第四章

第一場災(zāi)難：真理的喪失每個時代都有其神話，并稱之為更高的真理?！獰o名氏進入19世紀，數(shù)學(xué)界正是一派祥瑞景象：拉格朗日仍然活躍在數(shù)學(xué)界，拉普拉斯正處在他智力的頂峰時期，傅立葉致力于研究他1807年的手稿，這篇手稿后來并入了他的經(jīng)典著作《熱論》（1822年）；高斯(Gauss)剛剛發(fā)表了他的《算術(shù)研究》（1801年），這是關(guān)于數(shù)論的一個里程碑，隨后他又做出了許多的貢獻，為他贏得了數(shù)學(xué)王子的雅稱；高斯的法國同行柯西(Augustin－LouisCauchy)在他1814年的一篇論文中顯露出超凡的才能。通過對這些人的工作的簡單介紹，可以看出19世紀前半葉在發(fā)現(xiàn)自然設(shè)計的奧秘的過程中取得了巨大進步。盡管高斯在數(shù)學(xué)上做出了巨大貢獻——我們很快將要討論其中之一——但他把大部分時間投入了物理學(xué)研究。事實上他并不是數(shù)學(xué)教授，在將近50年的時間里，他一直擔(dān)任天文學(xué)教授和哥廷根天文臺臺長。天文學(xué)占去了他的絕大多數(shù)時間和精力，而且他對天文學(xué)的興趣可追溯到他在1795—1798年在哥廷根求學(xué)的時候。1801年他獲得了他的第一項令人矚目的成就，那年1月1日皮亞奇(GiuseppiPiazzi)發(fā)現(xiàn)了小行星谷神星。盡管能觀察到的時間只有幾個星期，當時年僅24歲的高斯卻在觀察中運用了新的數(shù)學(xué)方法，并預(yù)言了這顆行星的軌跡。這一年的年底的觀察結(jié)果與高斯的預(yù)言十分接近。1802年當奧伯斯(WilhelmOlbers)發(fā)現(xiàn)另一顆小行星智神星的時候，高斯又一次成功地算出了它的軌跡。在高斯的主要著作之一《天體運動論》（1809年）中，對所有這些天文學(xué)方面的早期工作作了總結(jié)。后來，應(yīng)漢諾威公爵之邀，高斯對漢諾威進行了測量，奠定了大地測量學(xué)，并由此產(chǎn)生了微分幾何的創(chuàng)造性思想。在1830年到1840年間對理論和實驗磁學(xué)中的物理研究也獲得了巨大的成功，他創(chuàng)造了測量地球磁場的方法。麥克斯韋(JamesClerkMaxwell)，這位電磁場理論的奠基人，在他的《電學(xué)和磁學(xué)論》中說，高斯的磁學(xué)研究重新構(gòu)造了整個科學(xué)：使用的工具，觀察的方法及對結(jié)果的計算。高斯的地磁學(xué)論文是物理研究的典范。為了紀念這項工作，磁場的單位叫做高斯。盡管高斯和韋伯(WilhelmWeber)并沒有首創(chuàng)電報的思想，（因為在此之前其他人已有許多嘗試），1833年他們卻設(shè)計了一個實用的裝置，能使指針向左或向右偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)的方向依賴于導(dǎo)線上電流的方向。這只是高斯的若干發(fā)明之一。他還從事光學(xué)方面的研究，這是一項自歐拉時代以來就一直被忽略的學(xué)科。他在1838—1841年間所做的研究奠定了處理光學(xué)問題一個全新的基礎(chǔ)。19世紀在數(shù)學(xué)界能與高斯匹敵的就是柯西了，興趣廣泛的柯西數(shù)學(xué)論文超過700篇，數(shù)量上僅次于歐拉，按現(xiàn)代的版本算是整整26卷，涉及數(shù)學(xué)的所有分支。他是復(fù)變函數(shù)論（見第七章，第八章）的奠基人。但柯西投入到物理問題中的精力至少與投入到數(shù)學(xué)中的一樣多。1815年由于一篇關(guān)于水波的論文使他獲得了法國科學(xué)院頒發(fā)的一項獎勵。在小棒及彈性膜（例如金屬薄片）的平衡，彈性介質(zhì)中的波等方面，他都寫出了奠基性的著作。他也是數(shù)學(xué)物理這一分支的創(chuàng)始人。他從事于由菲涅耳創(chuàng)建的光波理論的研究并把這項理論擴展到光的分解和偏振領(lǐng)域?？挛魇且涣鞯臄?shù)學(xué)物理學(xué)家。雖然傅立葉的工作與高斯和柯西并不完全在同一領(lǐng)域，但由于他為數(shù)學(xué)領(lǐng)域熱的傳導(dǎo)帶來了更為實質(zhì)性的進展，因此他的工作尤其值得一提。傅立葉把這一學(xué)科看作宇宙研究中最重要的一環(huán)，因為對地球內(nèi)部的熱傳導(dǎo)的研究有可能證明地球是從一種熔化狀態(tài)冷卻凝固而形成的，這樣就可以對地球的年齡做一些估計。在這項工作過程中他發(fā)展了無窮三角級數(shù)——現(xiàn)在稱為傅立葉級數(shù)——的理論，使得它能用于許多其他的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。對他的工作無論用什么詞來贊譽都是不過分的。高斯、柯西、傅立葉以及其他數(shù)百人的成就似乎成了不容反駁的明證：越來越多關(guān)于自然界的真理正在被揭示。事實是整個19世紀中數(shù)學(xué)巨人們一直在沿著先人鋪設(shè)的道路前進，創(chuàng)造了更為有力的數(shù)學(xué)方法并把它成功地應(yīng)用到對自然界的進一步探索中。他們加速尋求自然界的數(shù)學(xué)定律，他們似乎被這樣一種信念所驅(qū)使：他們就是神派來揭示上帝意圖的。假如他們對一些同行的行為稍加注意，那么，也許他們會對即將面臨的災(zāi)難有所準備。培根早就在他的《新工具》（1620年）中寫道：一個群體的觀念是與生俱來的，與群體和種族關(guān)系甚密。因而人的感覺有時錯誤地被當作事物的標準。另一方面，所有感覺上的或是心智上的領(lǐng)悟力，依賴于人而不是宇宙。而人的心智就像不平坦的鏡面，把自己的性質(zhì)轉(zhuǎn)賦給了事物。光線原由事物發(fā)出，而鏡子使之扭曲變形。在同一部著作中培根倡議用經(jīng)驗和實驗作為所有知識的基礎(chǔ)，他寫道：推理建立起來的公理不足以產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，因為自然界的奧秘遠勝過推理的奧秘。是什么導(dǎo)致了上帝在設(shè)計宇宙中作用的削弱，即使是最忠實的信徒也會無意地在這個問題上發(fā)生分歧。哥白尼，開普勒都將他們的日心說理論看作是上帝的數(shù)學(xué)智慧的明證。但它卻是與《圣經(jīng)》中人的重要性相沖突的。伽利略、波義耳(RobertBoyle)、牛頓堅持說他們進行科學(xué)研究的目的在于證明上帝的意圖和存在，但實際上他們的工作中甚少涉及上帝。事實上伽利略在他的一封信中說道：“對我來說從來沒有任何關(guān)于《圣經(jīng)》的直接討論，以前從來沒有哪個天文學(xué)家或科學(xué)家像我這樣干過?！碑斎?，正如我們所看到的那樣，伽利略是相信上帝的數(shù)學(xué)設(shè)計的，他之所以這樣說只是為了說明在解釋自然界的奧秘時，不應(yīng)該引入其他的神秘的或是超自然的力量。在伽利略的時代，萬能的上帝能改變他的設(shè)計這一信仰占著統(tǒng)治地位。而笛卡爾，這位虔誠的教徒卻宣稱自然界的法則是不可改變的。這就無疑地限制了上帝的能力。牛頓也相信宇宙的固有秩序，并且指望上帝依照自己的旨意來維持世界運轉(zhuǎn)。他把這比作鐘表匠修理鐘表來使之正常工作。牛頓有充分的理由相信上帝的創(chuàng)造：盡管他十分清楚由于一顆行星的軌跡受到其他行星的影響從而不是一個真正的橢圓，他卻不能從數(shù)學(xué)上證明這種偏離是由于其他行星對它的引力產(chǎn)生的，因此他認為，除非是上帝按照自己的計劃繼續(xù)使宇宙運行，否則不可能維持其穩(wěn)定。