圓錐曲線的解法探究摘要：本文歸納總結(jié)了有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題的主要解體方法：定義法，參數(shù)法，直譯法，并通過(guò)實(shí)例，探究如何根據(jù)題目特點(diǎn)，選擇合適的思路和方法。關(guān)鍵詞：圓錐曲線解法定義法參數(shù)法直譯法

圓錐曲線中的相關(guān)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在歷年高考中，它一直都是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，具有綜合性強(qiáng)、涉及的知識(shí)面廣的特點(diǎn)，如何理解和掌握，并解決有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，是教師在授課，學(xué)生在學(xué)習(xí)求解過(guò)程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。下面將幾種較典型的方法：定義法、參數(shù)法、直譯法分別通過(guò)實(shí)例，探究他們?cè)诮忸}中各自的優(yōu)越性及選擇的原則。一.定義法解題現(xiàn)行人教版高中數(shù)學(xué)教材中的圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，圓錐曲線的定義既是教材最重要的基本內(nèi)容，也是解決許多有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題的一種重要方法。在許多題型的問(wèn)題中都與圓錐曲線的定義有著密切聯(lián)系，有的需要利用圓錐曲線的定義進(jìn)行求解會(huì)更便捷。一定要強(qiáng)化對(duì)圓錐曲線定義的理解和應(yīng)用，要積極主動(dòng)地培養(yǎng)我們應(yīng)用定義解題的意識(shí)。在介紹定義法之前，先給出圓錐曲線的定義：

橢圓的第一定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(2a>F1F2)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中兩定點(diǎn)F1、F2叫做它的焦點(diǎn)；橢圓的第二定義:

平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是一個(gè)小于1的定常數(shù)，則P的軌跡叫做橢圓。雙曲線的第一定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(2a＜F1F2)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線，其中兩定點(diǎn)F1、F2叫做它的焦點(diǎn)；雙曲線的第二定義:平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是一個(gè)大于1的定常數(shù)，則P的軌跡叫做雙曲線。拋物線的定義:平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線的距離相等，則P的軌跡叫做拋物線換而言之:平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線的距離之比e=1，則P的軌跡叫做拋物線。圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。1.利用圓錐曲線的定義求軌跡方程例題1.已知兩定圓C1：x4y24，C2:x4y24，動(dòng)圓M與C1、C2 中的一個(gè)外切，另一個(gè)內(nèi)切求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。如圖1所示：圖1分析:對(duì)于求軌跡方程的一般方法是有關(guān)建立改點(diǎn)的方程，這樣就可以通過(guò)運(yùn)算求出軌跡方程。然而本題可以由動(dòng)圓的半徑相等，再由分別與兩定圓內(nèi)切、外切，得到M到CC12的差為定值C2內(nèi)切，圓的半徑為R解：不妨設(shè)Mx,y與C1外切,與依題意得：MC1C1PMC2C2QR其中C1PC2Q2所以MC1MC24①若Mx,y與C1內(nèi)切,與C2外切，則有：MC1MC24② 2y121由①、②得MC1MC24由雙曲線的定義可知，動(dòng)圓Mx,y的軌跡方程是x24點(diǎn)評(píng)：利用雙曲線的第一定義快捷地得到解題，同時(shí)省略了較為復(fù)雜的運(yùn)算2.利用圓錐曲線的定義證明例題2.（2001年廣東、河南理科高考試題）已知橢圓x2y21的右準(zhǔn)線與x2軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線上，且BC//x軸。求證：直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)。(本題對(duì)原題略有改動(dòng))分析：對(duì)直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)進(jìn)行求證，使用一般的證明中點(diǎn)的方法，較為復(fù)雜。圖2解：如圖2所示，作AD垂直右準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則AD//EF//BC.QEg CG=CA=BF,FG=AFADABBCAB\EG=ADBFAB=eADBCAB=AF·BF=FGAB\G為線段EF中點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：用橢圓的第二定義與平行線切割定理快捷地得到證明3.利用圓錐曲線的定義求最值例題3.如圖3所示，已知拋物線y24x，一定點(diǎn)A，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)。在拋物線上求一點(diǎn)P，使得APPF取最小值；并求得最小值圖3分析：利用定義是指動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的和與差，或是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比?？梢园颜劬€段之和轉(zhuǎn)化成直線段?；蚶萌切稳叺年P(guān)系求最值解：y24x,2P4,P2,F。。則APPFAPPQ。即為最小值，由點(diǎn)A引準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為QAPPFmin4。y24xP11,為所求點(diǎn)。y14AP+PQ若另取人一點(diǎn)M，顯然AM+MF=AM+MQ'＞點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的定義求最值就更顯氣優(yōu)越性。充分了解圓錐曲線的定義是熟悉、理解圓錐曲線很重要的條件，解題過(guò)程中運(yùn)用定義，并注意挖掘題目隱含的幾何意義，可使解題簡(jiǎn)捷，少走彎路。這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是最基本，但很重要的方法。二.利用參數(shù)法解題參數(shù)方程的概念：在給定的坐標(biāo)系中，如曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo),xy都是另一個(gè)變數(shù)的函數(shù)ì?í??

