/2020年高二年級春季開學考理科數(shù)學一.選擇題(每小題5分，共60分)1.已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.【參考答案】A【題目解析】【題目考點分析】利用等式把復數(shù)z計算題出來，然后計算題z的共軛復數(shù)得到參考答案.【題目詳細解讀】，則.故選A【點睛】本題考查了復數(shù)的計算題和共軛復數(shù),意在考查學生對于復數(shù)的計算題能力和共軛復數(shù)的概念,屬于簡單題.2.“成立”是“成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【參考答案】B【題目解析】試題題目考點分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分條件考點：1．解不等式；2．充分條件與必要條件3.設命題，則為A. B.C. D.【參考答案】B【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題的知識，判斷出正確選項.【題目詳細解讀】原命題是特稱命題，否定是全稱命題，注意要否定結(jié)論，故本小題選B.【點睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題，考查特稱命題的否定是全稱命題，屬于基礎(chǔ)題.4.的值為（）A. B. C. D.【參考答案】A【題目解析】【題目考點分析】直接利用定積分公式計算題得到參考答案.【題目詳細解讀】故選A【點睛】本題考查了定積分的計算題，意在考查學生的計算題能力.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.(－1,1] B.(0,1] C.[1,＋∞) D.(0,＋∞)【參考答案】C【題目解析】【題目考點分析】求導題目考點分析導函數(shù)大于0的區(qū)間即可.【題目詳細解讀】對函數(shù)求導,得,令，解得,因此函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.故選：C【點睛】本小題考查導數(shù)問題,意在考查考生利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)本身隱含的定義域.屬于基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【參考答案】C【題目解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立，即在恒成立，而在遞減，在遞增，且，即；故選C.7.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）.A. B. C. D.【參考答案】D【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)雙曲線離心率求得，進而求得，由此求得漸近線方程.【題目詳細解讀】由于雙曲線離心率為，故，即，解得，故漸近線方程為.故選D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率，考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.甲、乙、丙，丁四位同學一起去問老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.丁可以知道四人的成績【參考答案】A【題目解析】【題目考點分析】根據(jù)甲的所說的話，可知乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，再結(jié)合簡單的合情推理逐一題目考點分析可得出結(jié)果.【題目詳細解讀】因為甲、乙、丙、丁四位同學中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，又甲看了乙、丙的成績且還不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，又乙看了丙的成績，則乙由丙的成績可以推出自己的成績，又甲、丁的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，則丁由甲的成績可以推出自己的成績.因此，乙、丁知道自己的成績，故選A.【點睛】本題考查簡單的合情推理，解題時要根據(jù)已知的情況逐一題目考點分析，必要時可采用分類討論的思想進行推理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.9.已知A，B是橢圓E：的左、右頂點，M是E上不同于A，B的任意一點，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為A. B. C. D.【參考答案】D【題目解析】【題目考點分析】由題意方程可知，，設，利用斜率公式以及直線的斜率之積為列式并化簡得:，①,再根據(jù)M在橢圓上可得，②,聯(lián)立①②可解得.【題目詳細解讀】由題意方程可知，，設,則,，整理得：，①又，得，即，②聯(lián)立①②，得，即，解得．故選D．【點睛】本題考查了斜率公式,橢圓的幾何性質(zhì),屬中檔題.10.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|＝()A. B. C.3 D.2【參考答案】C【題目解析】【題目考點分析】過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′，利用拋物線定義以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【題目詳細解讀】如圖所示：過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′，因為，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點F到準線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義應用，意在考查學生的計算題能力.11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在處取得極大值 B.有兩個不同的零點C. D.若在上恒成立，則【參考答案】ACD【題目解析】【題目考點分析】對于選項A、C，只需研究的單調(diào)性即可；對于選項B，令解方程即可；對于選項D，采用分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值即可.【題目詳細解讀】由已知，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，A正確；又令得，即，當只有1個零點，B不正確；，所以，故C正確；若在上恒成立，即在上恒成立，設，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，故D正確.故選：ACD【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的極值、零點、不等式恒成立等問題，考查學生的邏輯推理能力，是一道中檔題.12.圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面的中心，為的中點，動點在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）若則點形成的軌跡的長度為()A. B. C. D.【參考答案】C【題目解析】【題目考點分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．【題目詳細解讀】建立空間直角坐標系．設A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0）．于是有（0，1，），（x，y，）．由于AM⊥MP，所以（0，1，）?（x，y，）＝0，即y，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為2．故選C．【點睛】本題考查通過建立坐標系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．屬中檔題二.填空題題(每小題5分，共20分)13.曲線在點處的切線方程為___________．【參考答案】.