平面的投影及平面上的點(diǎn)第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一[例題]過點(diǎn)E作線段AB、CD的公垂線EF。ffc第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一b'[例題]作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCc'第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一平面的投影二、各種位置平面的投影特性一、平面的表示法三、平面上的點(diǎn)和直線四、直線與平面的相對(duì)位置五、平面與平面的相對(duì)位置第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一一、平面的表示法1.幾何元素表示法2.跡線表示法第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一一個(gè)平面的空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)；一直線和直線外的一個(gè)點(diǎn)；相交兩直線；平行兩直線；任意平面圖形。1.幾何元素表示法平面的投影可以由其中一組幾何元素的投影來表示。第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一’a’abb’cc’x一直線和直線外的一個(gè)點(diǎn)x’a’abb’cc’相交兩直線’a’abb’cc’x平行兩直線c’’a’abb’cx任意平面圖形用各組幾何元素所表示的同一平面的投影圖。x’a’abb’cc’不在同一直線上的三點(diǎn)第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一△ABC⊥P面投影積聚為一直線

abc△ABC∥P面投影反映實(shí)形△abc≌△ABC△ABC傾斜于P面投影為小于原平面的類似形

△abc＜△ABC平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcad第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一a"b"c"ca'b'baABC一般位置面第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的平面。一般位置平面三個(gè)投影都是小于原平面的類似形。ab’b”XZYHOa’s’s”a”bsYw第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一一般位置平面第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一鉛垂面--僅⊥H面的平面正垂面--僅⊥V面的平面?zhèn)却姑?-僅⊥W面的平面1.投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面而對(duì)另外兩個(gè)投影面傾斜的平面。各種位置平面的投影特性第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一鉛垂面--僅⊥H面的平面水平投影p積聚為一傾斜線段，并反映β、γ角。正面投影p’和側(cè)面投影p”都是小于原平面的類似形。pp’p”XZYWYHOγβ第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一鉛垂面--僅⊥H面的平面第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一正垂面--僅⊥V面的平面正面投影p’積聚為一傾斜線段，并反映α、γ角。水平投影p和側(cè)面投影p”都是小于原平面的類似形。γαpq’p”XZYWYHOγqq”q’Qqq’’第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一側(cè)垂面--僅⊥W面的平面A.側(cè)面投影r’’積聚為一傾斜線段，并反映α、β角。B.水平投影r和正面投影r’都是小于原平面的類似形。αpr”XZYWYHOγrr’βr’Rrr’’第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一YHYWYHYWHαβ投影面垂直面的投影特性γβγα第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

投影面垂直面的投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，它與投影軸的夾角反映平面對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影是小于原平面的類似形。第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一Xabc’b’a’分析：鉛垂面的水平投影為斜交于X軸的直線，有積聚性。本題鉛垂面用三角形表示。c例1含直線AB(ab,a’b’)作鉛垂面(用平面圖形表示)。第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一2.投影面平行面平行于某一投影面的平面。//H面的平面--水平面//V面的平面--正平面//W面的平面–側(cè)平面第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一水平面--//H面的平面Zpp’p”XYHOYW水平投影p反映平面P的實(shí)形；正面投影p’和側(cè)面投影p”都積聚為直線，分別∥OX軸和OYW軸。第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一正平面--//V面的平面YWqq’q”XZYHO正面投影q’反映平面P的實(shí)形；水平投影q和側(cè)面投影q”都積聚為直線，分別∥OX軸和OZ軸。q’Qqq’’第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一側(cè)平面--//W面的平面Rr‘r’‘HVWZrr’r”XYHOYW側(cè)面投影r’’反映平面R的實(shí)形；水平面投影r和正面投影r’都積聚為直線，分別∥OYH軸和OZ軸。r第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一投影面平行面的投影特性第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

投影面平行面的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影都積聚為直線，平行于相應(yīng)的投影軸。第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一aXa’bcc’b’例3含點(diǎn)A作△ABC//V面。

