成都市2020級高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第I卷（選擇題）1至2頁，第II卷（非選擇題）3至4頁，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名?考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．第I卷（選擇題，共60分）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，得到，進(jìn)而求出交集.【詳解】，故.故選：C2.滿足（為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù).【詳解】由復(fù)數(shù)的除法可得.故選：A.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)為求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B4.下圖為2012年─2021年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（）A.2012年─2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增B.2012年─2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增C.2012年─2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均較上一年實(shí)現(xiàn)增長，且其增速均快于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速D.2012年─2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折線圖給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可判斷出答案.【詳解】對于A，2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負(fù)數(shù)，從2017到2018利潤總額下降，故A不正確；對于B，2015年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負(fù)數(shù)，從2014到2015利潤總額下降，2019年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負(fù)數(shù)，從2018到2019利潤總額下降，故B不正確；對于C，2012年─2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均為正數(shù)，所以利潤總額均較上一年實(shí)現(xiàn)增長，且其增速均大于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速，故C正確；對于D，2012年─2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為，2012年─2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為，，故D不正確.故選：C5.若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)在上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故選：C.6.若圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓面，則它的底面面積與側(cè)面面積之比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，扇形的半徑為，利用圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，可得出、的等量關(guān)系，再利用圓錐的側(cè)面積和底面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，扇形的半徑為，由題意可得，，所以，該圓錐側(cè)面積為，底面積為，所以，該圓錐底面面積與側(cè)面面積之比是.故選：D.7.下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)B.對分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測值越小，說明“與有關(guān)系”的把握越大C.線性回歸直線恒過樣本中心D.在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】B【解析】【分析】相關(guān)系數(shù)來說，越接近，相關(guān)程度越大，說明擬合效果更好可判斷A；由隨機(jī)變量的觀測值可判斷B；由線性回歸直線一定恒過樣本中心可判斷C；由殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，可判斷D.【詳解】對于A，回歸分析中，對于相關(guān)系數(shù)，越接近，相關(guān)程度越大，說明擬合效果更好，A對；對于B，對分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測值越小，說明“與有關(guān)系”的可能性越小，B錯(cuò)；對于C，由線性回歸直線，其中，所以一定恒過樣本中心，所以C正確；對于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D正確.故選：B8.若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)極大值的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以有，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意，故選：D9.已知直線和平面．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，則可得，必要性成立；若，則或都有可能，但是不一定成立，充分性不成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（）A.512 B.510 C.256 D.254【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列，于是，故選：C11.日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽?，同時(shí)，另一部分被海水中的有機(jī)物和無機(jī)物有選擇性地吸收與散射．因而海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用表示其總衰減規(guī)律，其中是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度處和海面的光強(qiáng)．已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的，則該海區(qū)消光系數(shù)的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，列出方程，得到，兩邊取對數(shù)后，求出的值.【詳解】由題意得：，即，兩邊取對數(shù)得：，故.故選：A12.已知側(cè)棱長為的正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的表面積為，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算.【詳解】設(shè)四棱錐為，底面的中心為O，設(shè)外接球的半徑為R，底面正方形的邊長為2a，四棱錐的高為，則，，當(dāng)外接球的球心在錐內(nèi)時(shí)為，在中，，即…①，在中，，即…②，聯(lián)立①②，解得（舍）；當(dāng)外接球的球心在錐外時(shí)為，在中，，即…③，在中，，即…④，聯(lián)立③④解得，四棱錐的體積；故選：D.第II卷（非選擇題，共90分）二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.