【題目解析】【題目考點分析】本題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【題目詳細解讀】題目詳細解讀：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算題的基礎(chǔ)，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計算題錯誤．求導要“慢”，計算題要準，是解答此類問題的基本要求．14.已知函數(shù)，則__________.【參考答案】e【題目解析】，令得所以15.若橢圓的一條弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是__________.【參考答案】【題目解析】【題目考點分析】設弦的兩個端點的坐標分別為，代入橢圓的方程，兩式相減求得直線的斜率，利用直線的點斜式方程，即可求解.【題目詳細解讀】設弦的兩個端點的坐標分別為，則，兩式相減可得，所以，即弦所在直線的斜率為，直線方程為，整理得，即弦所在的直線方程是.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，以及利用“點差法”求解過中點的直線方程，其中解答中熟記中點弦的性質(zhì)，合理利用“點差法”求解直線的斜率是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.16.已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為_________.【參考答案】【題目解析】【題目考點分析】求得函數(shù)的導數(shù)，把函數(shù)有2個極值點，所以有兩個不相等的實數(shù)根，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，列出不等式，即可求解.【題目詳細解讀】由題意，函數(shù)的定義域為，則，因為函數(shù)有2個極值點，所以有兩個不相等的實數(shù)根，令，則，若時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不可能有兩個實數(shù)根，（舍去）；若時，令，即，解得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)求得極大值，極大值為，又由時，，時，，要使得在區(qū)間有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故參考答案為：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，其中解答中把函數(shù)有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根是解答的關(guān)鍵，著重考查了等價轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力.三.解答題.(共70分)17.已知命題：“方程表示焦點在軸上的橢圓”，命題：“方程表示雙曲線”.（1）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題和都是真命題，求實數(shù)的取值范圍.【參考答案】（1）（2）【題目解析】【題目考點分析】（1）根據(jù)方程表示焦點在軸上的橢圓得到，計算題得到參考答案.（2）命題為真命題時滿足或，求交集得到參考答案.【題目詳細解讀】（1）命題：“方程表示焦點在軸上的橢圓”，則，解得.（2）命題：“方程表示雙曲線”，則，解得或.若“和”都是真命題，，所以.【點睛】本題考查了根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍，意在考查學生的計算題能力.18.已知函數(shù)，時有極大值.（1）求、的值；（2）求函數(shù)在上的最值.【參考答案】（1），；（2）最大值，最小值【題目解析】【題目考點分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意得出，列出、的方程組，可解出實數(shù)、的值；（2）由（1）得出，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，并與端點函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【題目詳細解讀】（1），，由題意得，解得；（2）由（1）知，則.令，得或，列表如下：極小值極大值因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值.【點睛】本題考查導數(shù)與導數(shù)的極值、以及利用導數(shù)求最值，解題時要注意導數(shù)與極值、最值之間的關(guān)系，同時要注意導數(shù)求函數(shù)最值的基本步驟，考查題目考點分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19.（2017新課標全國Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【參考答案】（1）見題目解析；（2）.【題目解析】試題題目考點分析：（1）利用題意證得二面角的平面角為90°，則可得到面面垂直；（2）利用題意求得兩個半平面的法向量，然后利用二面角的夾角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值為.試題題目解析：（1）由題設可得，，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以為二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由題設及（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.則.由題設知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點，得.故.設是平面DAE的法向量，則即可取.設是平面AEC的法向量，則同理可取.則.所以二面角D-AE-C的余弦值為.【名師點睛】（1）求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算時，要認真細心，準確計算題.（2）設m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補或相等，故有.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.20.已知拋物線的焦點F（1，0），O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．（1）求拋物線C方程；（2）若直線AB過點（8，0），求證：直線OA，OB的斜率之積為定值【參考答案】（1）；（2）詳見題目解析.【題目解析】【題目考點分析】（1）根據(jù)拋物線方程和焦點坐標得，從而可得拋物線方程；（2）當斜率不存在時，求出交點坐標，從而得到；當斜率存在時，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，可得韋達定理的形式，列出，代入韋達定理，整理可得，從而可證得結(jié)論.【題目詳細解讀】（1）拋物線的焦點坐標為即拋物線的方程為（2）證明：①當直線的斜率不存在時，即可得直線與拋物線交點坐標為：②當直線的斜率存在時，設方程為，聯(lián)立方程組，消去得：則：，綜合①②可知，直線，的斜率之積為定值【點睛】本題考查拋物線方程的求解、拋物線中的定值問題.解決定值問題的關(guān)鍵是能夠通過直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出所求的值，通過整理消元得到所求定值.21.已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線的斜率為，直線與橢圓C交于兩點．點為橢圓上一點，求的面積的最大值．【參考答案】（1）；（2）2【題目解析】試題題目考點分析：（1）由橢圓定義，橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為常數(shù)，又因為，從而求得即可得橢圓的標準方程；（2）設的方程為，把其與橢圓的方程聯(lián)立，求出弦長為△PAB的底，由點線距離公式求出△PAB的高，，表示出三角形的面積，然后用基本不等式求最值即可試題題目解析：（1）由條件得：，解得，所以橢圓的方程為（2）設的方程為，點由消去得．令，解得，由韋達定理得．則由弦長公式得．