萊布尼茨反對這種看法，在他1715年11月給牛頓的擁護者、哲學(xué)家克拉克的信中，他這樣評價牛頓關(guān)于上帝經(jīng)常需要給宇宙修理和上弦的觀點的：“上帝似乎并沒有足夠的遠見維持世界的永遠運動。……在我看來，世界上的力和能是恒定的，依據(jù)自然法則從物質(zhì)的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分而已。”萊布尼茨指責(zé)牛頓否認了上帝的能力。實際上，萊布尼茨還指責(zé)牛頓使英國的宗教信仰日趨衰弱。萊布尼茨的話并沒有說錯，牛頓的工作無意中使自然科學(xué)第一次從神學(xué)中分離或者解放出來。我們已經(jīng)提到過，伽利略堅持說自然科學(xué)必須與神學(xué)相分離，而牛頓在他的《原理》一書中堅持這一原則，朝著對自然現(xiàn)象給以純數(shù)學(xué)的解釋邁進了一大步。因此上帝越來越多地被排斥在科學(xué)理論的數(shù)學(xué)描述之外了。實際上，牛頓所沒能解釋的那些反?，F(xiàn)象在后來的研究中得到了根本上的解釋。制約天體和地面物體運動的普適法則逐漸統(tǒng)治了整個知識界，而且預(yù)言和觀察結(jié)果的持續(xù)一致說明了這法則的完善。盡管在牛頓之后，仍然有人認為這種完美的設(shè)計出自于上帝之手，但上帝已退到幕后。宇宙的數(shù)學(xué)法則則成為了焦點。萊布尼茨注意到在牛頓的《原理》中暗示著：不論有沒有上帝，世界依然我行我素，于是攻擊這本書為非基督徒的。追求純粹的數(shù)學(xué)結(jié)果的目的逐漸取代了對上帝的設(shè)計的關(guān)注。雖然歐拉之后的許多數(shù)學(xué)家仍然相信上帝的存在，相信上帝對世界的設(shè)計，以及數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)其主要功能是提供破譯這個設(shè)計的工具，但是隨著數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展以及其后的更多的發(fā)展，數(shù)學(xué)研究從神那兒得到的啟示越來越少，上帝的存在性也變得模糊起來。拉格朗日、拉普拉斯雖出身天主教世家，卻是無神論者。拉普拉斯完全否認上帝是世界的數(shù)學(xué)設(shè)計者。有個著名的故事說，拉普拉斯把他的《天體力學(xué)》呈獻給拿破侖時，后者說：“拉普拉斯先生，他們告訴我，你寫了這本關(guān)于宇宙系統(tǒng)的書，卻根本沒有提到它的創(chuàng)造者。”據(jù)說拉普拉斯是這樣回答的：“我不需要這種假說。”自然代替了上帝，正如高斯所說：“你，自然，我的女神，我對你的規(guī)律的貢獻是有限的?！备咚勾_信有一個無時不在，無所不知，無所不能的上帝，但卻認為上帝與數(shù)學(xué)及宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律探索沒有絲毫聯(lián)系。哈密爾頓關(guān)于最小作用原理的工作（見第三章）也揭示了知識界觀點的轉(zhuǎn)變，在1833年的一篇文章中，他寫道：雖然最小作用定理已立足于物理學(xué)最高級定理之林，然而從宇宙經(jīng)濟的基地上看，當時人們普遍拒絕把它作為宇宙規(guī)律的主張。對此，拒絕恰恰在于其他理由，事實上偽裝節(jié)約的都是常常浪費地消耗著……因此，我們不能認為這個數(shù)量的節(jié)約是由宇宙的神的思想設(shè)計的。不過，某種高度的簡潔可以被認為是包含在這一思想中?；仡櫼幌戮涂梢钥闯?，自然是上帝的數(shù)學(xué)設(shè)計這一信條正在被數(shù)學(xué)家們的工作所削弱。學(xué)者們越來越多地相信，人的推理是最有力的工具和最好的證明，因為它是數(shù)學(xué)家的成功。如果為了正當?shù)睦碛梢ズ葱l(wèi)它們，為什么不能將推理用于評判流行的宗教與倫理的信條呢？幸或不幸的是將推理運用于宗教信仰的基礎(chǔ)損害了許多正統(tǒng)觀念的根基。宗教信仰因此而從正統(tǒng)觀念分化出許多的旁門左系，諸如唯理論的超自然主義、自然神論、不可知論或是干脆的無神論。這些運動對18世紀那些學(xué)識廣博的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了一定影響。正如狄德羅這位唯理論者，反教權(quán)主義時代的知識界領(lǐng)袖所說：“讓我相信上帝，必須讓我能摸到他?！辈皇撬?9世紀的數(shù)學(xué)家都否認上帝的地位?？挛鬟@位虔誠的天主教徒指責(zé)人們“毫不猶豫地拋棄與已發(fā)現(xiàn)的定理矛盾的一切假說?！比欢焉系劭醋饔钪娴臄?shù)學(xué)設(shè)計者這樣的信仰還是開始衰退了。這種信仰的衰退不久就產(chǎn)生了這樣一個問題，即為什么自然的數(shù)學(xué)法則一定是真理呢？最早對真理問題提出質(zhì)疑的人中有狄德羅。在他《自然的解釋》（1753年）中說，數(shù)學(xué)家就像賭徒：二者都與自己發(fā)明的抽象規(guī)則賭博。他們的研究主題只是毫無事實基礎(chǔ)的規(guī)則。學(xué)者馮登利(BernardLeBovierdeFontenelle)在他的《世界的多元性》（1686年）中對此也同樣持批評態(tài)度。他對天體運動法則不變性的攻擊是這樣的：只要玫瑰花還在開放，園丁就永遠不會死去。數(shù)學(xué)家們愿意相信是他們提供了哲學(xué)家思想的源泉，但在18世紀，哲學(xué)家們都是否認物質(zhì)世界真理的先驅(qū)。我們略過霍布斯、洛克(John

Locke)和大主教貝克萊的教條，這不是由于它們能被輕易地駁倒而是因為它們不像激進的休謨(DavidHume)那樣有影響力。實際上休謨不僅贊同貝克萊的觀點，甚至走得更遠。在他的《人性論》（1739—1740年）一書中，休謨強調(diào)，我們既不了解精神，也不了解物質(zhì)，兩者都是虛幻的。我們只接受感覺，諸如印象、記憶和思想等簡單的概念只是這些感覺的模糊反映，任何復(fù)雜概念都是簡單概念的集合。精神實際上只是我們的感覺和概念的集中，除了可以通過直接經(jīng)驗所感知的事物，我們不能假定任何其他事物的存在，然而經(jīng)驗只能產(chǎn)生感覺。休謨對物質(zhì)持同樣的懷疑態(tài)度。誰能保證有一個永遠存在的實物的世界，所有我們能夠知道的只是我們對這樣一個世界的感覺。重復(fù)地感知一張椅子并不能證明這椅子確實存在，時間和空間只是我們產(chǎn)生概念的方式和順序，同樣的，因果關(guān)系只不過是概念在習(xí)慣上的一種聯(lián)系而已。無論是時間還是空間，或是因果關(guān)系，都不是客觀實在，我們被自己的感知能力所迷惑，因而相信了這樣的實在：存在一個有確定屬性的外部世界。這實際上只是一種無根據(jù)的推論，知覺的產(chǎn)生是不可理解的。我們不知道，它是來自于外部事物、心靈深處還是上帝。人本身不過是單個的感覺和思想的集大成者，他只能這樣存在著。“自我”就是不同的感知力的匯聚。任何試圖了解自己的嘗試最終只能導(dǎo)向領(lǐng)悟。所有其他的人和假定存在的外部世界只是某一個人的領(lǐng)悟，而且沒有什么能保證他們確實存在。于是也就不可能有任何關(guān)于一個永恒的客觀的物質(zhì)世界的科學(xué)法則。這樣的法則僅僅是一種感覺的合適的總結(jié)。更進一步說，由于因果概念并不是基于科學(xué)的證明而不過是一種來自于經(jīng)常發(fā)生的“事件”的通常的順序的思維習(xí)慣，所以我們無法了解，過去感知到的事件將來還會不會再發(fā)生。這樣休謨就否認了自然法則的必然性、永恒性以及不可破壞性。否認了外部世界遵循固定的數(shù)學(xué)定律這一信條，休謨也就否認了代表實在的邏輯推理結(jié)構(gòu)的價值。