2021年2021屆上海市普通高中高三高考?jí)狠S考試卷

數(shù)學(xué)試卷

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(含答案)

第I卷(選擇題)

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考

生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.若集合A={x[T<x<3},8={1,2,3,4},貝1]4門5=—.

2.若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|(2+i)(l-2i)|(其中i為虛數(shù)單位)，貝l]z的虛部是_________.

123

3.行列式456中，6的代數(shù)余子式的值是.

789

4.已知球的體積為36萬，則該球大圓的面積等于.

5.在4+36的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于—.

X

6.已知向量|由=出|=|即=1,若=^.c^xa+yb,則％+>的最大值為.

7.若sina=4，則cos(萬一2。)=.

8.函數(shù)y=log2(x-m)+l的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),則實(shí)數(shù)加=.

9.設(shè)尸為雙曲線一2=1(方>0)的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、。是以。尸為直徑的圓與

雙曲線r漸近線的兩個(gè)交點(diǎn).若=|0月,貝昉=.

10.從以下七個(gè)函數(shù)：y=x,y=',y=x2,y=2",y=108，%,丁=5吊羽丁=85彳中選取兩個(gè)函數(shù)記

X

為“X)和g(x),構(gòu)成函數(shù)F(x)=/(x)+g(x),若尸(x)的圖像如圖所示,貝”(%)=—.

11.小王同學(xué)有4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書和3本不同的化學(xué)書，從中任取2本，

則這2本書屬于不同學(xué)科的概率為(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

12.已知4、%與4、打是4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程ql+|x-4HxHl+lx-HI的

解集A不是無限集，則集合A中元素的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)

在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.設(shè)ae(0,+8),。e(0,+(x>),則"a<力"是"a-l<b-1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.在圓錐尸。中，已知高PO=2,底面圓的半徑為4,用為母線班的中點(diǎn)；根據(jù)圓錐曲線

的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正

確的個(gè)數(shù)為

'W川

4/o?人/.0人

①圓的面積為4萬；

②橢圓的長(zhǎng)軸為歷；

3

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為-I

④拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為逑.

5

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

15.在AABC中，若sinA=2則cosB+V^cosC的取值范圍是()

2

A.(0,1]B.(0,l]U(2,6

C.(0,l]U(|V2,V5]

D.以上答案都不對(duì)

16.已知定義在R上的函數(shù)“X）是奇函數(shù)，且滿足〃x+3）=/（x）,〃1）=-3,數(shù)列｛叫滿

足S“=2a“+〃（其中S“為｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和），則〃％）+/（4）=（）

A.-3B.-2C.3D.2

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要

的步驟.

17.將邊長(zhǎng)為1的正方形44。。（及其內(nèi)部）繞。。旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，AC長(zhǎng)為27r當(dāng)，

7F

A4長(zhǎng)為其中片與c在平面44,4。的同側(cè).

⑴求三棱錐。一。小片的體積;

⑵求異面直線8。與A4所成的角的大小.

⑻已知函數(shù)/3=國(guó)90

（D設(shè)/T（x）是/（X）的反函數(shù)，當(dāng)4=1時(shí)，解不等式/T（X）＜g；

（2）若關(guān)于x的方程/（幻+電。2）=0的解集中恰好有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的值;

(3)設(shè)。>0,若對(duì)任意feqJ,函數(shù)在區(qū)間M+1］上的最大值與最小值的差不超過lg2,

求。的取值范圍.

19.對(duì)于函數(shù)“力(xeO),若存在正常數(shù)T,使得對(duì)任意的xe，都有成立,

我們稱函數(shù)/(%)為“T同比不減函數(shù)”.

(1)求證：對(duì)任意正常數(shù)7,/(%)=/都不是"T同比不減函數(shù)”；

(2)若函數(shù)〃x)="+sinx是彳同比不減函數(shù)”，求攵的取值范圍；

(3)是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)"x)=x+|x-lHx+l|為“T同比不減函數(shù)”，若存在，求

T的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.設(shè)A是單位圓1+y2=|上的任意一點(diǎn)，/是過點(diǎn)人與x軸垂直的直線，。是直線/與x軸

的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線/上，且滿足1。知|=加|。4|(機(jī)>0,加/1).當(dāng)點(diǎn)4在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)"

的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程，判斷曲線。為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過原點(diǎn)且斜率為攵的直線交曲線C于P,。兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在)，軸上的射影

為點(diǎn)N,直線。N交曲線C于另一點(diǎn)”.是否存在機(jī)，使得對(duì)任意的%>0,都有PQ_LP〃？

若存在，求〃?的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.若數(shù)列｛q｝滿足乎(%>1,且X為實(shí)常數(shù))，〃eN*,則稱數(shù)列伍“｝為BQ)數(shù)列.

