帕波斯帕波斯(PappusofAlexandria)生于亞歷山大，活躍于公元300—350前后．?dāng)?shù)學(xué)、天文、地理．

帕波斯是亞歷山大晚期的數(shù)學(xué)家．確定他的生活年代，主要的依據(jù)是他在注釋托勒密的書時(shí)提到他最近曾目睹一次日食．經(jīng)考證，這次日食應(yīng)發(fā)生在公元320年10月18日另外，賽翁(TheonofAlexandria，公元390年前后)編寫的一份年代表，手稿現(xiàn)藏在萊頓，旁邊有注釋者的字跡．對(duì)著戴克里先(Diocletian，羅馬皇帝，公元284—305年在位)的名字寫道：“此時(shí)帕波斯寫作”．這和前面的日食年代出入不大，可能在戴克里先時(shí)代他還年青，剛開始寫作．

帕波斯有不少著作，唯一流傳下來的正是最有價(jià)值的一種：《數(shù)學(xué)匯編》(Mathematicalcollection)，簡稱《匯編》(Collection，或Synagoge)，synagoge的希臘原文是συναγωγ，是收集，匯集的意思．《匯編》在歷史上占有特殊的地位，這不僅僅是它本身有許多發(fā)明創(chuàng)造，更重要的是記述了大量前人的工作，保存了一大批現(xiàn)在在別處無法看到的著作．它和普羅克洛斯的《概要》是研究希臘數(shù)學(xué)史的兩大原始資料．

《匯編》原有8卷，卷Ⅰ和卷Ⅱ的前一部分已失傳．各卷寫于不同的年代，完成全書應(yīng)在公元320年或340年之后．

目前唯一完善的版本是F．胡爾奇(Hultsch)校訂并翻譯的希臘文與拉丁文對(duì)照本，包括非常寶貴的導(dǎo)言、注解和附錄．唯一全部譯成現(xiàn)代語的有P．V．?？?Eecke)的法文譯本．選擇其中一部分譯出的則較多，而最早的拉丁文譯本是F．科曼迪諾(Commandino，1509—1575)作出的(1566)，只是一部分．以后在17，18世紀(jì)及近代又有多種摘要譯本．

公元4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)已成強(qiáng)弩之末．“黃金時(shí)代”(公元前300—200)幾何巨匠已離去五、六百年，公元前146年亞歷山大被羅馬人占領(lǐng)，學(xué)者們雖然仍能繼續(xù)研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢雄偉、一往無前的創(chuàng)作精神．公元后，興趣轉(zhuǎn)向天文的應(yīng)用，除門納勞斯、托勒密在三角學(xué)方面有所建樹之外，理論幾何的活力逐漸凋萎．在此情況之下，總結(jié)數(shù)百年來前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，確是十分必要的．這項(xiàng)任務(wù)由帕波斯來完成．

他為此目的寫成《分析薈萃》(Treasuryofanalysis)一書，收錄了歐幾里得、阿波羅尼奧斯等人著作的重要部分，可惜此書已失傳．后來又有《匯編》之作，其中的卷Ⅶ反映了《分析薈萃》的主要內(nèi)容．《匯編》不是希臘數(shù)學(xué)的百科全書，它更像一本手冊(cè)，必須和原著一起研讀．但由于許多原著已經(jīng)散失，《匯編》便成為了解這些著作的唯一源泉．

《匯編》內(nèi)容簡介

失傳的卷Ⅰ和卷Ⅱ的前13個(gè)命題大概和留下來的部分一樣，是論述阿波羅尼奧斯的大數(shù)記法的，相當(dāng)于以“萬”(10000，myriad)為底的乘冪表示法．

卷Ⅲ分4節(jié)，第1節(jié)將幾何問題明確地分為3類：1．平面(plane)問題，即可以用直尺圓規(guī)解決的問題；2．立體(solid)問題，要用立體(指圓錐)的截線，即圓錐曲線來解決．3．線性(linear)問題，用比圓錐曲線更復(fù)雜的曲線來解決，如螺線、割圓曲線(qu-adratrix)，蚌線(conchoid)、蔓葉線(cissoid)等．這些曲線有的已有機(jī)械作圖法．

