第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握實數(shù)與向量的積的定義及數(shù)乘的含義．2.掌握實數(shù)與向量的積的運算律，并進行有關(guān)的運算．活動方案1.概念的引入：已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．與非零向量a相比它們的長度和方向分別是怎樣的？活動一了解向量數(shù)乘的概念【解析】

作圖略，a＋a＋a＝3a,3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|＝3|a|；(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍，即|－3a|＝3|a|.2.向量數(shù)乘的定義：【解析】

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫作向量的數(shù)乘，記作λa.思考1???λa與a的長度與方向分別有什么關(guān)系？【解析】

①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反．3.向量的數(shù)乘滿足的運算律：【解析】

λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2???(1)(－λ)a與－(λa)及λ(－a)之間的關(guān)系是什么？(2)λ(a－b)與λa－λb之間的關(guān)系又是怎樣的？你能結(jié)合所學(xué)的知識解釋嗎？(3)結(jié)合以上兩點，如何計算λ(μ1a±μ2b)?【解析】

(1)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)．(2)λ(a－b)＝λa－λb，理由略．(3)λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.4.概念的辨析：設(shè)λ，μ∈R，下列敘述不正確的是________________________．(填序號)①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；④λa與a的方向相同(λ≠0)．【解析】

根據(jù)向量數(shù)乘的運算律知①②③正確；當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反，故④錯誤．【答案】

④例1

已知向量a和向量b，求作向量－2.5a和向量2a－3b.活動二掌握向量的數(shù)乘運算【解析】

略平面向量的數(shù)乘運算與向量的加減法一樣，都有它的幾何意義，同時把向量的數(shù)乘與向量的加法、減法統(tǒng)稱為向量的線性運算，運算的結(jié)果都是向量．【答案】

D例2

計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).【解析】

(1)－12a(2)5b(3)－a＋5b－2c(1)3(a－b)－2(a＋2b)；(2)2(2a＋6b－3c)－3(－3a＋4b－2c)．【解析】

(1)a－7b(2)13a思考3???向量數(shù)乘與實數(shù)乘法有哪些相同點和不同點？【解析】

相同點：都是兩個量的運算；不同點：前者結(jié)果為向量，后者結(jié)果為實數(shù)．若題目的條件中有三角形的中點，經(jīng)常聯(lián)想到向量的加法運算的平行四邊形法則，且平行四邊形的對角線互相平分，對于數(shù)乘運算，可以解決共線向量的長度關(guān)系問題．【答案】

D檢測反饋245131.設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a與λ2a的方向相同

B.a與－λa的方向相反C.|λa|＝λ|a|

D.|－λa|＝－λ|a|【解析】

對于A，因為λ2>0，所以a與λ2a的方向相同，故A正確；對于B，當(dāng)λ<0時，－λ>0，則a與－λa的方向相同，故B錯誤；對于C，因為|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ<0時，|λa|＝|λ||a|＝－λ|a|，故C錯誤；對于D，|－λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，|－λa|＝|λ||a|＝λ|a|，故D錯誤．【答案】

A245132.已知向量a與其單位向量a0方向相同，設(shè)a＝λa0，則λ等于(

)【解析】

因為已知向量a與其單位向量a0方向相同，所以λ>0，所以|a|＝λ|a0|＝λ，即λ＝|a|.【答案】

B24533.(多選)下列命題中，正確的是(

)A.對于實數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mbB.對于實數(shù)m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb(m∈R)，則a＝bD.若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，則m＝n1【解析】

根據(jù)向量的數(shù)乘運算律知A，B正確；對于C，若ma＝mb(m∈R)，當(dāng)

m＝0時，無法得到a