2021年上海民辦滬北高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論：①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；②圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；③圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到；④圖像向左平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖像。其中正確結(jié)論是(

)；

A．①③

B．②④

C．②③④

D．①②③④

參考答案：略2.2log6+3log6=（）A．0B．1C．6D．log6參考答案：B【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．【解答】解：2log6+3log6==log62+log63=log66=1．故選：B．3.如果下邊程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是990，那么在程序中WHILE后面的“條件”應(yīng)為(

)

A.i>10

B.i<8

C.i<=9

D.i<9參考答案：B4.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(3，-1)、C(2，-3)，點(diǎn)D在直線3x-y+1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程為(

)A.3x-y-20=0(x≠3)

B.3x-y-10=0(x≠3)C.3x-y-9=0(x≠2)

D.3x-y-12=0(x≠5)參考答案：A略5.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)a的值為A. B.2或－1 C.－2或1 D.－2參考答案：C【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得或1；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示方法，熟記平行的坐標(biāo)表示公式得到關(guān)于a的方程是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

6.（5分）直線l的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)（0，3），則此直線的方程是（） A． y=2x+3 B． y=2x﹣3 C． y=3x+2 D． y=2x+3或y=2x﹣3參考答案：A考點(diǎn)： 直線的點(diǎn)斜式方程．專題： 直線與圓．分析： 利用直線的斜截式即可得出．解答： 由直線l的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)（0，3），利用斜截式可得：y=2x+3．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線的斜截式，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)集合則集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（）Ａ．a(chǎn)2+b2Ｂ．２Ｃ．2bＤ．+b參考答案：D10.函數(shù)y=cos(-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

).A.[kπ+,kπ+]（k∈Z）

B.[kπ-，kπ+]（k∈Z）C.[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）

D.[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列滿足則的通項(xiàng)公式

。參考答案：=2n12.已知兩燈塔A、B與觀測(cè)點(diǎn)C的距離都等于km,燈塔A在觀測(cè)點(diǎn)C的北偏東，燈塔B在觀測(cè)點(diǎn)C的南偏東，則燈塔A與B的距離為

km.參考答案：13.給定集合，若對(duì)于任意，都有且，則稱集合為完美集合，給出下列四個(gè)論斷：①集合是完美集合；②完美集合不能為單元素集；③集合為完美集合；④若集合為完美集合，則集合為完美集合．其中正確論斷的序號(hào)是________________．參考答案：③略14.已知x=，y=，則3x2﹣5xy+3y2的值是

．參考答案：289【考點(diǎn)】方根與根式及根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知利用分母有理化求出x=5﹣2，y=5+2，由此能求出3x2﹣5xy+3y2的值．【解答】解：∵x==（）2=5﹣2，y==（）2=5+2，∴3x2﹣5xy+3y2=3（x+y）2﹣11xy=3×102﹣11（5﹣2）（5+2）=289．故答案為：289．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式的值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根式性質(zhì)、分母有理化、完全平方式的合理運(yùn)用．15.在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列那么位于表中的第100行第101列的數(shù)是

．參考答案：10100略16.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為▲．參考答案：17.函數(shù)y=|log2x|﹣10﹣x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

．參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖象一目了然．【解答】解：函數(shù)y=|log2x|﹣10﹣x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是方程|log2x|﹣10﹣x=0的根的個(gè)數(shù)，得|log2x|=10﹣x，令f（x）=|log2x|，g（x）=10﹣x，畫出函數(shù)的圖象，如圖：由圖象得：f（x）與g（x）有2個(gè)交點(diǎn)，∴方程|log2x|﹣10﹣x=0解的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)根的存在性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)。(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí),(其中)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)。參考答案：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?

由得;

由得,

則增區(qū)間為,減區(qū)間為.

(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增,

由,且,

時(shí),

的最大值為,故時(shí),不等式恒成立.

(3)方程即.記,則.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上遞減，在[1，2]上遞增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1)。所以，當(dāng)a＞1時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)3-2ln3＜a≤1時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)a=2-2ln2時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)a＜2-2ln2時(shí)，方程無(wú)解.

綜上所述，a時(shí)，方程無(wú)解；或a=2-2ln2時(shí)，方程有唯一解；時(shí)，方程有兩個(gè)不等的解.

略19.設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0． （Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值． 參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【專題】分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，對(duì)x討論，去掉絕對(duì)值，再由二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性，即可得到所求增區(qū)間； （Ⅱ）對(duì)x討論，去絕對(duì)值，再對(duì)a討論，分0＜a≤2，2＜a＜3時(shí)，3≤a＜8，a≥8，結(jié)合對(duì)稱軸和區(qū)間[﹣3，3]的關(guān)系，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|， 當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）遞增； 當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]遞增； 當(dāng)﹣3＜x≤0時(shí)，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]遞增； 當(dāng)x≤﹣3時(shí)，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]遞增． 綜上可得，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）． （Ⅱ）f（x）=， （1）若0＜a≤2，則f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}， 當(dāng)﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5， 即當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）min=﹣5（3﹣a）； （2）若2＜a＜3時(shí)，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}， 當(dāng)﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3）， 即f（x）min=， （3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8時(shí)，f（x）min=f（﹣）=﹣， （4）若≤﹣3，則a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a． 綜上可得，f（x）min=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性和最值求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵． 20.（1）判斷函數(shù)f（x）=x3+x的奇偶性．（2）如圖是函數(shù)f（x）=x3+x的圖象的一部分，你能根據(jù)f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）=x3+x的奇偶性．（2）根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)應(yīng)的圖象為：21.已知的三內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是，，，向量，且。（1）求角的大小；（2）若，求的范圍。參考答案：解：（1）∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.∴cosB(2a+c)+bcosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分∴cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0即2cosB