注意此處“線性”一詞的用法和現(xiàn)代迥然不同．現(xiàn)在所謂“線性”就是“直線性”或“一次性”，但希臘當(dāng)時(shí)的“線”包括直線和曲線，這里指的是曲線，還特別將直線及圓錐曲線排除在外．帕波斯指出求兩線段的兩個(gè)等比中項(xiàng)的問題(即倍立方問題)屬于立體問題，這表明他已意識(shí)到不可能用尺規(guī)來解決．這一事實(shí)直到19世紀(jì)才獲得嚴(yán)格證明．

接著他給出埃拉托塞尼、尼科米迪斯及海倫三家的倍立方問題解法．最后補(bǔ)充聲稱是自己的第4種解法，這和歐托基奧斯所說的斯波拉斯(SporusofNicaea)解法大同小異．

第2節(jié)討論各種中項(xiàng)(平均)：等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、調(diào)和中項(xiàng)等．記載某一位幾何學(xué)家(沒有指名)給出下述的關(guān)系：設(shè)ADC是以O(shè)為心，AOC為直徑的半圓，B是OC上任一點(diǎn)，作BD⊥AC交半圓于D，連OD，作BF⊥OD．則OD，BD分別是AB與BC的等差、等比中項(xiàng)，這是明顯的．又FD是AB與BC的調(diào)和中項(xiàng)，帕波斯對(duì)此沒有給出證明，實(shí)際證明很容易．除此以外，還討論了其他6種中項(xiàng)．

第3節(jié)有一系列的命題，直接抄錄自艾里西諾斯(Erycinus)的《悖論集》(Paradoxes)，內(nèi)容和歐幾里得《幾何原本》卷Ⅰ第21命題有關(guān)．這命題是：從△ABC底邊BC的兩端點(diǎn)B、C作直線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)P，則構(gòu)成的△BPC兩邊之和BP+PC＜BA+AC．帕波斯證明了如果直線不從兩端點(diǎn)而是從BC上某一點(diǎn)D出發(fā)，則構(gòu)成三角形的兩邊之和可以等于或大于原三角形兩邊之和．例如在直角三角形ABC中，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連AD，在其上取E使DE=BA，取EA的中點(diǎn)P，連PC，則DP+PC＞BA+AC．其余的命題與此類似，但復(fù)雜得多．

第4節(jié)論述如何作球的內(nèi)接五種正多面體、和《幾何原本》卷ⅩⅢ的方法不同．

帕波斯并不是單純照錄前人的工作，他隨時(shí)提出自己的見解，包括對(duì)已有知識(shí)的修正、補(bǔ)充、評(píng)論、引伸，也有些完全是獨(dú)創(chuàng)的．但他沒有處處都指明來源，以致常常分不清是誰的研究成果或者是他本人的發(fā)明．

卷Ⅳ第1節(jié)是勾股定理(《幾何原本》卷Ⅰ47命題，西方名為畢達(dá)哥拉斯定理)的推廣．設(shè)△ABC是任意三角形，在AB，AC上各任作ABDE，

ACFG，延長DE與FG交于H，連AH．則ABDE與ACFG之和等于以BC及AH為邊，夾角為∠ABC+∠DHA的平行四邊形．

如圖所示，延長HA交BC于K，作CM‖AH，BL‖AH．則不難證明。BCML等于AB，AC上的兩個(gè)平行四邊形之和．

這一節(jié)還有若干圓相切的問題．

第2節(jié)是引起人們極大興趣的“皮匠刀”(shoemaker’sknife，ρβηλο)問題．所謂“皮匠刀”，是三個(gè)半圓所包圍的部分，兩個(gè)小半圓外切，又同時(shí)內(nèi)切于大半圓．阿基米德在《引理集》(BookofLemmas)中曾經(jīng)給出這圖形的一些性質(zhì)．帕波斯進(jìn)一步加以探索．

