19.4綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌同步拓展講義一、

平鑲中數(shù)問無論是室內(nèi)地面的裝修還室地面的鋪設(shè)都涉及平面鑲嵌的有關(guān)知識(shí)如果你注意一下就發(fā)現(xiàn)用同一種地磚鋪地面磚的形狀大多是正方形或正六邊形為什么呢？用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，形成無空隙、不重合的一片，就是平面的鑲嵌正邊形能夠鑲嵌成平面圖案的前提是它的內(nèi)角在拼接點(diǎn)能夠拼成一個(gè)周角。在正多邊形中，只有三種正多邊形可以單獨(dú)鑲嵌。正三角正三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于因60°×6=360°所以用6個(gè)長相等的正三角形可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案，如圖。正方形正方形的每個(gè)內(nèi)角都等于因?yàn)?0°×4=360°所以用個(gè)邊長相等的正方形可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案，如圖。正六邊正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°因120°×3=360°所以用3邊長相等的正六邊形可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案，如圖。其它的正多邊形不能單獨(dú)鑲嵌正邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°3正五邊形拼在一起，在公共頂點(diǎn)上的三個(gè)角的和是，小于360°有空隙，而空隙又放不下第4個(gè)正五邊形。在鋪地面時(shí)為了美觀也使兩種不同的正多邊形地磚進(jìn)行鑲嵌如用3個(gè)三角形和兩個(gè)正方形，用個(gè)正八邊形和一個(gè)正方形。用三種不同的正多邊形地磚進(jìn)行地面鑲嵌不常見，但也可以，如圖，用正六邊形、正三角形和正方形地磚可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案。

二、用多邊形瓷磚嵌地面觀察一些建筑物的地面，可以發(fā)現(xiàn)這些地面常常是用一種或幾種正多邊形瓷磚鋪砌而成，你知道用哪些正多邊形瓷磚可以鑲嵌地面嗎？一用一正邊瓷鑲地例1迎接大學(xué)生冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，某市正在進(jìn)行城區(qū)人行道路翻新，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚鋪設(shè)地面．下列正多邊形的地磚中，不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（）正三角形

正方形

正五邊形

正六邊形ABD分析：當(dāng)用n塊角為x°同一種正多邊形圍繞一點(diǎn)拼在一起時(shí)，則有，此時(shí)有

x

，由于n為整數(shù)，所以只能為60，．也就是正多邊形中只有正三角形（內(nèi)角為方形（內(nèi)角為六形（內(nèi)角為120°才能單獨(dú)鑲嵌地面，而其它的同一種正多邊形瓷磚不能單獨(dú)鑲嵌地面．解：選．提示：用一種正多邊形瓷磚可以鑲嵌地面，這種正多邊形只能是正三角形，正方形，正六邊形中的一種．二用種多形磚嵌面例在列組多邊形地板磚中，①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；③正六邊形與正方形；④正八邊形與正方形．將每組中的兩種多邊形結(jié)合，能鑲嵌地面的是（）A①③④

B．③④

C．②③

D．②分析：假設(shè)用x塊三角形瓷磚與y塊正方形瓷磚可以鑲嵌．則60°x+90°y=360°即，于y為整數(shù)，只有當(dāng)，時(shí)成，所以用3塊三角形瓷磚和正方形瓷磚可以鑲嵌地面的法可以用2塊三角形瓷磚和六邊形瓷磚或用塊三形瓷磚和塊六邊形瓷磚可以鑲嵌地面；用2塊八邊形瓷磚和1塊正方形瓷磚可以鑲嵌地面；用正六邊形和正方形瓷磚不能鑲嵌地面．解：選D．提示用兩種正多邊形瓷磚鑲嵌面這兩種瓷磚可以是正三角形和正方形三角形

和正六邊形，正方形和正八邊形．三用種同正邊瓷鑲地例3一美觀的地板由四塊邊長相等的正多邊形瓷磚鑲嵌而成中塊分別是正三角形，正四邊形、正六邊形瓷磚，則另外一塊瓷磚(．A正三角形

B正方形

．正六邊形

D．八形分析:因正三角形、正方形、正六邊形的內(nèi)角分別是，為鑲嵌時(shí)，拼接處的角度和應(yīng)為所另一塊正多邊形的內(nèi)角應(yīng)為360°-60°-90°-120°=90°由此可知另一塊瓷磚為正方形．解：選．提示：用一塊正三角形瓷磚，兩塊正方形瓷磚和一塊正六邊形瓷磚可以鑲嵌地面．注意不在四種或四種以上的多邊形瓷磚的鑲嵌的情況．在用同一種正多邊形瓷磚鑲嵌地面時(shí)，一般多用正方形瓷磚或正六邊形瓷磚，雖然正三角形瓷磚也可以鑲嵌地面，但它不及正方形瓷磚大方實(shí)用，施工也麻煩，在鑲嵌地面時(shí)，一般不使用正三角形瓷磚．而多用正方形或正六邊形瓷磚．三、走中考話鑲嵌”我們知道地鋪地時(shí)地磚與地之間要不留空隙不重疊也就是說圍繞一點(diǎn)的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和恰好組成一個(gè)周角，即為就能鑲地面．圍繞這一知識(shí)的考查，出現(xiàn)形形色色、千姿百態(tài)應(yīng)用問題．現(xiàn)采擷幾例分析如下．一用一正邊鑲例（1如果只用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，那么在下列的正多邊形中，不能鑲嵌成一個(gè)平面的是（）A正三角形

B正方形

C．五邊形

D正六邊形（2單獨(dú)使用正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形四種地磚，不能鑲嵌（密鋪）地面的是．析解要決這類問題我們不妨設(shè)有個(gè)同一種正多邊形圍繞一密鋪的每一個(gè)內(nèi)角為，則有n，以，使整數(shù)α只取60o90o120o．也就是說只有正三角形正方形正邊形三種正多邊形可以單獨(dú)鑲嵌地面其他的正多邊形是不可以鑲嵌地面的．（1應(yīng)選C）能鑲嵌的是正八邊形地磚．

例正三角形作平面鑲嵌，同一頂點(diǎn)周圍，正三角形的個(gè)數(shù)為

個(gè)．析解圍繞同一點(diǎn)所有內(nèi)角和應(yīng)每一個(gè)正三角形內(nèi)角為60o360o÷60o=6是說用正三角形作平面鑲嵌，同一頂點(diǎn)周圍正三角形的個(gè)數(shù)為6個(gè)．二用種多形嵌例3（1在下列四組多邊形地板磚中，①正三角形與正形；②正三角形與正六邊形；③正六邊形與正方形④正八邊與正方形將每組中的兩種多邊形結(jié)合能鑲嵌地面的是（）A①③④

B．③④

C．②③

D．②析解解這類問題的主要方法利用方程進(jìn)行探究對(duì)于正三角形和正方形設(shè)有個(gè)三角形地磚n正方形地磚圍繞一點(diǎn)進(jìn)行鑲嵌，由于正三角形每個(gè)內(nèi)角是，正方形每個(gè)內(nèi)角是有即因?yàn)闉檎麛?shù)以m=3，n=2也就是說可以用正三角形地磚和2個(gè)方形地磚進(jìn)鑲嵌；同樣的方法探究出可以用2個(gè)三角形地磚正方形地磚或個(gè)三角形地磚和個(gè)正方形地磚