xy

==

ftft

()()

,.且對(duì)于的每一個(gè)允許值有上述方程組所確定的點(diǎn)Pxy( )也是都在曲線C上，那么，這個(gè)方程叫做曲線C的參數(shù)方程，而聯(lián)系,xy的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡(jiǎn)稱參數(shù)）。中心在(x0,y0)，焦點(diǎn)在平行于x軸線的直線上，且長(zhǎng)、短軸的長(zhǎng)分別為2,2b的橢圓。中心在(ì

í

?x=x0+acos,（q為參數(shù)）2,2by+bsin.=y0y0)，焦點(diǎn)在平行于x軸線的直線上，且實(shí)、虛軸的長(zhǎng)分別為x0,的雙曲線。頂點(diǎn)在(ì

í

?x=x0+asec,（q為參數(shù)）y=y0+btgq.x0,y0)，焦點(diǎn)在平行于x軸線的直線上（焦點(diǎn)在頂點(diǎn)的右方），且焦參數(shù)p為的拋物線。ìí

x=x0+2pt2,（為參數(shù)）? y=y0+2pt.上述q分別是橢圓離心角，雙曲線離心角，而拋物線中的幾何意義：拋物線上的點(diǎn)Pxy( )與頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。（在用參數(shù)法解題時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍）2.1利用參數(shù)法求最值例題4.已知實(shí)數(shù),xy滿足4x2+9y2=36，求的x+y最大值；求xy最小值？q)。解析：方程可化為x2+y2=1，即為橢圓，則橢圓上的點(diǎn)是(3cos,2sin94ì

í

?x=3cos,y=2sin.\x+=3cosq+2sinq=13sin(q+j),xy=3cosq·2sinq=3sin2q\(x+y)max=13(xy)min=-32.利用參數(shù)法證明例題5：如圖4，設(shè)P點(diǎn)是雙曲線x2-y2=1(a>0,b>0)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作a2b2雙曲線兩漸近線的平行線，分別于另一漸近線相交于M、N，求證:PM·PN=a2+b2.4圖4分析：若設(shè)Px( 0,y)，則運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜。如果雙曲線x2-y2=1(a>0,b>0)，直0a2b2線PM和PN都用參數(shù)方程，則計(jì)算PM和PN及其乘積較為簡(jiǎn)便。=0，所以證明：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(asec,btgq)。有直線PM平行于漸近線bx+ay它的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為：ì

?

?í

?

??x=asecq+-a2tt2t?

÷=0?a2+by=btgq+ba2+b2并代入bx-ay=0，得 ?ba?èsecq-aa2t?

÷-? ?

abtg? qè+ab2+b2+b\PM==1a2+b2(secq-tgq)2同理得PN=-1a2+b2(secq+tgq)2因此PM·PN=a2+b2.4這里即運(yùn)用了雙曲線的參數(shù)方程，也運(yùn)用了直線的參數(shù)方程，因而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。由此可見(jiàn)，參數(shù)法德應(yīng)用給定值證明問(wèn)題帶來(lái)方便。如何合理的使用參數(shù)法，建立曲線的參數(shù)方程，既是解決圓錐曲線的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。3.利用參數(shù)法求值例題6：過(guò)點(diǎn)P-(1,1)，且傾斜角為a的直線交拋物線y2=-8x于AB兩點(diǎn)，如果PAPB=14，求角a的大小解：直線參數(shù)方程為ìí?x=-+tcosa（為參數(shù)）y=+tsina代入y2=-8x得t2sin2a+t(2sina+8cosa)-7=0則PAPB=tt12 7=sin2a=14則sina=2或sina=-222\a=45o或a=135o 利用參數(shù)法，可以將有關(guān)圓錐曲線的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，從而方便進(jìn)行求解運(yùn)算。三.利用直譯法解題直譯法原本是一種重要的翻譯方法，在這我們用它來(lái)體現(xiàn)直接翻譯題目給我們的信息，從而直接利用題目建立關(guān)系解決問(wèn)題。它有不少的優(yōu)點(diǎn)，例如能傳達(dá)原文意義，體現(xiàn)原文風(fēng)格等。也是我們的學(xué)生和教師在處理圓錐曲線的問(wèn)題是，最常用的方法，因?yàn)樗侵苯臃g題目的內(nèi)容，所以直譯法廣為師生采用，由此可見(jiàn)直譯法之重要。但是有時(shí)直譯法具有一定的局限性，例如計(jì)算量大，算式較為復(fù)雜等。1.利用直譯法求值