在大半圓的直徑AB上任取一點(diǎn)C，以AC及CB為直徑分別作半圓，就得到“皮匠刀”．設(shè)在“皮匠刀”內(nèi)有一連串互相外切的圓Q1，Q2，Q3，…(同時(shí)又切于圓形的邊緣)，其直徑依次為d1，d2，d3，…．從各圓的圓心向AB作垂線P1Q1，P2Q2，P3Q3，…，帕波斯證明了

P1Q1=d1，P2Q2=2d2，P3Q3=3d3，…．

接著還討論了其他種種的情形．

這一卷的其余部分主要討論一些特殊曲線和怎樣利用這些曲線去解決“三大問題”．首先是阿基米德螺線，他用不同于阿基米德的方法巧妙地求出第一圈和始線所包圍的面積．

其次描述了尼科米迪斯發(fā)明的蚌線，并用蚌線解倍立方問題．

尼科米迪斯的著作已失傳，有賴帕波斯和其他學(xué)者的記載，他的成果才保存下來．

接著闡述了“割圓曲線”，這曲線最初由希皮亞斯(Hippiasof

Elis，公元前400年)提出，后來狄諾斯特拉托斯(Dinostratus)和尼科米迪斯都研究過并用來“化圓為方”(作一正方形等于已知圓的面積)．

帕波斯給出兩種利用“曲面軌跡”(surface-loci)產(chǎn)生割圓曲線的方法，一種是用柱面螺旋線(cylindricalhelix)，一種是以阿基米德螺線為底的直柱．他還陳述一種“球面上的螺線”(spiralonasphere)：設(shè)球面上的子午圈(通過南北兩極的大圓)以過兩極的球直徑為軸勻速旋轉(zhuǎn)；在子午圈上有一點(diǎn)，從北極出發(fā)勻速向赤道移動(dòng)，當(dāng)子午圈旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置時(shí)，此點(diǎn)同時(shí)到達(dá)赤道，此點(diǎn)的軌跡叫做“球面上的螺線”．

最后帕波斯列舉了各種三等分任意角的方法．包括雙曲線解法，阿基米德螺線解法，割圓曲線解法等，還將一個(gè)角分成給定比的兩部分．

特別值得注意的是帕波斯在這里用到了圓錐曲線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線性質(zhì)，又在卷Ⅶ中給出證明：設(shè)一動(dòng)點(diǎn)至一定點(diǎn)的距離與至一定直線的距離之比等于常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．當(dāng)這個(gè)常數(shù)等于1時(shí)是拋物線，小于1時(shí)是橢圓，大于1時(shí)是雙曲線．

奇怪的是在整個(gè)阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中竟沒有這個(gè)性質(zhì)(或定義)，只提到橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)而沒有提拋物線的焦點(diǎn)．至于在他之前的阿里斯泰奧斯(Aristaeus，約公元前340)和歐幾里得是否已知這一性質(zhì)，未有定論．

卷Ⅴ講的是“等周問題”(isoperimetry)，前面的序言有一段非常精采的關(guān)于“蜜蜂的機(jī)敏”的描寫：

“蜂房是蜂蜜的容器，它是許許多多的六棱柱形，一個(gè)挨一個(gè)，中間沒有一點(diǎn)空隙．這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是避免雜物的攙入，弄臟了這些純潔的產(chǎn)品．蜜蜂希望有勻稱規(guī)則的圖案，也就是等邊等角的圖形．……鋪滿整個(gè)平面區(qū)域的正多邊形一共只有三種：正三角形、正方形和正六邊形．蜜蜂憑著本能的智慧選擇了角最多的六邊形．因?yàn)槭褂猛瑯佣嗟牟牧?，六邊形比三角形和正方形具有更大的面積，從而可貯藏更多的蜜．人的知慧比蜜蜂更勝一籌，我們能夠研究更一般的問題，知道在周界相等的正多邊形中，角越多面積越大．周界相同，面積最大的平面圖形是圓”．

