《函數(shù)的圖象》典例精析【例1】已知有兩人分別騎自行車和摩托車沿著相同的路線從甲地到乙地去，下圖反映的是這兩個(gè)人行駛過程中時(shí)間和路程的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：（1）甲地與乙地相距多少千米？兩個(gè)人分別用了幾小時(shí)才到達(dá)乙地？誰先到達(dá)了乙地？早到多長時(shí)間？（2）分別描述在這個(gè)過程中自行車和摩托車的行駛狀態(tài)．（3）求摩托車行駛的平均速度．【解析】兩人行駛的路程s是時(shí)間t的函數(shù)．從圖象可以看出騎自行車的先出發(fā)而后到達(dá)乙地，行駛的路程都是100千米．【答案】（1）甲地與乙地相距100千米．兩個(gè)人分別用了2小時(shí)（騎摩托車）、6小時(shí)（騎自行車）到達(dá)乙地．騎摩托車的先到乙地，早到了1小時(shí)．（2）騎自行車的先勻速行駛了2小時(shí)，行駛40千米后休息了1小時(shí)，然后用3小時(shí)到達(dá)乙地．騎摩托車的在自行車出發(fā)3小時(shí)后出發(fā)，行駛2小時(shí)后到達(dá)乙地．（3）摩托車行駛的平均速度是50千米/時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】在明白每個(gè)點(diǎn)的含義的基礎(chǔ)上，注意觀察橫、縱坐標(biāo)在問題中的實(shí)際意義，得到圖象所要表達(dá)的函數(shù)的整體變化關(guān)系．【例2】畫出函數(shù)的圖象．【解析】畫一個(gè)函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是要畫出圖象上的一些點(diǎn)，為此，要先取一些自變量的值，并求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，從而得到一系列有序?qū)崝?shù)對(duì)，在直角坐標(biāo)系中，描出這些有序?qū)崝?shù)對(duì)（坐標(biāo)）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后用平滑的曲線依次把這些點(diǎn)連起來，就可以得到這個(gè)函數(shù)的圖象．對(duì)于此函數(shù)自變量的取值在0～1之間應(yīng)盡量多取一些值，這樣能較真實(shí)地反映圖象的形狀．【答案】列表x…-2-1．5-1-0．500．511．52…y…21．1250．50．12500．1250．51．1252…描點(diǎn)，如圖1所示用光滑的曲線依次把這些點(diǎn)連起來，便可以得到這個(gè)函數(shù)的圖象，如圖2所示．【點(diǎn)評(píng)】畫圖象時(shí)，注意描點(diǎn)法的三個(gè)基本步驟，另外要注意給出的點(diǎn)不能太少，至少要看出圖象的大致規(guī)律，還要注意到圖象的對(duì)稱性．【例3】王教授和孫子小強(qiáng)經(jīng)常一起進(jìn)行早鍛煉，主要活動(dòng)是爬山．有一天，小強(qiáng)讓爺爺先上，然后追趕爺爺．圖3中兩條線段分別表示小強(qiáng)和爺爺離開山腳的距離（米）與爬山所用時(shí)間（分）的關(guān)系（從小強(qiáng)開始爬山時(shí)計(jì)時(shí)），看圖回答下列問題：(1)小強(qiáng)讓爺爺先爬上多少米？(2)山頂離山腳的距離有多少米？誰先爬上山頂？(3)圖中兩條線段的交點(diǎn)表示什么意思?(4)直角坐標(biāo)系中的橫軸和縱軸上的單位長度取的不一致,這對(duì)問題的結(jié)論有影響嗎?允許這樣做嗎?【解析】由圖象獲取信息首先要搞清楚x軸、y軸分別表示什么意義，再對(duì)問題進(jìn)行分析．此題x軸表示爺爺、小強(qiáng)爬上山頂?shù)臅r(shí)間，y軸表示山的高度．從圖中可以看出x=0時(shí)，爺爺離開山腳的距離為y=60米,即爺爺先走了60米．過兩條線段的另一端點(diǎn)(山頂)作y軸的垂線，可知山頂?shù)母叨仁?00米，再過端點(diǎn)作x軸的垂線，由垂足在x軸的位置可知小強(qiáng)爬上山頂需要10分鐘，而爺爺超過10分鐘，故小強(qiáng)先爬上山頂．過兩條線段的交點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，可知小強(qiáng)出發(fā)8分鐘時(shí)，趕上爺爺，并且都爬了240米．