第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若復(fù)數(shù)z滿足z=4?3i，則A.3 B.?3 C.3i 2.已知向量a=(0,1)，b=(A.3a B.34b 3.定義：|a×b|=|a|?|b|?sinθ，其中A.?8 B.8 C.?8或8 4.在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若AA.23 B.45 C.565.在△ABC中，若sinCA.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.已知sin(α?π3)A.13 B.?13 C.77.在△ABC中，內(nèi)角為A，B，C，且0<B≤π3.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)A.(?∞,?1]∪[18.若AB=4，AC=3CB，平面內(nèi)一點(diǎn)PA.23 B.12 C.13二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是(

)A.已知a，b均為非零向量，若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb

B.已知非零向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λ10.歐拉公式exi=cosA.e2π3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.eπ2i為純虛數(shù)

C.e11.將函數(shù)f(x)=sin(2xA.y=f(x)在[π3,π2]上是減函數(shù)

B.由f(x1)=f(12.奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SCA.O為△ABC的垂心

B.∠AOB=π?C

C.|O三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若i是虛數(shù)單位，z=i+2i2+314.已知空間向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，且a，b的夾角為π315.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=35m，∠ADB=135°，16.如圖，△ABC中，AB=8，AC=7，BC=5，G為△ABC重心，P為線段BG上一點(diǎn)，則PA?

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

(1)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，|z|=2，且z+z?=?218.(本小題12.0分)

已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，滿足OA=(?3,m+1)，OB=(n,3)，OC=(7,4)，且19.(本小題12.0分)

已知向量m=(sinx,?3)，n=(1,cosx)，且函數(shù)f(x)=m?n20.(本小題12.0分)

筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書(shū)》中描繪了筒車的工作原理.如圖，一個(gè)半徑為3m的筒車，按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一周的時(shí)長(zhǎng)為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m.筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為y(單位：m)(在水面下則y為負(fù)數(shù))，若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則y與時(shí)間t(單位：min)之間的關(guān)系為y=Asin(ωt+φ)+b(A21.(本小題12.0分)

在①cosBcosC=?b2a+c，②sinAsinB?sinC=b+ca+c，③2S=?3BA22.(本小題12.0分)

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，x∈(0,+∞)，任意a，b，c∈R且a≥0，b≥0，c≥0，都有f(a)，f(b)，f(c)是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)y=f(x)為(答案和解析1.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)z滿足z=4?3i，則z的虛部是?3．

故選：B2.【答案】B

【解析】解：向量a=(0,1)，b=(1,3)，則a在b上的投影為：a?b|b|=32，

∴3.【答案】B

【解析】解：由題意可得2×5cosθ=?6，解得cosθ=?35，再由0≤θ≤π可得

sinθ4.【答案】C

【解析】解：由題可知AE=23(AB+AD)，

∵點(diǎn)F在BE上，

∴AF=λAB+(15.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查三角形形狀的判斷，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．

由兩角和與差的三角函數(shù)公式結(jié)合三角形的知識(shí)可得cosA=0或sinA=sinB.進(jìn)而可作出判斷．

【解答】

解：∵sinC+sin(B?A)=sin2A，

∴sin(6.【答案】D

【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式可得cos(α?【解答】解：因?yàn)閟in(α?π3)+3cosα

7.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，0<B≤π3，

設(shè)m=2sin(B+π4)，則sin2B=m2?1，

因?yàn)?<B≤π3，

所以π4<B+π4≤7π12，

所以1<m≤2，

所以(x+2+sin2B)2+[28.【答案】C

【解析】解：由向量關(guān)系A(chǔ)B=4，AC=3CB，

可得PC是∠APB角平分線，∴PA=3PB，

構(gòu)造阿波羅尼斯圓，A(?2,0)，B(2,0)，

設(shè)P(x,y)，則：9.【答案】AD【解析】【分析】本題考查平面向量共線定理、向量的線性運(yùn)算、向量數(shù)量積的性質(zhì)以及計(jì)算，涉及向量夾角的夾角計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，依次根據(jù)相關(guān)知識(shí)分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，符合向量共線定理，正確；

