PAGEPAGE９初中數(shù)學(xué)（幾何部分）幾何基礎(chǔ)概念（8冊(cè)上）定義：一般地，用來(lái)說(shuō)明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義的語(yǔ)句叫做定義。命題：判斷一件事情的句子叫做命題。（命題就是具有真假意義的一句話(huà)）命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷的事項(xiàng)，命題寫(xiě)成“如果……那么……”的形式。正確的命題叫做真命題，不正確的命題叫做假命題。證明：判斷一個(gè)命題的推理的過(guò)程叫做證明。公理：通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來(lái)，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理。定理：通過(guò)推理得到證實(shí)的真命題叫做定理。證明一個(gè)命題的正確性，要按“已知”，“求證”，“證明”的順序和格式書(shū)寫(xiě)。一、直線(xiàn)直線(xiàn)的性質(zhì)：直線(xiàn)沒(méi)有粗細(xì)、向兩方無(wú)限伸展。兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。1、兩條相交直線(xiàn)（1）斜交。直線(xiàn)AB和直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)O。如圖∠1和∠2,叫做是對(duì)頂角。它們有公共頂點(diǎn)O，且他們的兩邊是互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)。同樣∠3和∠4是對(duì)頂角。BABACD123403ABEFO12定理：對(duì)頂角相等?！?和∠4，∠1和∠3,∠2和∠4，∠2和∠3是互為補(bǔ)角。即∠1+∠4=180o（2）垂直。直線(xiàn)AB和直線(xiàn)EF相交于O點(diǎn)，其中∠AOF=90o，則稱(chēng)直線(xiàn)AB和直線(xiàn)EF互相垂直。由此∠AOE、∠EOB、∠BOF都是90o?！?+∠2=∠BOF=90o，稱(chēng)∠1和∠2是互為余角。定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的補(bǔ)角相等。（3）作圖①已知線(xiàn)段AB，O是線(xiàn)段AB上中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作線(xiàn)段CD，使得CD⊥AB。②已知直線(xiàn)AB，P是直線(xiàn)AB外一點(diǎn)。過(guò)P作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)③作已知∠AOB的平分線(xiàn)⑤已知∠AOB，作∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB。作法：略（六冊(cè)下，P53）2、兩條直線(xiàn)平行（1）有關(guān)概念：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角。如圖，直線(xiàn)AB和直線(xiàn)CD被直線(xiàn)L所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，2286175LCADB∠7和∠8。內(nèi)錯(cuò)角有：∠2和∠7，∠5和∠4。同旁?xún)?nèi)角有：∠2和∠5，∠7和∠4。（2）兩條直線(xiàn)如果沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)這兩條直線(xiàn)平行。（3）兩條直線(xiàn)平行判定定理：①兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。②兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。③兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行。（4）兩條直線(xiàn)平行性質(zhì)定理：AABCabcF（5）作圖已知直線(xiàn)AB，求作直線(xiàn)CD，使得CD∥AB。二、多邊形－－(三角形)1、概念。由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。三角形有三條邊、三個(gè)內(nèi)角和三個(gè)頂點(diǎn)。如圖：頂點(diǎn)是A，B，C的三角形記作△ABC。∠A所對(duì)邊BC用a來(lái)表示。∠B所對(duì)邊AC用b來(lái)表示，邊AB用c來(lái)表示?！螧CF叫∠ACB的外角。有三個(gè)外角。2、分類(lèi)。按角分有：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。按邊分有：一般三角形，等腰三角形、等邊三角形。特殊的有等腰直角三角形。3、三角形的性質(zhì)。（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180o。（3）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（4）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（5）三角形的邊、角關(guān)系：三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊。大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊。（6）三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（7）角平分線(xiàn)的性質(zhì)：一個(gè)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一個(gè)角的兩邊等距離的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。（8）內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，叫做內(nèi)心。是三角形內(nèi)切圓的圓心。（9）外心：三角形的三邊垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，叫做外心。是三角形外接圓的圓心。（10）垂心：三角形的三條高交于一點(diǎn)，叫做垂心。（11）重心：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，叫做重心。且重心和各邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線(xiàn)的三分之一。線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等?！罱鞘禽S對(duì)稱(chēng)圖形，角分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸。角分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。③等腰三角形：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合（也稱(chēng)三線(xiàn)合一）。它們所在的直線(xiàn)是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸。④性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。⑤判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊相等。⑥等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形的三個(gè)角都相等。6、直角三角形（1）定義：有一個(gè)角等于90o的三角形叫做直角三角形。（2）性質(zhì)：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。推論：等腰直角三角形的底角等于45°。②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。③直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。④在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角是30°。⑤勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。bacbac（3）直角三角形全等的判定：①兩條直角邊分別相等的兩直角三角形全等。②一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等。③斜邊和一條直角邊分別相等的兩直角三角形全等。（4）、銳角三角函數(shù)三角函數(shù)是講角與兩邊的比值的關(guān)系（就是度數(shù)與數(shù)值的關(guān)系）。不同角的大小，對(duì)應(yīng)不同的數(shù)值（兩邊的比值）。①定義：在Rt△ABC中如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定?！螦的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。記作sinA∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦。記作cosA∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切。記作tgA∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切。記作ctgA，，，，ABaCbABaCbC②、30o、45、o60o角的三角函數(shù)值sinAcosAtgActgA30o45o1160o（5）、解直角三角形（九冊(cè)上）由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c?？傻孟铝嘘P(guān)系：①銳角之間關(guān)系：∠A＋∠B=90o②三邊之間關(guān)系：a2＋b2＝c2③角與邊之間關(guān)系：，，，。例在△ABC中，∠A=60o，∠B=45o，AC=12，求AB的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ADC中，AC=12，∠A=60o∴AD=AC=×12=6CD=AC·sinA=12×=在Rt△BDC中，∠B=45o∠BDC=90oADBADBC∴∠BCD=45o∴BD=CD=∴AB=AD+BD=6＋三、多邊形－－（四邊形——（七冊(cè)下）分類(lèi)：四邊形→→平行四邊形→矩形→正方形↘↘菱形↗↘梯形→等腰梯形↘直角梯形平行四邊形（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。連接平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段叫做這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)。（2）性質(zhì)：①平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等。0A0ABCD②平行四邊形的對(duì)線(xiàn)互相平分。AB=CDAC=BDOA=ODOB=OC∠CAB=∠BDC∠ACD=∠ABD。（3）判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（定義）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（定理）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（定理）兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形。（定理）菱形（1）定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。（2）性質(zhì)：菱形的四條邊相等；兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分；每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角。