例題7（2010年江蘇高考理科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖5，已知橢圓x2y21的左、右頂點(diǎn)為A、B，95右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t,m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1y1)、N(x2y2)，其中m>0,y1,0y20。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PB24,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)x1,2x1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；23（3）設(shè)t9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。圖5解:

（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由PF2PB24，得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,化簡(jiǎn)得x=9。21故所求點(diǎn)P的軌跡為直線 9x=2。（2）將x1,2x21分別代入橢圓方程，以及y1,0y20得：M（2，5）、N（333，-20）9直線MTA方程為：y-0x+3=+3，即y 1=3x+1，5-03直線NTB方程為：-y-00=x-3，即y=5x-5。20-1-36293聯(lián)立方程組，解得：ì?í??x=7，y 10=3所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,10)。3（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,m)直線MTA方程為：y-0=x+3，即y m=12(x+3)，m-09+3直線NTB方程為：y-0=x-3，即y=m(x-3)。m-09-36分別與橢圓x2 2y51聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到x11-3,x213，9解得：M(3(80-m2),40m2)、N(3(m2-20),-20m2)。80+m280+m20+m220+m當(dāng)x11x2時(shí)，直線MN方程為：y20m+20+m22=x-3(m2-20)20+m240m220m+20+m3(80-m2)-3(m2-20)80+m80+m220+m2令y=0，解得：x=1。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)x1=x2時(shí)，直線MN方程為：x=1，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。2.利用直譯法求軌跡證明

例題8（2010年山東高考理科數(shù)學(xué)試題）如圖6，已知橢圓x2+y2=1a＞＞0)的離心率為2，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的a2b22左、右焦點(diǎn)FF1 2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(2+1).一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為1k、2k，證明kk=1 2 1；l的值；（Ⅲ）是否存在常數(shù)l，使得AB+CD=lABCD恒成立？若存在，求若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖6

解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為a=2，得a=2c，又2a+2c=4(2+1)，所以可解得a=22，c=2，所以b2=a2-c2=4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂84點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1。44（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Px0,y0)，則k1=y0，k2=y02，x0+2x0-kk12=y0·y02=y024x0+2x0-x02-又Px0,y0)在雙曲線上，有x02-y02=1，44則kk12=y024=1x02-kk=1 2 1，（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)l，使得AB+CD=lABCD恒成立，由（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2)，則直線CD的方程為y=1(kx+2)，所以ì?íy=kx+2)得(2k2+1)x2+8kx2+8k2-8=0x02+y02=1??84設(shè)Axy(1 1),Bx( 2,y2)則x1+x2=-8k2,xx1 2=8k2-12k2+12k2+1AB=1+k2·(x1+x2)2-4xx1 2=42(1+k2)2k2+1同理：CD=42(1+k2)k2+2QAB+CD=lABCDl=1+1 32

=8ABCD所以存在常數(shù) 32l=8，使得AB+CD=lABCD恒成立3.利用直譯法求最值例題9已知定點(diǎn)Aa(,0)和拋物線y2=2x，試求拋物線上的點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離。1，PA取得最小解析：由題意得：PA2=(x-a)

2+y2=é?x-(a- 21)ù?+2a-11.當(dāng)a31時(shí)，因?yàn)閤30，故當(dāng)x=-1時(shí)，PA2取得最小值2a-值2a-1；x30，故當(dāng)x=0時(shí)，PA2取得最小值a2，PA取得最小值a；2.當(dāng)a<1時(shí)，因?yàn)槔弥弊g法是學(xué)生與教師最易想到的方法，也是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要的方法之一，然而使用直譯法，