但是數(shù)學(xué)中也包含著關(guān)于數(shù)字和幾何的定理，其毫無疑問是從包含數(shù)字和幾何的假設(shè)真理中推出來的。休謨并不否認公理，但卻貶損它們以及由之推導(dǎo)出的結(jié)果。公理來自于對假定存在的物理世界的感知，定理的確是公理的必然結(jié)果，卻無非是公理的精確復(fù)述。它們是推論，但只是隱含在公理中的論斷的推理。因此公理和定理，都是同義重復(fù)，并不是真理。由是休謨回答了“人怎樣獲得真理”這一基本問題——他否認真理的存在，人不可能區(qū)別真理。休謨的工作不僅貶損了在科學(xué)和數(shù)學(xué)上付出的努力和得到的結(jié)果，還對推理本身的價值提出了質(zhì)疑。對于大多數(shù)18世紀的思想家來說，這樣一種對人類最高智慧能力的否認是大逆不道的。數(shù)學(xué)家、人類推理的其他成就如此輝煌以至于到了“不可一日無此君”的地步。休謨的哲學(xué)對于18世紀絕大多數(shù)的學(xué)者來說是矛盾和令人嫌惡的，而且與數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中的驚人的成就是如此格格不入，因此遭到了駁斥。歷史上最受尊敬的可能也是最深邃的哲學(xué)家康德發(fā)起了這一挑戰(zhàn)。但是對康德殫精竭慮所提出的結(jié)論進行仔細推敲后發(fā)現(xiàn)其并不比其他人的更令人信服。在他的《未來形而上學(xué)導(dǎo)言》（1783年）一書中，康德看來確是站在科學(xué)家和數(shù)學(xué)家一邊：“我們可以確切地說：純粹的先驗的綜合知識，純粹數(shù)學(xué)和純粹物理學(xué)是真實存在也是先天既定的，二者都包含一些被廣泛承認、絕對肯定的命題，……而且是獨立于經(jīng)驗的。”在他的《純粹理性批判》（1781年）一書中，康德甚至使用更為確信的詞語作為開頭，他肯定所有的數(shù)學(xué)公理和定理都是真理，但是為什么？康德自問道。他愿意接受這樣的真理嗎？顯然經(jīng)驗本身并不足以證明它們的有效性。如果你能回答一個更大的問題——數(shù)學(xué)確實是一門科學(xué)嗎——你也就能回答這個問題了。康德的回答是：時間和空間的形式依我們的心智所定，所謂時間和空間只是我們感知的一種模式。這種感知——康德稱之為直覺——的模式由心智對待經(jīng)驗的方式?jīng)Q定。我們依據(jù)這些智力形式去感知，組織和理解經(jīng)驗，經(jīng)驗與之相符猶如面團符合于它的模子。心智將這些方式加到感覺、印象上去使感覺與內(nèi)在的模式相吻合。既然空間的直覺來源于心智，那么心智自動地接受空間的某些屬性，諸如直線是兩點間的最短路徑，三點確定一平面以及歐幾里得的平行公理?？档路Q這些真理為一個先驗的假設(shè)的真理，它們是我們心智構(gòu)成的一部分。幾何學(xué)的科學(xué)性恰恰在于其揭示了這些真理的邏輯推斷，心智正是通過“空間結(jié)構(gòu)”來對待經(jīng)驗這樣一個事實說明經(jīng)驗與基本原理和定理是一致的。我們自認為感知到的外部世界的秩序和理性是由我們的精神和我們的思考方式加諸其上的。康德既然從人的大腦創(chuàng)造出了空間，那他也就看不出有什么理由不讓它是歐氏空間。他不能構(gòu)想出其他的幾何空間。這促使他相信，不存在別的空間，由此歐氏幾何定理既不是宇宙中固有的，也不是由上帝設(shè)計出來的，它是使人的感性認識條理化、理性化的作用結(jié)果。至于上帝，康德說上帝的本質(zhì)不在理性知識范圍內(nèi)，但我們還是應(yīng)該相信上帝?？档略趲缀紊系妮p率超過他在哲學(xué)上的大膽。他沒有到過離東普魯士城市哥尼斯堡他的家40英里以外的地方，然而他卻假定他能決定世界的幾何形狀。科學(xué)的數(shù)學(xué)法則又是如何呢？由于所有的經(jīng)驗都是時間和空間的精神框架所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)一定吻合于所有的經(jīng)驗。在他的《自然科學(xué)的形而上學(xué)基礎(chǔ)》（1786年）中康德承認牛頓定律及其推論是不證自明的。他宣稱已知證明了的牛頓運動定律可由純粹推理導(dǎo)出，而且這些定律也是唯一能使自然界被理解的假設(shè)。他說，牛頓所給予我們的，對宇宙如此清晰的領(lǐng)悟，永遠也不會改變。更一般地，康德認為科學(xué)的世界是一個由精神所組織和控制的，與內(nèi)在的范疇，諸如空間、時間、因果以及物質(zhì)等相一致的感官印象的世界。精神包含客體必定符合的結(jié)構(gòu)。感官印象確乎來自于真實的世界，然而不幸的是，這個世界是不可知的，所謂實在只是借助于感知，通過主觀分類所了解的。因此除了歐氏幾何和牛頓力學(xué)，沒有別的辦法來使經(jīng)驗條理化。隨著經(jīng)驗的增加，新的科學(xué)的形成，心智并不會從這些新的經(jīng)驗中提取并形成新的原理。而是將沉睡的心智部分喚醒來解釋這些新的經(jīng)驗。心智的觀察力是靠經(jīng)驗來啟發(fā)的，這就解釋了為什么有些真理譬如說力學(xué)定律發(fā)現(xiàn)得相當晚，而有些則在幾個世紀前就為人們所知了?？档碌恼軐W(xué)幾乎是毫不掩飾地推崇理性，然而他認為理性的作用不在于對自然界的探索，而在于開發(fā)人類心智荒蕪之處。由于來自于外部世界的感知提供了精神組織的原始材料，因此經(jīng)驗就作為知識的必然因素而被認可，而數(shù)學(xué)就是精神的必然法則的揭示者。數(shù)學(xué)家們是習(xí)慣于“數(shù)學(xué)是一個先驗真理的體系”這一論斷的，但大多數(shù)人并沒有對康德是如何得出這個結(jié)論給以足夠的注意。否則他的學(xué)說——數(shù)學(xué)家所證明的并非是物質(zhì)世界固有的，而是來自于人類的精神——會使所有的數(shù)學(xué)家停止工作。我們實際中所固有的與所感覺的是同一結(jié)構(gòu)嗎？這種空間的感知結(jié)構(gòu)一定是歐氏的嗎？我們?nèi)绾沃肋@一點呢？與康德不同的是，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家仍然相信存在一個受獨立于人的精神的法則支配的外部世界。人只是揭示其設(shè)計規(guī)律并用來預(yù)測在這個外部世界中將要發(fā)生的事情?？档碌膶W(xué)說既有解放思想的一面，也有束縛思想的一面，由于強調(diào)了精神能夠組織，我們并不真正了解的世界中的經(jīng)驗，他為創(chuàng)建與當時人們堅信的概念相反的概念打下了基礎(chǔ)，但由于他堅持依照歐氏幾何法則來組織空間感知，他阻礙了其他觀點的接受。如果康德對同時代的數(shù)學(xué)家的工作多加關(guān)注，也許他對這一觀點不會那樣固執(zhí)己見了。對于“上帝是宇宙原則的制定者”這一信仰的漠視甚至否認以及康德的“法則存在于人的精神的結(jié)構(gòu)中”的觀點，引起了“神圣的設(shè)計者”的報復(fù)，上帝決定要懲罰這些康德主義者，尤其是那些自以為是、盲目自信的數(shù)學(xué)家們。因而他轉(zhuǎn)而鼓勵非歐幾何，這項發(fā)明摧毀了人類自以為推理是自給自足、無所不能的信條。盡管到1800年時上帝的存在越來越不被感覺到，而且一些像休謨那樣偏激的哲學(xué)家否認所有真理，然而當時的數(shù)學(xué)家們還是相信嚴格的數(shù)學(xué)真理和自然界的數(shù)學(xué)法則。在所有的數(shù)學(xué)分支中，歐氏幾何最受推崇。這不僅由于它是第一個用演繹方法建立起來的，而且在兩千多年的時間里，它的定理一直完美地與客觀事實一致?！吧系邸彼舻恼菤W氏幾何。