（3）判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的平行四邊形是菱形。四條邊都相等四邊形是菱形。矩形（1）定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。（2）性質(zhì)：矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，四個(gè)角都是直角。（3）判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。兩條對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形。有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4、正方形(1)定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。(2)性質(zhì)：正方形的四條邊都相等；四個(gè)角都是直角。正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角。(3)判定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形。有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形。5、梯形(1)概念：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行是兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線(xiàn)段叫做梯形的高。連接梯形的兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做梯形的中位線(xiàn)。梯形中位線(xiàn)定理：梯形的中位線(xiàn)平行于兩底，且等于兩底和的一半。6、等腰梯形定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等。等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等。判定：同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。7、直角梯形：一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。8、多邊形的內(nèi)角和外角n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180o。多邊形的外角和等于360o。9、中心對(duì)稱(chēng)圖形（1）中心對(duì)稱(chēng)圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o。如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形。性質(zhì)：中心對(duì)稱(chēng)圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線(xiàn)段都被對(duì)稱(chēng)中心平分。（2）兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o。能與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。性質(zhì)：成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等。四、相似形（8冊(cè)上）1、線(xiàn)段的比定義：在使用同一長(zhǎng)度單位的情況下，表示兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的數(shù)值的比，叫做兩條線(xiàn)段的比。例如線(xiàn)段AB、CD的比可以記作（或AB：CD）。線(xiàn)段AB，CD分別叫做線(xiàn)段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)。2、比例線(xiàn)段定義：四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即（或a：b=c：d）那么這四條線(xiàn)段a，b，c，d叫做成比例線(xiàn)段。簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段。線(xiàn)段a，b，c，d叫做這個(gè)比例的項(xiàng)。a,d叫做比例的外項(xiàng)，b，c叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。當(dāng)兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即a：b=b：d，b叫做比例中項(xiàng)。比例的性質(zhì)：如果，那么ad=bc。即比例的兩外項(xiàng)的乘積等于兩內(nèi)項(xiàng)的乘積。（基本性質(zhì)）反之，如果ad=bc，那么（a，b，c，d都不等于0）②如果，那么（反比定理）③如果，那么或（更比定理）④如果，那么(合比定理)⑤如果，那么（分比定理）⑥如果，那么（合分比定理）⑦如果=…=，那么（b+d+…+n≠0）（等比定理）3、相似三角形（1）定義：三個(gè)角相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形?！鰽BC和△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。（2）相似三角形的判斷：①兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似。②三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。③兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。（3）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角分線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比都等于相似比。②相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。4、相似多邊形定義：兩個(gè)多邊形的邊數(shù)相同，個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，個(gè)邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。5、位似圖形（8冊(cè)上）定義：如果兩個(gè)相似圖形的每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線(xiàn)都交于一點(diǎn)，那么這兩個(gè)相似圖形叫做位似圖形。這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心。這兩個(gè)相似圖形的比叫做它們的位似比。性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條在線(xiàn)上，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。例如圖，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)（1）如果DE∥BC，那么△ADE和△ABCBCBCAED是位似圖形嗎？為什么？（2）如果那么△ADE和△ABC是位似圖形，那么DE∥BC嗎？為什么？解：（1）∵DE∥BC∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC又∵點(diǎn)A是△ADE和△ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線(xiàn)BD和CE相交于點(diǎn)A∴△ADE和△ABC是位似圖形。（2）∵△ADE和△ABC是位似圖形∴△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B∴DE∥BC五、圓1、圓的有關(guān)概念到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）其中，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心。定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓記作⊙O。半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓。2、圓的性質(zhì)（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)，（2）圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為圓心。（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（4）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。3、圓心角（1）定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。（2）性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。4、圓周角（1）定義：頂點(diǎn)在圓上，它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦，叫做圓心角。（2）性質(zhì)：圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于等于它所對(duì)弧的度數(shù)一半。圓周角的度數(shù)等于等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)一半。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直經(jīng)。5、外接圓（1）定義：經(jīng)過(guò)三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。（2）不在同一在線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。（3）定義：一般地，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。（4）定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。6、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)P到圓心O的距離為d，圓O的半徑為r，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)d>r；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)d=r，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)d,<r。7、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系（內(nèi)切圓）（1）當(dāng)直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)和圓相交。兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)。當(dāng)直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)和圓相切。這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。當(dāng)直線(xiàn)和圓有沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)和圓相離。（2）切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。（3）切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。（4）內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。（5）切線(xiàn)長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)P