分析:正平面的水平投影積聚為直線并∥OX軸，正面投影反映實(shí)形。

作法：作abc//OX軸。作△a’b’c’≌△ABC。第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一O’OX圓平面為水平面（1）當(dāng)圓∥投影面時(shí)，圓在該投影面上的投影反映實(shí)形--圓,另外兩投影積聚為直線,長(zhǎng)度等于圓的直徑。4.圓的投影特性第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一（2）當(dāng)圓⊥投影面時(shí)，它在該面的投影積聚為傾斜于投影軸的直線，長(zhǎng)度等于圓的直徑。另外兩個(gè)投影為橢圓。OO'X圓平面為正垂面第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一（3）當(dāng)圓傾斜于投影面時(shí)，它的投影為圓的類似形--橢圓。第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一圓的投影的作圖方法1）當(dāng)圓∥投影面時(shí)OO'X圓平面為正平面反映圓的實(shí)形長(zhǎng)度=圓的直徑第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一投影橢圓的長(zhǎng)、短軸是圓內(nèi)一對(duì)

相互垂直的直徑的投影。（1）正垂圓的投影橢圓

長(zhǎng)軸:正垂直徑AB的投影ab=AB短軸:正平直徑DE的投影de=DEcosα

2）當(dāng)圓⊥投影面時(shí)長(zhǎng)軸和短軸正垂直徑AB正平直徑DE第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一OO”正垂圓的投影作圖O'Xa’(b’)dee’d’αa”b”Dd”e”baD長(zhǎng)軸:正垂直徑AB的投影

ab=a”b”=AB短軸:正平直徑DE的投影de=DEcosαd”e”=DEcosγγ

D第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一鉛垂面上圓的投影(b)(a)長(zhǎng)軸：鉛垂直徑CD的投影c’d’=D短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβ（2）鉛垂圓的投影鉛垂直徑CD水平直徑AB第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβa”b”=Dcosγ長(zhǎng)軸：鉛垂直徑CD的投影c’d’=c”d”=DOXO'c’(d’)βb’a’abc’d’DD鉛垂圓的投影作圖O”c”d”Dβb”a”γ

第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一

垂直面上圓的投影特性：（1）在與圓平面垂直的投影面上，圓的投影是直線段，長(zhǎng)度等于圓的直徑。（2）在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓，長(zhǎng)軸是圓平面上平行于這個(gè)投影面的直徑的投影，短軸是圓平面上與上述直徑相垂直的直徑的投影。第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一4-7平面上的點(diǎn)和直線1.平面上取直線2.平面上取點(diǎn)3.投影面垂直面上的點(diǎn)和直線第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一一、平面上的直線1.平面上的直線2.在平面上作正平線和水平線第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一直線在平面上的幾何條件：(1)通過平面上的兩已知點(diǎn)。BACPMN直線MN在平面上1.平面上取直線第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一EFDPNM

結(jié)論--要在平面上取直線，應(yīng)先在平面上的已知直線上取點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線。直線MN在平面P上(2)通過平面上的一點(diǎn)并平行于平面上的另一直線。第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一bacb’Xc’a’1’12’2

作法1:

在平面內(nèi)的兩已知邊上各取一點(diǎn)連成直線。例5在△ABC給定的平面上作一任意直線。直線ⅠⅡ即為所求。

作法2:在平面內(nèi)的一已知邊上取一點(diǎn)，再過點(diǎn)作平面內(nèi)另一直線的平行線。第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一在平面上作正平線和水平線dd'e'e第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一BACPL點(diǎn)在平面上的幾何條件:點(diǎn)在該平面的一已知直線上。M在平面上取點(diǎn)的一般方法：含該點(diǎn)在平面上作輔助直線，然后在所作直線上取點(diǎn)。2.平面上取點(diǎn)∵直線L在P面上，∴M點(diǎn)在平面P上。第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一a’b’c’cab1’1dd’例6已知點(diǎn)D在△ABC所決定的平面上，求作其正面投影d’。作法1ⅠCABD空間分析D點(diǎn)一定在該平面的一條直線上。第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一a’b’c’cab2’2dd’例7已知點(diǎn)D在△ABC所決定的平面內(nèi)，求作其正面投影d’。作法2ⅡCABD空間分析第45頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一bb’Xc’a’ad’dc例8試完成平面四邊形ABCD的水平投影。分析:平面ABCD的對(duì)角線一定相交。

k’kC點(diǎn)一定在該平面的一條直線上。第46頁，共48頁，2023年，2月20日，星期一b’c”zywyHXOc’a”(b”)