歐氏幾何中有一條公理一直在困惑著數(shù)學(xué)家們，不是由于他們對其正確性有任何懷疑之處，而是由于它的表達方式。這就是平行公理，或者通常稱為歐幾里得的第五假設(shè)，歐幾里得的表述是這樣的：如果一條直線（圖）與兩條直線相交，使得一側(cè)的內(nèi)角不都是直角，則如果將這兩條直線延長，它們在內(nèi)角不都是直角的直線一側(cè)相交。即若＜1＋＜2＜180°，將a、b充分延長，則它們必定相交。歐幾里得有很好的理由以這種方式表述他的公理。他本可以用另一種方式來敘述：若＜1+＜2＝180°則直線a與直線b永不相交，即直線a平行于直線b，但歐幾里得顯然是害怕假設(shè)有永不相交的無限直線。當然經(jīng)驗并沒有提供無限直線的性質(zhì)，而公理是被認為是關(guān)于物理世界的自明的真理。然而他確實以他的平行公理和其他公理證明了平行直線的存在。歐幾里得對平行公理的敘述被認為有點過于復(fù)雜了，它缺少其他公理的簡潔性，顯然連歐幾里得本人也不喜歡他對平行公理的敘述，因為直到所有可以不用它的定理都被證明出來以后，他才提到它。一個并沒有使許多人不安然而最終卻至關(guān)重要的問題是能否肯定在客觀世界中存在無限直線。歐幾里得的措詞頗為謹慎，你可以按需要任意延長一條（有限）直線，且延長后的直線仍然是有限的。歐幾里得確實暗示了無限直線是存在的：否則在任何情況下也不能按需要任意延長。早在希臘時代，數(shù)學(xué)家們就開始致力于解決歐幾里得的平行公理所帶來的問題了。他們做了兩種不同類型的嘗試，一種是用看來更加自明的命題來代替平行公理。另一種是試圖從歐幾里得的其他九條公理中推導(dǎo)出平行公理。如果這一辦法可行則平行公理就成為定理，也就無可懷疑的了。在兩千多年的時間里，許多著名的數(shù)學(xué)家曾從事于這兩方面的研究。至于那些無名之輩，我們就不去多說了。這段歷史相當長而過于專業(yè)化，它們中的大部分不在這里重述，因為它們很容易查到而且并不大切題。在眾多的替代公理中有一條是我們今天通常在中學(xué)里學(xué)習(xí)的，因而值得一提：這是普萊費爾(JohnPlayfair)1795年提出的平行公理的另一種說法：過不在直線l上一給定點P（圖），有且僅有一條由l和P確定的平面上的直線，不與l相交。所有的替代公理似乎都比歐幾里得的要簡單，但進一步考察就會發(fā)現(xiàn)，它們并不比歐幾里得的敘述更令人滿意。其中許多，包括普萊費爾的敘述涉及到空間的無窮遠處。另一方面，那些不直接提及“無限”的替代公理，例如，“存在兩個相似但不全等的三角形”，看起來比歐幾里得本人的平行公理更為復(fù)雜，更不可取。在試圖用第二種方法，即從其他九條公理中推出平行公理以解決平行公理問題的努力中，最有意義的是薩謝利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一個耶穌會教士，帕維爾大學(xué)的教授。他的思想是，如果你使用了一個本質(zhì)上不同于歐幾里得平行公理的公理的話，你將得出與他的其他公理矛盾的定理。這種矛盾意味著否認平行公理——它是唯一存在疑問的公理——是錯誤的。因此歐幾里得的平行公理一定是正確的，即它是其余九條公理的推斷?？紤]普萊費爾的公理，它與歐幾里得的公理是等價的，薩謝利首先假定過P點（圖）沒有與l平行的直線，則由這一公理和歐幾里得采用的其他九條公理，薩謝利確實推出了矛盾。薩謝利接著又試了其他可能的假設(shè)。即過P點至少有2條直線p和q，不管如何延伸總不與l相交。薩謝利進一步證明了許多有趣的定理，直到他推出一個奇怪而且令人討厭的結(jié)論，他認為它與前面得出的結(jié)論是矛盾的。由是薩謝利認為有理由推出結(jié)論：歐幾里得的平行公理是其他公理的推論，因此將他的書命名為《歐幾里得無懈可擊》（1733年）。然而后來的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)薩謝利并未真正推出矛盾，因此平行公理的問題依然存在。花在尋找一個可接受的歐幾里得平行公理的替代公理或證明它是其他九條公理的推論上的精力如此巨大而且徒勞無功，以致于達蘭貝爾在1759年稱平行公理問題是“幾何原理中的家丑”。漸漸地數(shù)學(xué)家們開始正確地理解歐幾里得的平行公理的重要性。1763年克呂格爾(GeorgS．Klugel)在他的博士論文中提出了引人注意的論點：即人們確信歐幾里得平行公理為真理是基于經(jīng)驗的，他熟知薩謝利的書和許多試圖證明平行公理的方法，后來他成為海姆斯塔特大學(xué)的教授。這一論點首次引進的思想是：公理的實質(zhì)在于符合經(jīng)驗而并非其不證自明?？藚胃駹枌W幾里得平行公理能夠證明表示懷疑，而且他認識到薩謝利并未得出矛盾，僅僅得到一些奇怪的結(jié)果。克呂格爾的論文啟發(fā)了蘭伯特(JohannHeinrichLambert)在平行公理上所做的工作，在他的《平行線理論》（寫于1766年，1786年出版）中，蘭伯特類似于薩謝利，考慮了兩種不同的情況。他也發(fā)現(xiàn)假設(shè)過P沒有平行于l的直線（見圖4,3）會導(dǎo)出矛盾，但他與薩謝利不同的是他沒有得出假定過P至少有兩條平行線則得到矛盾的結(jié)論。而且，他意識到不推出矛盾的任何一組假設(shè)都能產(chǎn)生一種可能的幾何。盡管這種幾何可能與實際圖形沒有什么關(guān)系，但卻是一種有效的邏輯結(jié)構(gòu)。蘭伯特和其他人（例如克斯特納（AbrahamG．K?stner），哥廷根大學(xué)的教授，也是高斯的老師）的工作都強調(diào)一個基本點，就是歐幾里得的平行公理不能由其他九條歐幾里得的公理證明，那也就是說，它是獨立于其他公理的。進一步，蘭伯特認為有可能通過引入一條異于歐幾里得平行公理的公理來建立一個邏輯上一致的幾何，盡管他沒有作出這種幾何應(yīng)用的可能性的判斷。這樣，他們?nèi)硕颊J識到了非歐幾何的存在。從事歐幾里得平行公理工作最著名的數(shù)學(xué)家當屬高斯。高斯十分清楚試圖證明歐幾里得平行公理是徒勞的，在哥廷根這已是常識。事實上，高斯的老師克斯特納完全了解這些工作及全部歷史。數(shù)年以后的1831年，高斯告訴他的一個朋友，早在1792年（當時高斯只有15歲），他就已經(jīng)掌握能夠存在一種邏輯幾何的思想，歐幾里得平行公理在其中不成立。但是直到1799年，高斯仍然試圖從其他更可信的假設(shè)之中推導(dǎo)歐幾里得平行公理，而且盡管他能夠構(gòu)想出邏輯的非歐幾何，他還是相信歐氏幾何是物理空間的幾何。然而，1799年12月17日，高斯寫信給他的同行和朋友，數(shù)學(xué)家鮑耶(Wolfgang

Bolyai)：至于說到我，我在我的工作中已經(jīng)取得一些進展，然而，我選擇的道路決不能導(dǎo)致我們尋求的目標（平行公理的推導(dǎo)），而你讓我確信你已達到。這似乎反而迫使我懷疑幾何本身的真理性。誠然，我所得到的許多東西，在大多數(shù)人看來都可以認為是一種證明，而在我眼中卻什么也沒有證明。例如，如果我們能夠證明可以存在一個直線三角形，它的面積大于任何給定面積的話，那么我就立即能絕對嚴密地證明全部（歐幾里得）幾何。大多數(shù)人肯定會把這個當作真理；但是我，不！實際上，三角形的三個頂點無論取多么遠，它的面積可能永遠小于一定的極限。大約從1813年起，高斯開始發(fā)展他的非歐幾何，最初稱之為反歐幾何，后稱星空幾何，最后稱為非歐幾何。他相信它在邏輯上是相容的，并且確信它一定也是能夠應(yīng)用的。高斯在1824年11月8日寫給他的朋友托里努斯(FranzAdolfTaurinus)的信中說：假定（三角形）內(nèi)角之和小于180°將導(dǎo)出一種奇怪的幾何，它與我們的（歐氏）幾何迥然不同，然而卻是完全相容的，我已經(jīng)將它發(fā)展得令自己完全滿意了。它的定理看起來是矛盾的，但是，如果你從最開始的不習(xí)慣開始對它進行平心靜氣的深入細致的思考，就會發(fā)現(xiàn)這里并沒有包括什么不可能的東西。