4a?

(1)若數(shù)列伍”｝的前三項(xiàng)依次為4=2,%=》，4=9,且｛4｝為8(3)數(shù)列，求實(shí)數(shù)x的取

值范圍；

(2)已知｛%｝是公比為40H1)的等比數(shù)列,且4>0,記7；=|4-41+@-4I+…+I/+II.

若存在數(shù)列｛4｝為8(4)數(shù)列，使得1①鼻乜40成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

(3)記無窮等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為依公差為d,證明：“04色4/1-1”是“伍”｝為8(團(tuán)數(shù)

列”的充要條件.

2021年2021屆上海市普通高中高三高考?jí)狠S考試卷

數(shù)學(xué)參考答案

1.【試題答案】{1,2}

【試題解析】解：?.?A={x|—l<x<3},8={1,2,3,4},

/.AnB={l,2}.

故答案為：{1,2}.

2.【試題答案】|

【試題解析】由題意,復(fù)數(shù)z滿足（3-旬z=|（2+i）（l-2i）|,

同…」（2+以1-2i）|」4-3,［一5x（3+4i）=3尸

可信“3-4/3-4/（3-4/）（3+4/）55，

4

所以復(fù)數(shù)z的虛部為二.

4

故答案為：

3.【試題答案】6

12

【試題解析】由題意，可得6的代數(shù)余子式&3=-,o=-（1X8-2X7）=6.

故答案為6.

4.【試題答案】9n

【試題解析】因?yàn)榍虻捏w積為36?，設(shè)球的半徑為J

4

則§乃，=36萬，解得：r=3,

因?yàn)榍虻拇髨A即是過球心的截面圓，

因此大圓的面積為5=萬產(chǎn)=9%.

故答案為：9兀.

5.【試題答案】240

【試題解析】解：在丫的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為&1=2?2一”3,

令12-3r=0,求得廠=4,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：-24=240,

故答案為：240.

6.【試題答案】王

3

--1

【試題解析】解：...隋|=|6|,且展〃=],

與5的夾角為60。，

設(shè)4=(1,0),貝|J5=(L蟲)，

22

又修1=1,

1,化簡(jiǎn)得無2+初+9=1,

.，—1=-￥，當(dāng)且僅當(dāng).廣爭(zhēng)寸,等號(hào)成立,

故答案為：空

7

7.【試題答案】J

【試題解析】因?yàn)閟ina=§,

所以cos（7一2a）=-cos2a=-（l-2sin2=-1+2sin2a=—1+—=——.

7

故答案為：一,

8.【試題答案】2

【分析】

由反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）,得原函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,代入解出答案即可.

【詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log2（x-/"）+l的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）

所以函數(shù)y=log2（x-m）+l的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3,1）

所以l=log2（3—加）+1,解得加=2

故答案為2.

9.【試題答案】1

【試題解析】

由已知|PQ|=|O月可得p（；，5）,又點(diǎn)，在漸近線y=.上，.q=

22a2a2

又。=1,,\b=l

10.【試題答案】2v+sinx

【試題解析】由圖象可知，函數(shù)外力的定義域?yàn)镠,故排除y=Jy=log2x,

又由b（x）的圖象過定點(diǎn)（0,1）,

由函數(shù)網(wǎng)力圖象，可得當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）>l且為增函數(shù),

當(dāng)x<（）時(shí)，*力大于0與小于。交替出現(xiàn),

若F（x）=x2+x時(shí)，此時(shí)函數(shù)F（x）的圖象不過定點(diǎn)（0,1）,

因?yàn)?=2"過（0』）,且當(dāng)x>0時(shí)，J>1,當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l,

若包含y=cosx,當(dāng)x=0時(shí)，y=l,y=2、+cosX不滿足過點(diǎn)（0/）,

若包含y=x,此時(shí)函數(shù)廠(x)=2、+x不滿足x<()時(shí)，Rx)大于0與小于0交替出現(xiàn)，

若包含>=此時(shí)函數(shù)/(x)=2、+d不滿足x<()時(shí)，尸⑴大于0與小于0交替出現(xiàn)，

所以只有Hx)=2"+sinx滿足條件.

故答案為：2"+sinx.

11.【試題答案】已

【試題解析】共4+3+3=10本不同的數(shù)，任取2本包含G：=45種方法，若從中任取兩本，這

2本書屬于不同學(xué)科的情況有C；?C；+&?C；+C；?C；=33,

所以這2本書屬于不同學(xué)科的概率P=3R3==11.