【答案】（1）小強(qiáng)讓爺爺先爬上60米；(2)山頂離山腳的距離有300米，小強(qiáng)先爬上山頂；(3)圖中兩條線段的交點(diǎn)表示小強(qiáng)出發(fā)8分鐘時(shí)，小強(qiáng)趕上爺爺，并且都爬了240米(4)在實(shí)際問題中由于需要橫軸和縱軸上的單位長度可以不一致,這對(duì)問題的結(jié)論沒有影響，是允許這樣做的，但必須要每條坐標(biāo)軸上的單位長度要一致．【點(diǎn)評(píng)】兩個(gè)圖象放在一個(gè)坐標(biāo)平面中，除了獨(dú)立分析它們的實(shí)際意義之外，還要有整體的概念．體會(huì)在橫坐標(biāo)相同時(shí)，各自的縱坐標(biāo)分別是多少，這說明了一個(gè)什么樣的實(shí)際情況；它們的交點(diǎn)表示什么意義．【例4】王強(qiáng)在電腦上進(jìn)行高爾夫球的模擬練習(xí)，在某處按函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=擊球，球正好進(jìn)洞．其中，y（m）是球的飛行高度，x（m）是球飛出的水平距離．（1）試畫出高爾夫球飛行的路線；（2）從圖象上看，高爾夫球的最大飛行高度是多少？球的起點(diǎn)與洞之間的距離是多少？【解析】高爾夫球飛行的路線，即為函數(shù)y=的圖象．用描點(diǎn)法畫出圖象，在y=中，一般地自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．但在本題中，x表示的是球飛出的水平距離，因此0<x<8才是此函數(shù)的取值范圍．在求最大飛行高度時(shí)，可從兩方面計(jì)算：①看表格中的各數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝4時(shí)，y=,其值最大；②從所畫的圖象上看，最高點(diǎn)的坐標(biāo)是A（4，）．對(duì)于球的起點(diǎn)與洞之間的距離的計(jì)算：①看表格中的數(shù)據(jù),當(dāng)y＝0時(shí)，x=0、8,；②從所畫的圖象上看，圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0），（8，0）．【答案】（1）列表如下：x012345678y01．42．433．232．41．40圖4在圖中所示的直角坐標(biāo)系中，描點(diǎn)、連線，便可得到這個(gè)函數(shù)的大致圖象如圖4．（2）從圖象上看，高爾夫球的最大飛行高度是m，球的起點(diǎn)與洞之間的距離是8m．【點(diǎn)評(píng)】1．畫實(shí)際問題的圖象時(shí)，必須先考慮函數(shù)自變量的取值范圍．有時(shí)為了表達(dá)的方便，建立直角坐標(biāo)系時(shí)，橫軸和縱軸上的單位長度可以取得不一致；2．在觀察實(shí)際問題的圖象時(shí)，先從兩坐標(biāo)軸表示的實(shí)際意義得到點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義．然后觀察圖形，分析兩變量的相互關(guān)系，結(jié)合題意尋找對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境【例5】一農(nóng)民帶了若干千克自產(chǎn)的土豆進(jìn)城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場價(jià)售出一些后，又降價(jià)出售．售出土豆千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)（含備用零錢）的關(guān)系如圖5所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

（1）農(nóng)民自帶的零錢是多少？（2）降價(jià)前他每千克土豆出售的價(jià)格是多少？（3）降價(jià)后他按每千克0．4元將剩余土豆售完，這時(shí)他手中的錢（含備用零錢）是26元，問他一共帶了多少千克土豆？【解析】x軸表示農(nóng)民帶土豆的千克數(shù)，y軸表示錢數(shù)（含備用零錢）．當(dāng)x=0時(shí)，y=5說明農(nóng)民自帶的零錢是5元；降價(jià)前他手中共有20元，售出30千克的土豆，即可求出降價(jià)前每千克土豆的價(jià)格是多少．降價(jià)后按每千克0．4元出售，收入（26-20）元，這樣就可求出降價(jià)后售出的土豆數(shù)量．【答案】（1）由圖象可知農(nóng)民自帶的零錢為5元．（2）（20-5）÷30＝0．5（元）

所以降價(jià)前他每千克土豆出售的價(jià)格是0．5元．（3）（26-20）÷0．4+30＝45（千克）