對(duì)于B，當(dāng)λ=0時(shí)，a與a+λb共線，a與a+λb的夾角不是銳角，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若c=(1,0)，a=(0,?1)，b

10.【答案】BC【解析】解：e2π3i=cos2π3+isin2π3=?12+32i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以A不正確；

eπ2i=cos11.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin(2x?π6)，

對(duì)于A，當(dāng)x∈[π3,π2]時(shí)，2x?π6∈[π2,5π6]，

因?yàn)閥=sinx在[π2,5π6]上單調(diào)遞減，

所以f(x)=sin(2x?π6)在[π3,π2]上是減函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B，當(dāng)x1=π6，x2=π2時(shí)，f(x1)=f(x2)=12，但x1?x212.【答案】AB【解析】解：如圖，

A：∵OA?OB=OB?OC，∴(OA?OC)?OB=0，∴CA?OB=0，∴CA⊥OB，同理AB⊥OC，

∴O為△ABC外心，∴A正確，

B：∵在四邊形ODCE中，∠OEC=∠ODC=90°，∴∠DOE+∠DCE=180°，

∴∠DOE=18013.【答案】2【解析】解：化簡(jiǎn)原式，

可得z=i+2i2+3i3+???+814.【答案】65【解析】解：(2a?b)⊥(λa+2b)，

則(2a?b)?(λa+2b)=0，即2λ15.【答案】35【解析】解：如圖所示：

△BCD中，CD=35m，∠BDC=15°，∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°，

所以∠CBD=30°，由正弦定理得BDsin135°=35sin30°，解得BD=352(16.【答案】20

[?【解析】解：延長(zhǎng)BG交AC于F，

∵G為△ABC重心，∴F為AC的中點(diǎn)，則BF=12(BA+BC)，

設(shè)BP=kBF，

P為線段BG上一點(diǎn)，∴0≤k≤23，

∵G為△ABC的重心，∴BG：BF=2：3，

PA=BA?BP=BA?kBF=BA?k2(BA+BC)=(1?k2)BA?k2BC，

PC=BC?BP17.【答案】解：(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R,a<0,b>0)，由題意得a2【解析】(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R,a<018.【答案】解：(1)因?yàn)槿c(diǎn)A，B，C在一條直線上，所以AB//BC，

又AB=(n+3,2?m)，BC=(7?n,1)，

所以n+3=(7?n)(2?m)，①

因?yàn)镺A⊥OB，所以?3n+【解析】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示以及三角形重心的性質(zhì)和平面向量的夾角公式問(wèn)題，是綜合題．

(1)由題意，AB//BC，OA⊥19.【答案】解：(1)由條件可得：f(x)=sinx?3cosx=2sin(x?π3)；

∵f(x)=2sin(x?【解析】(?1?)先根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件以及角的范圍即可求出結(jié)論；

(2)20.【答案】解：(1)由題知T=2=2πω，得ω=π，

由題意得A+b=92?A+b=?32，解得A=3，b=32，

t=0時(shí)，y=3sinφ+32=0，sinφ=?12，∵|φ|<π2，

∴φ=?π6；

(2【解析】本題考查三角函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)求最值，考查運(yùn)算求解能力，是拔高題．

(1)直接由題意求出A，ω，φ，b的值；

(2)方法一、直接由周期求解；方法二、求出函數(shù)解析式，由函數(shù)最值為1，可得πt?π6=π2+2kπ，即t=23+2k21.【答案】解：(1)若選①cosBcosC=?b2a+c，

由正弦定理得cosBcosC=?sinB2sinA+sinC，

整理得2sinAcosB=?sinBcosC?sinCcosB=?sin(B+C)=?sinA，

因?yàn)閟inA>0，

所以cosB=?12，

由B為三角形內(nèi)角得B=2π3；

若選②sinAsinB?si【解析】(1)若選①cosBcosC=?b2a+c，結(jié)合正弦定理及和