4515

故答案為：—

12.【試題答案】⑴

［試題解析1轉(zhuǎn)化為/(X)=|尤-％|+1x-gI和g(x)=1x-偽I+1x-b21圖像交點(diǎn),

為了簡(jiǎn)化問題，我們可以研究1利+1尤-1|=\x-a\+\x-b\,

—2x+1,x<0

/(x)=|x|+|x-l|=<1,0<x<1,

2x-l,x>\

-2x+Q+/7,X<4

設(shè)g(x)=\x-a\+\x-b\=<h-a,a<x<h9

2x-a-b,x>b

設(shè)A(0,l),8(1,1),C(a,b—a),D(b,b-a),

而0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)都是不可能的.

②假設(shè)有0個(gè)交點(diǎn)，

由遂忌I^AC\=；—；>2|k|=—―———>2

|a|BD\b-\\

----⑷-----</----1--^----1--1<」-

\b-a-\\V\b-a-\\2'

1。1?I。-L.

\b-a-\|\b-a—\\

而由三角不等式,⑷+1叱II4八

\b-a-\\|b—"l|\b-a-\\'

故矛盾，..?不可能有0個(gè)交點(diǎn);

③假設(shè)有2個(gè)交點(diǎn)，

.b—〃-1h—ci-1小_.

原C=----------e(-2,0),k=--e(0,2),

aBDb-\

.-a1b-\1

---------->—,--------->—,

b-a-\2h-a-\2

”口>1,明顯矛盾，

?..不可能有2個(gè)交點(diǎn).

其他0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)的情況均可化歸為以上兩類.

綜上所述，解集A不是無限集時(shí)，集合A的元素個(gè)數(shù)只有1個(gè).

故答案為：{1}.

13.【試題答案】C

【試題解析】若&<。"，則根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去1,不等式符號(hào)不變，所以，

成立，則％-1<匕-1”成立，充分性成立；

7-1<6-1”成立，根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上1,不等式符號(hào)不變，所以，

%-1〈。-1”成立，則“a<0”成立，必要性成立；

所以，是1”的充要條件

故選C

14.【試題答案】B

【試題解析】①???點(diǎn)M是母線的中點(diǎn)，..?截面的半徑r=2,因此面積=乃*2?=4%，故①正

確；

②由勾股定理可得橢圓的長(zhǎng)軸為=J(4+2/+F=技,故②正確；

③在與底面'平面R鉆的垂直且過點(diǎn)M的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為J-g=l(a,b>0),則"(1,0),即。=1,把點(diǎn)(2,26)代入可得4-/=1,解得。=2,,=2,

44

設(shè)雙曲線兩漸近線的夾角為26,??.tan2e=，《=-9,.七山2。=!,因比雙曲線兩漸近線的

1—235

4_

夾角為arcsing,③不正確；

④建立直角坐標(biāo)系，不彷設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,把點(diǎn)(君,4)代入可得42=2px逐,

解得p=竺，二拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離〃為,，④不正確，

故選B.

15.【試題答案】B

【試題解析】由題意，在AABC中，若sinA=當(dāng)，

因?yàn)锳e(O4),可得4=￡或4=苧，

44

當(dāng)A=g時(shí)，可得8+。=學(xué)，則8=個(gè)一。，

444

可得cosB+V^cosC=cos(^--C)+5/2cosC=-^sinC+-^cosC=sin(C+-^-),

因?yàn)镃G(0,—),所以C+二￡("7")，所以sin(C+f)e(0,1]；

4444

當(dāng)4=亨時(shí)，可得B+C=f,則3=/-。，

444

可得cosB+V5cosC=cos(--C)+V2cosC=^?sinC+^^cosC=V5sin(C+?),

422

其中tane=3,

設(shè)g(x)=Ana+夕)在區(qū)間嗚-勿上單調(diào)遞增，在冷-吟]上單調(diào)遞減，

又由g(0)=￥^>2=g(?,g(/-<p)=后,

所以g(x)e(2,君],即石sin(C+e)e(2,6],

綜上可得，?0S8+5/58$。的取值范圍是(0,1]52,&'].

故選：B.

16.【試題答案】C

【試題解析】對(duì)任意的〃eN*,S“=24+〃.

