長跑的概率為C．至少有兩人選擇跳繩的概率為D．在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為【答案】AD【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式計算即可.【詳解】由已知三人選擇長跑的概率為，故A正確.三人都不選擇長跑的概率為，故B錯誤.至少有兩人選擇跳繩的概率為，故C錯誤.記至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)為事件A，所以.記丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)為事件B，所以.所以在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為，故D正確.故選：AD11．如圖，已知是邊長為4的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點，將沿著DE翻折，使點A到點P處，得到四棱錐，則（

）A．翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3B．存在某個點位置，滿足平面平面C．當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為D．當(dāng)時，該四棱錐的五個頂點所在球的表面積為【答案】ACD【分析】當(dāng)平面平面時，體積最大，求出底面積和高，即可求出最值，判斷A項；找出平面與平面所成的二面角，根據(jù)題意推導(dǎo)出，即可說明B項錯誤；過點作，根據(jù)題意可得即為直線與平面所成的角.根據(jù)余弦定理以及三角函數(shù)可推出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)果，得出C項；由已知可推得平面平面.設(shè)球心為，的外心為，點為等腰梯形的外心，可得四邊形為矩形，進(jìn)而求出即半徑的長，即可得出外接球的表面積.【詳解】如圖1，設(shè)，分別是，的中點.則，，，且.對于A項，當(dāng)平面平面時，四棱錐的體積最大.的高為，四邊形為高為的梯形，梯形面積，體積，故A項正確；對于B項，設(shè)平面平面，則，有，，可得平面，即為平面與平面所成的二面角，由可知，，故B項錯誤；對于C項，如圖1，過點作，垂足為.由B分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以即為直線與平面所成的角.由題意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為；對于D項，當(dāng)時，由，可知，即，又，且，則平面，又平面，則平面平面.四棱錐的外接球球心為，的外心為，則平面.如圖2，易知點為等腰梯形的外心，則平面，則四邊形為矩形，且，從而有，從而該四棱錐的五個頂點所在球的表面積為，故D項正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)與相交于A，B兩點，與相交于C，D兩點，若A，B，C，D四點的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，分別代入，即可判斷A,B，根據(jù)，關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，即可根據(jù)對稱性判斷CD.【詳解】由題意可知是方程的一個根，則，將代入得，所以也是方程的一個根，所以，故，故A正確，由題意可知是方程的一個根，則，則，所以也是方程的一個根，所以，故，故B正確，設(shè)點在函數(shù)上，則滿足，即點關(guān)于直線的對稱點為，將代入得，即可，因此可知在函數(shù)上，即關(guān)于直線的對稱，又關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，故和，所以，，故D正確，由于，故C錯誤，故選：ABD三、填空題13．的展開式中，的系數(shù)等于____________．（用數(shù)字作答）【答案】120【分析】利用二項式展開式分兩種情況求出即可.【詳解】由題意分兩種情況：①，②，故的系數(shù)為：，故答案為：120.14．已知函數(shù),若函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱,且關(guān)于直線軸對稱,則的最小值為______．【答案】3【分析】圖象關(guān)于點中心對稱,且關(guān)于直線軸對稱,即與之間相差,列出等式,根據(jù)范圍求解即可.【詳解】解:由題知的圖象關(guān)于點中心對稱,且關(guān)于直線軸對稱,則與之間的距離為,即,,即,,因為,所以當(dāng)時,的最小值為3.故答案為:315．將函數(shù)和直線的所有交點從左到右依次記為，，…，，若，則____________.【答案】10【分析】根據(jù)題意作出兩個函數(shù)的圖象分析交點個數(shù)，利用對稱性化簡向量的和即可求解.【詳解】如圖可知：函數(shù)和直線共有5個交點，依次為，其中，∵函數(shù)和直線均關(guān)于點對稱，則關(guān)于點對稱，∴，且，故.故答案為：10.16．已知橢圓，若此橢圓上存在不同的兩點，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，線段的中點直線的方程可設(shè)為，代入橢圓方程整理后由判別式得的范圍，由韋達(dá)定理得，從而可得中點坐標(biāo)，代入對稱軸方程得的關(guān)系，由上面的判別式所得結(jié)論可求得范圍．【詳解】解：設(shè)，線段的中點此橢圓上存在不同的兩點?關(guān)于直線對稱，直線的方程可設(shè)為.聯(lián)立，化為,由，解得..代入直線可得：，解得.代入可得：，解得.的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法求得公差和公比后可得通項公式；（2）用錯位相減法求數(shù)列的和．【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，的公比為，，，聯(lián)立，整理可得，解得，所以，.（2）解：由（1）知，則，①，②①-②，得.所以.18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和和三角函數(shù)公式化簡等式，即可得出.（2）根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其最值，從而求出，即可求出△ABC的面積【詳解】（1）由題意在△ABC中，，，由正弦定理得，∴，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故，故，而，故即.（2）由題意及（1）得在△ABC中，，，故外接圓直徑，故，，其中，且，因為，故，而，故的最大值為1，此時，故，，故，且故，此時.19．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的六面體中（其中平面EDC），四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面．(1)設(shè)為棱的中點，證明：四點共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直以及面面垂直的性質(zhì)證明平面，平面，進(jìn)而證明，即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量以及向量的夾角即可求解平面夾角.【詳解】（1）連接,由于四邊形ABCD是正方形，所以,又平面，平面,所以,平面，所以平面，由于為棱的中點，，所以,又平面平面，平面平面，平面,所以平面,因此,所以四點共面，（2）由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,,設(shè)，由（1）知,故，解得，故,,設(shè)平面，的法向量分別為則即，取，則，即，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則20．某機器生產(chǎn)商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案：方案一：交納延保金元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修次，超過次每次收取維修費元;方案二：交納延保金元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修次，超過次每次收取維修費元.某工廠準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計得下表：維修次數(shù)0123機器臺數(shù)20104030以上臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記表示這兩臺機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).求的分布列；以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）確定所有可能的取值為，依次計算每個取值所對應(yīng)的的概率，從而可列出分布列；（2）分別求解兩種方案的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的大小比較，確定選擇哪一種更劃算.【詳解】（1）所有可能的取值為，，，，，，的分布列為（2）選擇延保方案一，所需費用元的分布列為：(元)選擇延保方案二，所需費用元的分布列為：(元)當(dāng)，即時，選擇方案二當(dāng)，即時，選擇方案一，方案二均可當(dāng)，即時，選擇方案一【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、利用數(shù)學(xué)期望解決實際問題，關(guān)鍵是明確選擇方案的原因在于平均花費更少，即數(shù)學(xué)期望更小，屬于中檔題.21．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的右頂點為，直線與雙曲線相交于兩點不是左右頂點），且.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明過程見解析，定點坐標(biāo)為【分析】（1）由漸近線方程求出，根據(jù)焦點到漸近線距離列出方程，求出，從而求出，得到雙曲線方程；（2）與聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出或，舍去不合要求的情況，求出直線過定點，定點坐標(biāo)為.【詳解】（1）因為漸近線方程為，所以，焦點坐標(biāo)到漸近線的距離為，解得：，因為，解得：，所以雙曲線的方程為；（2）由題意得：，與聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，化簡得：，解得：或，當(dāng)時，恒過點，當(dāng)時，恒過點，此時中有一點與重合，不合題意，舍去，綜上：直線過定點，定點為，【點睛】處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).22．已知函數(shù)，其中．(1)求的最大值；(2)若不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性