在公差為d等差數(shù)列中，已知，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將已知等式化簡，兩式相減即可求得答案.【詳解】由題意公差為d的等差數(shù)列中，,則,即,故,故答案為:14.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出，得到離心率.【詳解】化為，圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，則，解得：，即，故離心率為2.故答案為：2.15.已知平面向量滿足，則__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)所給條件平方后可得，再求出，可知向量與夾角相等，即可求解.【詳解】由平方可得：，又，，即，由知，，又，，且為銳角，，，解得，故答案為：16.已知函數(shù)．有下列結(jié)論：①若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是；②若，則函數(shù)的零點(diǎn)為；③函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為；④若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則，且．其中所有正確結(jié)論的編號為__________．【答案】②③④【解析】【分析】分離常數(shù)，，求函數(shù)值域得的取值范圍.代入，解得，，設(shè)的根為，分類討論方程根的個(gè)數(shù)，當(dāng)方程有四個(gè)根時(shí)，，且，可求得的取值范圍，根據(jù)的對稱性，可求得.【詳解】，令，，，故①錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，，故②正確.,令，設(shè)方程有兩個(gè)零點(diǎn)，，.當(dāng)方程無零點(diǎn).當(dāng)，方程有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，且，方程有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，方程有個(gè)零點(diǎn).故③正確.若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，則，且，,又關(guān)于對稱，設(shè)對應(yīng)兩根，對應(yīng)兩根，，故④正確.故答案為：②③④.三?解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.成都作為常住人口超2000萬的超大城市，注冊青年志愿者人數(shù)超114萬，志愿服務(wù)時(shí)長超268萬小時(shí).2022年6月，成都22個(gè)市級部門聯(lián)合啟動了2022年成都市青年志愿服務(wù)項(xiàng)目大賽，項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋文明實(shí)踐?社區(qū)治理與鄰里守望?環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域．已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)伍申報(bào)，主管部門組織專家對志愿者申報(bào)隊(duì)伍進(jìn)行評審打分，并將專家評分（單位：分）分成6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）已知評分在的隊(duì)伍有4支，若從評分在的隊(duì)伍中任選兩支隊(duì)伍，求這兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評分不低于85分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可；（2）由直方圖求得不低于90分的隊(duì)伍有2支，評分在的隊(duì)伍有2支．評分在分的隊(duì)伍有6支，再利用列舉法可得兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評分不低于85分的概率．【小問1詳解】由，解得．【小問2詳解】由題意知不低于90分的隊(duì)伍有支，故評分在的隊(duì)伍有2支．評分在分的隊(duì)伍有支．記評分落在的4支隊(duì)伍為；評分落在的2支隊(duì)伍為，．則從評分在的隊(duì)伍中任選兩支隊(duì)伍的基本事件有：，，，共15個(gè)．其中兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評分不低于85分的基本事件有：，，共9個(gè)．故所求概率為．18.記的內(nèi)角所對邊分別為．已知．（1）求的大?。唬?）若，再從下列條件①，條件②中任選一個(gè)作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡求；(2)若選①，由正弦定理求，由條件求，結(jié)合三角形面積公式求面積，若選②，由條件可設(shè)，利用余弦定理求，結(jié)合三角形面積公式求面積.【小問1詳解】，由正弦定理知，即．在中，由，．．．．【小問2詳解】若選擇條件①，由正弦定理，得．．又，即．．．若選擇條件②，由，即．設(shè)．則．由，得．．．19.如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且滿足．將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐．（1）若為的中點(diǎn)，平面平面，求四棱錐的體積；（2）設(shè)平面平面，證明：平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理推出平面，再根據(jù)棱錐的體積公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理推出，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論正確.【小問1詳解】由題意得．平面平面平面，平面平面，平面．為的中點(diǎn)，．．四棱錐的體積為．【小問2詳解】，平面平面，平面．平面，平面平面，．由圖①，得，．平面，平面，，平面．20.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且為等邊三角形．經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值及此時(shí)直線的方程．【答案】（1）；（2）最大值3，此時(shí)直線的方程為.【解析】【分析】（1）由為等邊三角形，得到，由橢圓定義得到的周長為，求出，進(jìn)而求出，得到橢圓方程；（2）推理出直線斜率不為0，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，表達(dá)出的面積，換元后結(jié)合基本不等式求出最大值及此時(shí)直線的方程.【小問1詳解】由為等邊三角形，，，故，，的周長為，得．，橢圓的方程為；【小問2詳解】由（1）知，且直線斜率不為0．設(shè)直線．由消去，得，顯然，，由面積，而，設(shè)，則．在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)時(shí)，取得最大值3，此時(shí)直線的方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．21.已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】記．則恒成立，即．當(dāng)，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．．解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】記．在上單調(diào)遞增．令，則，所以即在上單調(diào)遞增．由，知．．即，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．，由（*）式，可得．代入式，得．由（1）知，當(dāng)時(shí)有，故．．由．故，即，原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在