在1829年1月27日寫給數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家貝塞爾的信中，高斯再一次肯定了平行公理不能由歐幾里得的其他公理證明出來。我們在此不討論高斯創(chuàng)建的非歐幾何的細節(jié)，他沒有寫出過完整的推導(dǎo)，而他所證明的那些定理與我們很快將要討論的羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)及J·鮑耶的工作多有相似之處。在給貝塞爾的信中他說他也許永遠不會發(fā)表他在這方面的發(fā)現(xiàn)，因為他害怕遭人譏笑，或者如他所說，他害怕波爾第人的嚷嚷（波爾第人是眾所周知的一個心智魯鈍的希臘部族）。但人們應(yīng)記得，雖然一些數(shù)學(xué)家逐漸達到非歐幾何研究的頂峰，然而在整個學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位的信念仍然是，歐氏幾何是唯一可接受的幾何。我們所知道的高斯在非歐幾何上的工作，是從他給朋友們的信中透露出來的。1816年與1822年《哥廷根學(xué)報》上的兩篇短評和1831年的一些注記都是他去世后在遺物中發(fā)現(xiàn)的。兩個由于創(chuàng)建非歐幾何而獲得的榮譽多于高斯的人是羅巴切夫斯基和J·鮑耶。事實上，他們的工作是前人的創(chuàng)造性思想的壓軸戲，但是由于他們發(fā)表了系統(tǒng)的推導(dǎo)文章，他們通常被稱為非歐幾何的創(chuàng)立者。羅巴切夫斯基是俄國人，他曾就讀于喀山大學(xué)，并在1821年到1846年間在那里任教授和校長。從1825年起，他開始在多篇論文和兩本書中就幾何基礎(chǔ)的問題提出自己的觀點。J·鮑耶是W·鮑耶之子，系匈牙利軍官，他發(fā)表了一篇關(guān)于非歐幾何——他稱之為絕對幾何——的26頁的論文《絕對空間的科學(xué)》，作為他父親的兩卷著作《為好學(xué)青年的數(shù)學(xué)原理論著》的第一卷的附錄，盡管這本書是1832—1833年出版的，但是在羅巴切夫斯基的著作出版之后，J·鮑耶似乎是在1825年就已經(jīng)形成了有關(guān)非歐幾何的思想，并且在那時就已確信新幾何不是自相矛盾的。在1823年11月23日寫給他父親的一封信中，J·鮑耶寫道：“我已得到如此奇異的發(fā)現(xiàn)，使我自己也為之驚訝不已?！备咚?，羅巴切夫斯基和J·鮑耶都認識到歐幾里得的平行公理不能在其他九條公理基礎(chǔ)上證明，也認識到附加平行公理是建立歐幾里得幾何所必需的。既然平行公理是獨立的，于是至少從邏輯上講有可能采取一個與此相矛盾的命題，并從新的一組公理來推導(dǎo)出結(jié)論。這幾個人所創(chuàng)建的技術(shù)內(nèi)容相當簡單，由于他們?nèi)俗龅墓ぷ魇峭瑯拥模@里我們只敘述羅巴切夫斯基的工作。羅巴切夫斯基果敢地放棄了歐幾里得的平行公理并提出自己的假設(shè)（與薩謝利的假設(shè)一樣）。給定一條直線AB和點P（圖），則所有過P的直線可按與AB的關(guān)系分為兩類，即與AB相交的和不與AB相交的。第二類中的兩條直線p、q是兩類直線的邊界。更準確地說，若P是到AB垂直距離為a的一點，則存在銳角A，使得所有與直線PD夾角小于A的直線都與AB相交，與PD夾角大于等于A的直線不與AB相交，與PD夾角為A的直線p、q稱為平行線，A叫做平行角。過P點且不與AB相交（不包括平行線）的直線稱為不相交直線，盡管在歐幾里得的意義上它們是平行的。從這個角度來說，羅巴切夫斯基幾何允許過P點有無限多條平行線。

圖趨于無窮大，A減小且趨于0。三角形的內(nèi)角和總是小于180°，且隨著三角形面積的減小而趨近于180°。而且，兩個相似三角形必定全等。任何較大的數(shù)學(xué)分支甚或較大的特殊成果，都不會只是個人的工作。充其量，某些決定性步驟或證明可以歸功于個人。這種數(shù)學(xué)積累發(fā)展特別適用于非歐幾何。如果非歐幾何意味著一系列包括異于歐幾里得平行公理的公理系統(tǒng)的發(fā)展，那么最大的功績必須歸于薩謝利。即便是他也利用了很多人尋求更易于接受的替換歐幾里得公理的工作。如果說非歐幾何的創(chuàng)立意味著人們認識到了除了歐氏幾何之外還可以有它種幾何的話，那么它的創(chuàng)立應(yīng)該歸功于克呂格爾和蘭伯特。然而關(guān)于非歐幾何最大的事實是它同樣可以像歐氏幾何一樣，準確地描述物理空間的性質(zhì)。歐氏空間不是物理空間所必然有的幾何。它的物理真實性不能由任何先驗基礎(chǔ)得證。這種認識，不需要任何技術(shù)性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（因已有人做過），最早是由高斯得到的。根據(jù)他的一篇傳記可知，高斯曾經(jīng)試圖檢驗這一觀點。他注意到在歐氏幾何中三角形內(nèi)角和為180°，而在非歐幾何中小于180°，他曾花了幾年時間對漢諾威王國進行測量，并記錄了數(shù)據(jù)。因此有可能他用這些數(shù)據(jù)來測量三角形的內(nèi)角和。在1827年寫的一篇著名的論文中，高斯注意到由布諾肯山(Brocken)、霍赫海根山(Hohehagen)和英色伯格山(Inselberg)三座山峰構(gòu)成的三角形內(nèi)角和為180°15″。這什么也證明不了，因為測量誤差遠大于15″，也許正確的和不會超過180°，高斯一定意識到這個三角形太小了。因為在他的非歐幾何中，三角形內(nèi)角和與180°的偏離程度正比于它的面積。只有非常巨大的三角形，比如在天文學(xué)研究中的三角形，才能顯示出明顯的偏離。然而高斯還是相信這門新的幾何和歐氏幾何一樣有實用性。羅巴切夫斯基也考慮了他的幾何在物理空間中的應(yīng)用，而且確實給出了證據(jù)，說明它可用于非常大的幾何圖形。因此，到了19世紀30年代，非歐幾何已不僅僅是被少數(shù)幾個人接受了，而且它在物理空間的適用性被認為至少是可能的。最初由高斯的工作提出的問題——哪種幾何適合于物理空間——促使了一門新的幾何學(xué)的產(chǎn)生，它使數(shù)學(xué)界更加相信，物理空間的幾何可以是非歐幾里得的。它的創(chuàng)建者是黎曼(GeorgBernhardRiemann)，他是高斯的學(xué)生，后來成為哥廷根的數(shù)學(xué)教授。盡管他并不知道羅巴切夫斯基和J·鮑耶的工作的詳細內(nèi)容，但高斯是知道的，而且黎曼一定知道高斯對歐氏幾何的必然適用性持懷疑態(tài)度。高斯指定黎曼把幾何基礎(chǔ)作為他應(yīng)該發(fā)表的就職演說的題目，這是黎曼為申請獲得無薪大學(xué)教師（其報酬直接來自學(xué)生的學(xué)費）資格所應(yīng)做的演說。黎曼于1854年給哥廷根的教授集團做了這一演講（1868年它以《關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》為題發(fā)表），高斯也在場。在這篇論文中，黎曼重新考慮了空間結(jié)構(gòu)的全部問題，他首先考慮的問題是，關(guān)于物理空間，我們究竟可以確信什么？在我們憑經(jīng)驗確定物理空間可能具有的性質(zhì)前，什么條件或事實必須預(yù)先假定呢？從這些被當作公理的條件和事實出發(fā)，他打算推導(dǎo)出更多的性質(zhì)。這些公理和它們的邏輯結(jié)果應(yīng)該是先驗的，絕對正確的?？臻g的任何其他性質(zhì)都必須是由經(jīng)驗得到的。黎曼的目的之一是為了證明歐幾里得的公理，與其說是自明的，還不如說是經(jīng)驗的。他采用了分析（微積分及其擴展）的方法，因為在幾何證明中我們可能會被感覺誤導(dǎo)，去假定一些不是顯然可以承認的事實。