帕波斯如果進(jìn)一步觀察蜂房的底部，會(huì)令他更加驚奇，那是由三個(gè)相同的菱形組成的，菱形的一個(gè)角總是109°28′．這引起18世紀(jì)時(shí)學(xué)者們一系列的研究．

本卷第1節(jié)介紹和補(bǔ)充芝諾多羅斯(Zenodorus，約公元前180)的工作，他曾著《論等積形》(Onisometricfigures)一書，已失傳，若干命題保留在賽翁(TheonofAlexandria)給托勒密《天文集》卷Ⅰ所作的注釋中．帕波斯所列舉芝諾多羅斯的命題有：

(1)周長相等的正多邊形中，邊數(shù)越多的面積越大；

(2)圓面積比有同樣周長的正多邊形面積大；

(3)周長相等的n邊形中，正n邊形面積最大；

(4)表面積相等的立體中，球的體積最大．

帕波斯補(bǔ)充了一個(gè)命題：周長相等的弓形中，半圓的面積最大．

第2節(jié)比較各種表面積相等的立體的體積．帕波斯并不企圖證明球體積比一切表面積相等的立體都大，只是證明比表面積相等的正多面體以及錐體、柱體的體積大．

第3節(jié)記述了阿基米德發(fā)現(xiàn)的13種半正多面體，這是別的資料所沒有的．半正多面體就是由若干類的正多邊形構(gòu)成的多面體，每一類正多邊形必須相等，例如18個(gè)相等的正方形和8個(gè)相等的正三角形構(gòu)成一個(gè)26面體．

第4節(jié)是和阿基米德《論球與圓柱》(Onthesphereandcyl-inder)有關(guān)的一些命題．

第5節(jié)證明了5種正面體若有相同的表面積，則面數(shù)越多，體積越大．

卷Ⅵ主要講天文學(xué)，指出許多書中的遺漏和錯(cuò)誤．有的是疏忽造成的，有的表達(dá)不夠確切，也有的可以進(jìn)一步改進(jìn)，提到的書有托勒密《小天文學(xué)》(Littleastronomy)，西奧多修斯(Theo-dosiusofBithynia)《球面學(xué)》(Sphaerica)、《論晝夜》(Ondaysandnights)，門納勞斯《球面學(xué)》(Sphaerica)，奧托利科斯(Auto-lycusofPitane)《運(yùn)行的天體》(Onmovingsphere)，還有歐幾里得《現(xiàn)象》(Phaenomena)、《光學(xué)》(Optics)等．

卷Ⅶ是全書最重要的一卷，它除了保存大量已失傳的著作外，更難能可貴的是富有啟發(fā)性的思想，對(duì)后來數(shù)學(xué)的發(fā)展有深刻的影響．他收集了12種書，視為幾何學(xué)的精華，構(gòu)成他的《分析薈萃》．他認(rèn)為通過《幾何原本》的學(xué)習(xí)之后，要登堂入室，達(dá)到更高的境界，就要掌握這些知識(shí)．

他列舉的書除了歐幾里得《已知數(shù)》(Thedata)和阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》(Conics)之外，其余10種均已失傳．計(jì)有：歐幾里得《推論集》(Porisms)、《曲面軌跡》(Surface-loci)；阿波羅尼奧斯《截取線段成定比》(Cutting-offofaratio)、《截取面積等于已知面積》(Cutting-offofanarea)、《確定的截線》(Deter-minatesection)、《論接觸》(Contacts)、《傾斜》(Inclinations)、《平面軌跡》(Planeloci)；阿里斯泰奧斯(Aristaeus)《立體軌跡》(Solidloci)；埃拉托塞尼《論平均值》(Onmeans)．

