13.4課題學習最短路徑問題1．最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時點C是直線l與AB的交點．(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：證明：由作圖可知，點B和B′關于直線l對稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線．因為點C與C′在直線l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最小．分析：先確定其中一個點關于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為所求的點．解：如圖所示：(1)作點B關于直線l的對稱點B′；(2)連接AB′交直線l于點M.(3)則點M即為所求的點．點撥：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題.2.運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同．警誤區(qū)利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而則MN為所建的橋的位置．4．生活中的距離最短問題由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個問題，運用軸對稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長．所以作已知點關于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法．【例4】(實際應用題)茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？ 圖a 圖b解：如圖b.(1)作C點關于OA的對稱點C1，作D點關于OB的對稱點D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短．5.運用軸對稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的三邊關系是解決幾何中的最大值問題的關鍵．先做出其中一點關于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．破疑點解決距離的最值問題的關鍵運用軸對稱變換及三角形三邊關系是解決一些距離的最值問題的有效方法．【例5】如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側(cè)，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．分析：此題的突破點是作點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．解：如圖所示，以直線l為對稱軸，作點A關于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，A′關于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′