黎曼處理空間結(jié)構(gòu)的方法極富普遍性，在此我們沒有必要對它做詳細的討論。在研究什么可以作為先驗知識的過程中，他區(qū)別了空間的無界和無限（這樣球的表面是無界但不是無限的），這一區(qū)別后來變得更為重要。他指出無界比無限具有更大的經(jīng)驗可信度。黎曼關(guān)于空間可以是無界的而不是無限的這一觀點啟發(fā)了另一門重要的非歐幾何，現(xiàn)在稱為雙橢圓幾何。最初黎曼自己和貝爾特拉米(EugenioBeltrami)認為這門新的幾何只適用于某些特定的曲面（例如球的表面，這里大圓看成是“直線”）。但是后來凱萊(ArthurCayley)和其他受此思想啟發(fā)的數(shù)學(xué)家們認為雙橢圓幾何與高斯、羅巴切夫斯基和J·鮑耶的幾何一樣，可以描述我們的三維物理空間，直線的定義是它們的根本區(qū)別。在雙橢圓幾何中直線是無界的但不是無限長的，而且，沒有平行直線的概念。由于這門新幾何中保留了一些歐氏幾何的公理，所以有些定理的敘述是相同的。例如定理“三角形兩邊及一內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”是新的幾何中的一條定理。其他我們熟悉的全等定理也同樣成立。然而這門幾何中的主要定理異于歐氏幾何中的相應(yīng)定理，也異于高斯，羅巴切夫斯基和J·鮑耶的幾何定理。一條是說，所有具有相同的有限長度的直線交于兩點。另一條則是，一條直線上的所有垂線交于一點，三角形的內(nèi)角和永遠大于180°，不過當三角形的面積趨于0時，內(nèi)角和趨于180°，相似三角形必全等。至于雙橢圓幾何的適用性，關(guān)于先前創(chuàng)立的非歐幾何——現(xiàn)在稱為雙曲幾何——的適用性所做的所有討論，也具有同樣的效力。所有這些奇怪的幾何都可與歐氏幾何匹敵，甚至有可能取而代之。這種想法乍聽起來很是荒謬，但是高斯接受了這一可能性。無論他是否確實使用了他在1827年的論文中記錄的測量方法來檢驗非歐幾何的適用性，他是第一個不僅肯定非歐幾何的適用性而且是認識到我們不能確信歐氏幾何的真理性的人。他是否受到休謨著作的影響不得而知，而且，他鄙薄康德對休謨的反駁，然而他生活在一個數(shù)學(xué)法則正在受到挑戰(zhàn)的時代，他一定在潛移默化中感受到了這種學(xué)術(shù)氣氛。一種新的學(xué)術(shù)氛圍總是在不知不覺中形成的，要是薩謝利早生100年，也許他也能得出高斯的結(jié)論。最初高斯似乎得出數(shù)學(xué)中沒有真理的結(jié)論，在1811年11月21日寫給貝塞爾的一封信中他說：“我們不該忘記，（復(fù)變）函數(shù)與其他所有的數(shù)學(xué)構(gòu)造一樣，只是我們自己的創(chuàng)造物，因此當我們由之開始的定義不再有意義的時候，我們就不應(yīng)當再問它是什么，而應(yīng)該問，如何做出合適的假設(shè)，使它繼續(xù)有意義”。但沒有人樂意放棄囊中寶物，高斯顯然是重新考慮了數(shù)學(xué)的真理問題并找到了立足的根據(jù)。在1817年寫給奧伯斯(HeinrichW.的一封信中，他說：“我越來越相信，我們的（歐幾里得）幾何的（物理）必然性是不可證明的，至少不能靠人的推理能力來證明，人的理性也不需要去證明它。也許來世我們將能獲得現(xiàn)在所不具備的對空間本質(zhì)的一種洞察力。而到那時我們已無需將幾何與算術(shù)置于同一地位，后者是一種純粹的先驗知識，現(xiàn)在我們只能將幾何與力學(xué)相提并論?！备咚古c康德不同，他沒有把力學(xué)定律視為真理。其實他和大多數(shù)人都接受了伽利略的觀點，即這些定律是基于經(jīng)驗的。1830年4月9日，高斯寫信給貝塞爾說：按照我最深的信念，在我們先驗的知識中間，空間理論與純粹算術(shù)占有完全不同的地位，在我們關(guān)于空間理論的全部知識中，對作為純粹算術(shù)的特征的必然性（即絕對真理）缺少完全的信念，我們還必須謙卑地說，如果數(shù)僅僅是我們思維的產(chǎn)物，那么空間在我們的思維之外有其實在性，它的法則我們不能完全先驗地規(guī)定。高斯是在說明，真理存在于算術(shù)中，因此也存在于建筑在算術(shù)之上的代數(shù)和分析（微積分及其擴展）中，因為算術(shù)的真實性對我們的心智來說是明顯的。歐氏幾何是物理空間的幾何，是關(guān)于空間的真理，這一觀念在人們心中如此根深蒂固，以至于在許多年中，與之相悖的任何思想，包括高斯的，都被拒之門外。數(shù)學(xué)家康托爾（GeorgCantor）曾這樣評述這種無知的保守：一旦錯誤的結(jié)論被廣泛接受，那么它將不會輕易地被放棄，而且對它懂得越少，則它的地位越牢固。羅巴切夫斯基和J·鮑耶的著作發(fā)表后三十年左右的時間中，除了少數(shù)幾個數(shù)學(xué)家外，幾乎所有數(shù)學(xué)家都對其置之不理，它們被視為異端邪說。有些數(shù)學(xué)家并不否認它們的邏輯上的一致性，另一些則相信它們必定包含著矛盾因而毫無價值。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都堅持相信物理空間的幾何，必須是歐氏幾何。不幸的是，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)拋棄了上帝，因此這位“神圣的幾何學(xué)家”拒絕吐露他是用這些彼此抗衡的幾何中的哪一個來設(shè)計宇宙的，數(shù)學(xué)家們只好殫精竭慮以尋求答案。1855年高斯死后（此時他的聲望已無人可比），他的筆記中的材料被公之于眾。1868年黎曼于1854年寫就的論文的發(fā)表使得許多數(shù)學(xué)家相信，非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門幾何一定是正確的。單是還有別的幾何存在就已是一個令人震驚的事實了，然而更令人震驚的是你不再知道哪個是正確的，或者究竟有沒有正確的。顯然，數(shù)學(xué)家們將基于有限的經(jīng)驗顯得正確的命題作為公理，并錯誤地相信了它們是自明的。數(shù)學(xué)家們陷入了馬克·吐溫描述的窘境：“人是宗教動物，他是唯一具有真正宗教的——他們中的少數(shù)人。”非歐幾何及其隱含的關(guān)于幾何真理性的內(nèi)容逐漸被數(shù)學(xué)家們所接受。但并不是由于它的適用性的任何論據(jù)被加強了，而是正如普朗克（MaxPlanck），這位量子力學(xué)的奠基人在本世紀初所說的：“一個新的科學(xué)真理并不是靠說服它的對手并使其看見真理之光取勝，而是由于它的對手死了，新的一代熟悉它的人成長起來了?！敝劣谡f到整個數(shù)學(xué)的真理，有些數(shù)學(xué)家贊同高斯的觀點，真理存在于數(shù)中，它是算術(shù)、代數(shù)、微積分以及后續(xù)學(xué)科的基礎(chǔ)。當雅可比（KarlGustavJacobJacobi）說：“上帝一直在進行算術(shù)化”的時候，他并沒有像柏拉圖那樣堅持說上帝永遠在進行幾何化?？雌饋頂?shù)學(xué)家總算設(shè)法拯救并且保住了建筑在算術(shù)基礎(chǔ)之上那一部分數(shù)學(xué)的真理性，這一部分到1850年時在科學(xué)上遠比那幾門幾何使用得更為廣泛也更為活躍。不幸的是毀滅性的事情接踵而來，為了理解這些我們必須往回走一點點。從16世紀開始，數(shù)學(xué)家們就在使用向量的概念了。一個向量，通常畫為一條有向線段，既有方向也有大?。▓D）。它用來代表力，速度或其他方向和大小都有意義的量。同一平面內(nèi)的向量可在幾何上通過加、減、乘、除的運算而得到一個新的向量。16世紀還引入了形如a＋bi的復(fù)數(shù)，。因此當1800年左右，韋塞爾（CasparWessel），阿爾崗（Jean-RobertAr-gand）和高斯等幾個數(shù)學(xué)家意識到可用平面上的有向線段來表示復(fù)數(shù)（見圖）時，它的表示才變得方便起來。這些人馬上看出復(fù)數(shù)不僅可以用來表示平面上的向量，還可以用來表示向量的加、減、乘、除等運算。即，復(fù)數(shù)被用作為向量的代數(shù)，正如整數(shù)和小數(shù)用來表示商業(yè)事務(wù)。因此，不需要用幾何進行向量運算而只要代數(shù)運算就可以了。這樣求兩個向量OA和OB（圖）的和，根據(jù)平行四邊形法則作代數(shù)運算可得出向量OC，用復(fù)數(shù)3＋2i表示OA，而用復(fù)數(shù)2＋4i表示OB，其和5＋6i就表示向量OC。