他一共帶了45千克土豆．【點(diǎn)評(píng)】1．讀圖時(shí)要先弄明白橫、縱坐標(biāo)的含義，本題橫坐標(biāo)是指賣出的土豆數(shù)量，縱坐標(biāo)是手里的錢數(shù)，圖中點(diǎn)（a,b）的意義即為賣出a千克土豆時(shí)，手里共有b元．2．由上可知y軸上的點(diǎn)表示賣出0千克時(shí)的錢數(shù)，即自帶的錢．當(dāng)賣出30千克時(shí)，共有錢20元，此時(shí)賣土豆得到的是20-5=15（元），可求得每千克售價(jià)．降價(jià)為每千克0．4元后，由圖象知，又賣得26-20=6（元），可求得又賣出去的土豆數(shù)量為6÷0．4=15（千克），因此一共帶的土豆有30+15=45（千克）【例6】同學(xué)們，你們看下圖中那個(gè)像車輪狀的物體是什么？這是游樂場中摩天輪．你坐過摩天輪嗎？當(dāng)你坐在摩天輪上，摩天輪開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，人的高度隨時(shí)在變化，那么變化是否有規(guī)律呢？應(yīng)該有規(guī)律．因?yàn)槿穗S輪一直做圓周運(yùn)動(dòng)．所以人的高度過一段時(shí)間就會(huì)重復(fù)依次，即轉(zhuǎn)動(dòng)一圈高度就重復(fù)一次．摩天輪上一點(diǎn)的高度h與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t之間有一定的關(guān)系．請(qǐng)看下圖，反映了旋轉(zhuǎn)時(shí)間t（分）與摩天輪上一點(diǎn)的高度h（米）之間的關(guān)系．（1）上面這個(gè)圖象是人坐在摩天輪上，人的高度隨時(shí)間變化而變化對(duì)應(yīng)關(guān)系．它是這個(gè)函數(shù)關(guān)系的哪一種表示方法呢？（2）從圖象上看，你能知道摩天輪轉(zhuǎn)一周要多長時(shí)間嗎？（3）你能用列表的方法表示這個(gè)函數(shù)關(guān)系嗎？（4）你能從圖象上分析出這個(gè)摩天輪的直徑有多大嗎？（5）對(duì)于給定的時(shí)間t，相應(yīng)的高度h確定嗎？【解析】（1）上面這個(gè)圖象，橫軸是表示時(shí)間的，以分為單位．縱軸是表示人的高度的，所以這個(gè)圖象是人的高度與時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象表示法．（2）因?yàn)槟μ燧喌霓D(zhuǎn)動(dòng)，人坐在上面是在做圓周運(yùn)動(dòng)，從圖象上找到兩個(gè)最低點(diǎn)或最高點(diǎn)之間的間隔時(shí)間就是摩天輪轉(zhuǎn)一周所要用的時(shí)間．（3）用列表的方法來表示人的高度與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只要在圖象上找?guī)讉€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別把它們的橫縱坐標(biāo)填寫在表中，就是用列表的方法來表示它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系的．（4）要求這個(gè)摩天輪直徑的大小，只要從圖象上找到一個(gè)最高點(diǎn)，再找到一個(gè)最低點(diǎn)，這兩個(gè)高度的差就應(yīng)該是摩天輪的直徑．【答案】（1）上圖是這個(gè)函數(shù)關(guān)系的圖象表示法．（2）從圖象上找到兩個(gè)最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，0和6，就知道摩天輪轉(zhuǎn)一周所要用的時(shí)間是6分鐘．（3）從表示時(shí)間的橫軸上找到幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)0、1、2、3、4、5、6，再從圖象上找到與這些時(shí)間相對(duì)應(yīng)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把它們填寫在表中，就形成了用列表的方法來表示它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系．如下圖表t/分0123456……h(huán)/米311374537113……（4）可以從圖象上找最高點(diǎn)45和最低點(diǎn)3的差，也可以從表中找h的最大值45和最小值3的差，所以摩天輪的直徑是42米．（5）要找給定的時(shí)間，人所在的高度，一個(gè)從表中去找，但表中列出的是有限的．另