帕波斯用“分析”作為書名，為了明確起見，他在本卷之首，先給出“分析”與“綜合”的定義．這本來是哲學(xué)或邏輯學(xué)的術(shù)語，是指思維的一種基本過程和方法．分析是把事物分解為各個(gè)屬性、部分、方面，而綜合是把事物的各個(gè)屬性、部分、方面結(jié)合起來．但在數(shù)學(xué)中，意義完全不同．分析法是由結(jié)論推到前提的方法，即先假定結(jié)論是真的，倒推回去，推出一已知為真的命題．又如果每一步都是可逆的，就等于證明了從已知命題可以推出結(jié)論．在幾何作圖題中，常常先設(shè)圖形已經(jīng)作出．然后進(jìn)行推理，從中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，于是找到作圖的方法．這一步驟叫做分析，現(xiàn)在仍然是常用的方法．粗略地說，分析法就是一種倒推法．而綜合法的過程與此相反，是由已知推出所要證明的結(jié)論．這種定義最早記載在歐幾里得《幾何原本》卷ⅩⅢ第1命題的后面，是后人補(bǔ)充上去的．最先提出這個(gè)定義大概是歐多克索斯(Eu-doxus)，帕波斯在這一卷里再一次加以肯定．

帕波斯在介紹各家的學(xué)說時(shí)，常提出自己一些新的見解．他綜述了阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》，其中卷Ⅲ有關(guān)于“3或4條直線的軌跡”問題：設(shè)p1，p2，p3或p1，p2，p3，p4是一點(diǎn)到3或4條固定直線的距離(或者是垂直距離，或者量距離的直線與固定直線交于一定

線的情形)，其中λ是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．帕波斯將它推廣到5條或6條直線：設(shè)一點(diǎn)到5條或6條固定直線的距離為p1，…，p5或p1，…p6，若，p1p2p3=λp4p5a或p1p2p3=λp4p5p6，其中a是一給定線段的長，則點(diǎn)的軌跡也是一條確定的曲線，但這曲線(自然比圓錐曲線復(fù)雜)尚未被研究出來．

他進(jìn)一步推廣到任意條固定直線的情形，這里遇到一個(gè)困難．當(dāng)時(shí)希臘人將兩條線段的乘積看作面積，3條線段的積看作體積，3條以上的積沒有幾何意義，應(yīng)該避免出現(xiàn)．帕波斯巧妙地用復(fù)比的辦法來克服了這一困難，因?yàn)閮蓷l線段的比已不是線段，若干個(gè)比可以任意相乘．于是命題可以表達(dá)為：若一點(diǎn)到n條固定直線的距離為p1，…，pn，如果

則點(diǎn)的軌跡是一確定的曲線．

這問題的歷史意義在于，他提出了一個(gè)重要的軌跡問題，啟發(fā)人們?nèi)ニ伎迹磺Ф嗄曛螅K于導(dǎo)致一個(gè)新領(lǐng)域——解析幾何的誕生．笛卡兒(1637)用代數(shù)方法去研究“多條直線問題”，這是促使他去創(chuàng)立解析幾何的主要?jiǎng)訖C(jī)之一．他在《幾何學(xué)》(LaGéo-métrie)中用大量的篇幅征引了帕波斯的著作(拉丁譯文)并從這一問題入手去闡發(fā)坐標(biāo)幾何思想．牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》第1編第5章也詳細(xì)討論了“4直線軌跡問題”，用純粹幾何方法去證明軌跡是圓錐曲線．

帕波斯另一項(xiàng)值得稱道的貢獻(xiàn)是提出后來稱為“古爾丁定理”的命題：“封閉的平面圖形圍繞同一平面內(nèi)且不與之相交的軸回轉(zhuǎn)，所產(chǎn)生的體積等于這圖形面積乘以圖形重心所描畫出的圓周的長”．他還進(jìn)一步斷言：“可以將封閉平面圖形改成一段平面曲線，它回轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的曲面面積等于曲線的長乘以其重心所畫過的圓周的長．”帕波斯只敘述而沒有證明．后來古爾丁在他的書(1635—1641)中重提這個(gè)定理，實(shí)際上他也沒有證明，只是作了“形而上學(xué)的推理”(metaphysicalreasoning)．卡瓦列里(BonaventuraCavalieri，1598—1647)指出這一缺陷后用自己創(chuàng)立的“不可分法”(methodofindivisibles)去證明它．

帕波斯在介紹上述各種著作