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圖這種用復(fù)數(shù)來表示平面上的向量及其運算的方法到1830年時已經(jīng)差不多是眾所周知的了。然而，如果幾個力作用于一個物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上。如果為了方便起見將通常實數(shù)稱為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運算呢？人們希望對這種三維數(shù)進行的運算，類似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開始尋找一種稱為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個有用的復(fù)數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點讓步。首先，他的新數(shù)包含四個分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個特點對代數(shù)學(xué)來說都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。a+bi+cj+dki2=j2=k2=－1兩個四元數(shù)相等的準則是系數(shù)a、b、c、d都對應(yīng)相等。兩個四元數(shù)相加只要將對應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保留實數(shù)和復(fù)數(shù)的特點，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數(shù)，則pq不等于qp。一個四元數(shù)被另一個四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動。它是一個確確實實有實際用途的代數(shù)，卻不具備所有實數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的基本性質(zhì)，即ab=ba。哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對它們也可進行通常的代數(shù)運算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過是許多性質(zhì)越來越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼（HermannGuntherGrassmann）發(fā)明了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個中學(xué)教師，因此過了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒有向普通的算術(shù)及其擴展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實用性是無可質(zhì)疑的。然而，新代數(shù)的出現(xiàn)使人們對熟悉的算術(shù)和代數(shù)中的真理提出了質(zhì)疑，正如接受了新的文明的習(xí)俗的人開始反省他們自己。對算術(shù)真理的最嚴重的打擊來自于亥姆霍茲（HermannvonHelmholtz），他是個卓越的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和醫(yī)生。在他的《算與量》（1887年）一書中，他認為數(shù)學(xué)的主要問題是算術(shù)對物理現(xiàn)象的自適應(yīng)性的證明，他的結(jié)論是只有經(jīng)驗?zāi)芨嬖V我們算術(shù)的法則能用在哪里，我們并不能肯定一條先驗公式是否在任何情況下都適用。亥姆霍茲考慮了許多相關(guān)的問題，數(shù)的概念本身來自于經(jīng)驗，某些經(jīng)驗啟發(fā)了通常類型的數(shù)：整數(shù)、分數(shù)和無理數(shù)及其性質(zhì)。對于這些經(jīng)驗，熟悉的數(shù)是適用的。我們認識到存在確實相等的物體，因此我們可以說，例如，兩頭牛。然而，這些物體必須不能消失、混合或分割。一個雨滴與另一個雨滴相加并不能得到兩個雨滴。甚至是相等的概念也不能自動地用于經(jīng)驗?？雌饋砣绻矬wa=c而b=c則一定有a=b。但是有可能兩個音聽起來都與第三個音相同，而耳朵卻可以區(qū)別出前兩個音。這里與同一事物相同的事物并不相同，同樣地，顏色a和c看起來都和b相同，而a和c卻是有區(qū)別的。還可舉出許多例子來說明簡單地應(yīng)用算術(shù)可能會導(dǎo)出荒謬的結(jié)果。如果你將等體積的兩份水混合。一份溫度為40°F，另一份為50°F，你并不能得到溫度為90°F的兩份體積的水。一個頻率為100赫茲和另一個200赫茲的單音疊加，得到的并不是頻率300赫茲的單音，事實上合成音的頻率還是100赫茲。電路中兩個大小分別為R1和R2的電阻并聯(lián)，它們的等效電阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒貝格（Henri

Lebesgue）所調(diào)侃的，你把一頭獅子和一只兔子關(guān)在同一個籠子里，最后籠子里絕不會還有兩只動物。我們在化學(xué)中知道，將氫和氧混合就得到水。但是如果將兩體積的氫和一體積的氧混合得到的不是三體積而是兩體積的水蒸氣。同樣，一體積氮氣和三體積氫氣作用生成兩體積氨氣。我們碰巧知道這些令人驚訝的算術(shù)事實的物理解釋。根據(jù)阿伏伽德羅假設(shè)，同一溫度、同一壓強下，體積相同的任何氣體所含分子數(shù)相同。這樣，如果給定體積的氫氣含有10個分子，則兩倍這一體積的氫氣含有20個分子。碰巧氧氣和氫氣都是雙原子分子，即每個分子由兩個原子組成。這20個雙原子氫分子中的每個都與10個氧分子中的一個原子結(jié)合從而得到20個水分子，即兩體積的水蒸氣而不是三體積。由此可以看出算術(shù)不能正確描述按體積混合氣體的結(jié)果。一般來說，算術(shù)也不能正確反映按體積混合液體的結(jié)果。一夸脫的杜松子酒與一夸脫苦艾酒混合，得到的不是兩夸脫混合物而是稍微少一些。一夸脫酒精與一夸脫水混合得到大約1．8夸脫的伏特加。對于大多數(shù)酒類這一點都是正確的。三茶匙水加上一茶匙鹽不會是四茶匙。有些化學(xué)混合物不僅不按體積增加，還會爆炸。不僅是整數(shù)的性質(zhì)在許多物理情況下不成立，許多實際情況中還要用到不同的分數(shù)計算。讓我們以棒球為例來考慮（這當然是上百萬美國人所感興趣的問題）。假設(shè)一個運動員在一場比賽中擊球3次，在另一場比賽中擊球4次，那么他總共擊了幾次球？這沒有什么困難，他一共擊球7次。假設(shè)他在第一場比賽中有2次擊球成功，即到達第一壘或更遠，在第二場中成功3次，兩場比賽中他一共成功幾次呢？這也沒有什么困難，一共是5次。然而，觀眾和對手本人通常最感興趣的是平均擊中率，也就是擊中次數(shù)與擊球次數(shù)的比例。在第一場中比例是2/3，第二場中是3/4。假設(shè)該球手或者一個棒球迷想用這兩個比例來計算兩次比賽的平均擊中率，可能有人會以為用通常分數(shù)相加的辦法就可以了，即這個結(jié)果當然是很荒謬的，他不可能在12次機會中擊中17次。顯然，通常將兩次比賽的平均擊中率相加來得到兩次比賽的平均擊中率的辦法是行不通的。我們怎樣才能由兩次比賽各自的平均擊中率求得這兩次比賽的平均擊中率呢？答案是用一種新的分數(shù)加法。我們知道聯(lián)合的平均擊中率是5/7，而單場比賽的擊中率分別是2/3和3/4，我們看到如果把分子和分母對應(yīng)相加得到新的分數(shù)，這就是正確答案，即假設(shè)這個加號意味著分子相加和分母相加。這種分數(shù)加法在其他情況下也是有用的。一個借助電話搞推銷的商人在第一天的五個推銷電話中成功了三次，第二天七次成功了四次，他把這些記錄下來。為了得到正確的成功率，他必須把3/5和4/7按平均擊中率的那種方法計算，這兩天中他的記錄是在總共12個電話中成功了7次，這樣7/12就是3/5＋4/7，假設(shè)加號意味著分子相加和分母相加。再舉一個更為一般的例子。假設(shè)一輛汽車用2小時走了50英里，用3小時走了100英里，那么兩次旅行的平均速度是多少呢？你可以說這輛車用5個小時走了150英里。因此它的平均速度是每小時30英里。然而，分別計算每次的平均速度通?？偸怯杏玫摹５谝淮温眯械钠骄俣仁?0/2，第二次是100/3，如果將這兩個分數(shù)的分子相加、分母相加，則也得到正確答案。一般來說4/6=2/3，然而在上面討論的分數(shù)相加中，例如2/3＋3/5，就不能用4/6代換2/3。因為前者結(jié)果為7/11，后者則為5/8，而這兩個答案并不相等。更進一步，在通常的算術(shù)中，5/1和7/1就像整數(shù)5和7一樣，在我們的新算術(shù)中，將5/1和7/1作為分數(shù)求和，我們得到的是12/2，而不是12/1。這些可以稱之為棒球算術(shù)的例子確實說明可以引進與以前我們熟悉的運算不同的運算，這樣就創(chuàng)造了一個實用的算術(shù)。事實上也確實存在許多其他的算術(shù)，然而，一個真正的數(shù)學(xué)家絕不會憑一時的興致去發(fā)明一種代數(shù)。一種代數(shù)總是為了表示一類物理世界的現(xiàn)象而創(chuàng)造的，正像我們上面的分數(shù)加法適用于兩次擊球平均率的合成。我們可以通過定義適合于這類物理現(xiàn)象的運算很方便地對物理世界發(fā)生的事情進行研究。只有經(jīng)驗?zāi)芨嬖V我們普通的算術(shù)何處可應(yīng)用于給定的物理現(xiàn)象，這樣就不能說算術(shù)是一定適用于物理現(xiàn)象的一個真理體系。當然，由于代數(shù)和分析是算術(shù)的延伸，它們也不是真理體系。因此，數(shù)學(xué)家們只能得出這個令人沮喪的結(jié)論：數(shù)學(xué)中沒有真理，即作為現(xiàn)實世界普適法則意義上的真理。算術(shù)和幾何基本結(jié)構(gòu)的公理是受經(jīng)驗啟發(fā)得出的，因而這些結(jié)構(gòu)的適用性是有限的，它們在哪里是適用的只能由經(jīng)驗來決定。希臘人試圖從幾條自明的真理出發(fā)和僅僅使用演繹的證明方法來保證數(shù)學(xué)的真實性被證明是徒勞的。對許多富有思想的數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)不是一個真理體系這一事實實在是難以接受。似乎上帝想用多種幾何和代數(shù)來使他們困惑，正如他曾用不同的語言困惑了建筑巴別塔的人們那樣。因此他們拒絕接受這些新的發(fā)明。哈密爾頓毫無疑問是一位杰出的數(shù)學(xué)家，在1837年他表達了他對非歐幾何的不滿：沒有哪一個坦白的、有智力的人會懷疑兩千年前歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的平行線的主要性質(zhì)，盡管他可能會希望看到它們以更明確更好的方式來敘述。這些性質(zhì)中沒有任何令人費解或含混不清之處，沒有任何你可以懷疑的地方，雖然可以經(jīng)常動動腦筋改進它們的表達方式。凱萊在1883年就任英國科學(xué)促進協(xié)會主席的演說詞中強調(diào)：我本人的觀點是歐幾里得的第十二公理（通常稱之第五公理或平行公理）的普萊費爾形式不需要證明，它是我們的空間概念的一部分。這里指的是我們經(jīng)驗中的物理空間——我們通過經(jīng)驗來了解這個空間。但它的表示是建立在所有外部經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的……注意到歐氏空間長期以來一直被當作是我們經(jīng)驗的物理空間，所以幾何學(xué)的命題對于歐氏空間不僅僅是近似的真實的，而且是絕對真實的。F·克萊因（FelixKlein），近代的一個真正偉大的數(shù)學(xué)家，表達了差不多是同樣的觀點。盡管凱萊和F·克萊因本人都從事過非歐幾何工作，他們卻把非歐幾何看作是在歐氏幾何中引入人為的新的距離函數(shù)時產(chǎn)生的奇異結(jié)果。他們拒絕承認非歐幾何和歐氏幾何一樣基本和實用，他們的立場在相對論時代以前看來還是無懈可擊的。羅素也相信數(shù)學(xué)的真實性，盡管他在某種程度上限制了這種真實性。上個世紀90年代他提出了這樣的問題：空間的哪些性質(zhì)對經(jīng)驗是必需的，而且是由經(jīng)驗假定了的。也就是說，如果在這些先驗性質(zhì)中有任何一條被否定，那么經(jīng)驗就變得毫無意義了。他在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的隨筆》（1897年）中，贊同歐氏幾何不是一門先驗知識這一見解。他斷言，就一切幾何學(xué)來說，倒不如認為射影幾何是先驗的。這個結(jié)論在1900年前后，從射影幾何的重要性的觀點來看，是可以理解的。然后他就把歐氏幾何和一切非歐幾何所共有的公理，當作先驗的東西添加到射影幾何中去，加進去的那些東西（空間的齊次性，維數(shù)的有窮性以及距離的概念）使得度量成為可能。羅素還指出，定性的考慮必須在定量考慮之前，而這一觀點加強了射影幾何的先驗性。至于說到度量幾何，即歐氏幾何和幾種非歐幾何，它們可以由射影幾何通過引入某個特定的度量概念而導(dǎo)出，這一事實羅素認為只不過是一種技術(shù)上的成就而沒有什么哲學(xué)意義。無論如何，它們持有的那些特殊定理并不是先驗的。在對待這幾種基本的度量幾何上，羅素不同于凱萊和克萊因。他認為它們都處于同等的邏輯地位，因為具備上面那些性質(zhì)的度量空間只有歐氏空間、雙曲空間的和單、雙橢圓空間，所以羅素認為所有可能的度量空間只有這幾種，而歐氏空間則當然是僅有的確實可用的空間，其他那些空間在證明可能存在別的幾何學(xué)時，有其哲學(xué)上的重要性?，F(xiàn)在我們回過頭來看，可以說羅素?zé)o非是用一種射影癖代替了歐幾里得癖。羅素多年以后承認，他的《隨筆》是他年輕時代的一部著作，其觀點是無法站得住腳的。然而我們后面將會看到，他和其他人為了建立算術(shù)的真實性而確立了一個新的基礎(chǔ)（見第十章）。數(shù)學(xué)家對某種基礎(chǔ)的真理的執(zhí)著探索是可以理解的。多少世紀以來，用數(shù)學(xué)去描述和預(yù)測物理現(xiàn)象一直取得輝煌的成功，這使得任何人，尤其是那些被他們自己的發(fā)明陶醉得飄飄然的