當(dāng)〃=1時(shí)，?,=5j=2?,+1,解得q=-1;

當(dāng)“22時(shí)，由S“=24+〃可得S,I=2a,T+n-\,

上述兩式作差得4=2%-24_1+1,即4=2%-1,所以，=

所以，數(shù)歹K%T｝是首項(xiàng)為4-1=-2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以，4一1=一221=一2",即。"=1一2",.?.。5=-31,4=-63,

因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(。)=0,

函數(shù)“X)滿足“x+3)=/(x),/⑴=一3,

所以，/(?5)=/(-31)=-/(31)=-/(1)=3,/(?6)=/(-63)=/(0)=0,

因此，〃%)+/(。6)=3.

故選：c

17.【試題答案】（1）且⑵：

124

【試題解析】（1）由題意可知，圓柱的高〃=1,底面半徑r=1.

TTTT

由A4的長(zhǎng)為可知NAQB=§.

S.O|AB=QB].sinNARB]=,

3心—顯

vVf-O,AM一3.“一p-

（2）設(shè)過點(diǎn)片的母線與下底面交于點(diǎn)B,則BB"AA1,

所以ZCB,B或其補(bǔ)角為直線BC與AA1所成的角.

由AC長(zhǎng)為與，可知NAOC=W，

TT7T

又ZAOB=NAQ|B1所以ZCOB=-,

從而ACOB為等邊三角形，得CB=1.

因?yàn)锽BL平面AOC,所以B|B，CB.

TT7T

在ACB|B中，因?yàn)镹B|BC=,,CB=1,=所以NCB|B=a，

從而直線B,C與AA1所成的角的大小為三.

4

1?

⑻【試題答案】（DS，。）皿3收）；（2）…或…"⑶

【試題解析】⑴因?yàn)閁）=lg（/+。），所以丁+八1。',所以戶而三

所以尸出=而三

當(dāng)a=i時(shí)，r'u）=—故解集為（f,o）u（ig3,”）；

10—12

(2)方程/(x)+lg，)=0即1g("?+x)=0,

即加+x=l的解集中恰好有一個(gè)元素,

當(dāng)。=0時(shí)，x=l,符合題意，

當(dāng)時(shí)，A=l+4a=0,解得。=一,，

4

綜上所述，。=0或"=-1;

4

11\g(-+a

（3）當(dāng)aX）時(shí)，設(shè)0＜玉＜/，貝1]:+4＞丁+&>1g—+Q

\x\1*2

所以/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)“X）在區(qū)間％+11上的最大值與最小值為/⑺J（f+1）,

__

所以/?）-/（，+1）=愴（；+。＞唱（『1+。），，炮2,

12

所以"'；一771

(+1)

設(shè)l-r=r,J1IJ0<r<^,1-Z_r_r

?f+l)-。一r)(2-r)-，—3r+2

當(dāng)r=0時(shí)，一-=0,

r-3r+2

]r-1

當(dāng)0<Y不時(shí)，產(chǎn)一3r+2-2

2，+—J

r

22iQ

因?yàn)閥=〃+—在(o,血)上遞減，所以廠—+4=—,

rr22

____r—_______<1___,_—12

所以，一3r+2—2—9一3,

rH---j—j

r2

2

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是。2：

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：(D解題關(guān)鍵在于利用反函數(shù)定義，得到尸進(jìn)而用單調(diào)性解不等

式；(2)解題關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解；(3)解題關(guān)鍵在于得出，x)的單調(diào)性后，

分類討論，并利用均值不等式求解；本題難度屬于中檔題

19.【試題答案】(1)證明見解析(2)kN巫(3)存在，T>4

71

【試題解析】證明：(1)任取正常數(shù)T,存在毛=-7,所以x°+T=0,

2

因?yàn)閒M=f(-T)=T>/(O)=/(xo+T),

即/(x)W/(x+T)不，恒成立，

所以/(耳=￡不是“T同比不減函數(shù)”.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=依+sinx是同比不減函數(shù)”，

所以+恒成立，即++匕+sinx恒成立，

2(sinx-cosx)_20sin(x)對(duì)一切^R成立.

K±—

71冗

(3)設(shè)函數(shù)〃x)=x+|xTTx+l|是“7同比不減函數(shù)”，

x-2(x>1)

/(九)=〈-尤(-1<X<1),

x+2(x<-1)

當(dāng)x=-l時(shí)，因?yàn)?(—1+1)=1=./?⑶成立,

所以-1+T23,所以T",

而另一方面，若丁》4,

(I)當(dāng)時(shí)，

/(x+T)-/(x)=x+T+|x+r-l|-|x+r+l|-(x+2)

=T+|x+T-l|-|x+T+l|-2

|S］^3|X+T-1|-|%+7'+1|>-|(x+T-l)-(x+T+l)|=—2,

^f(x+T)-f(x)>T-2-2>0,所以有/(x+T"〃x)成立.

(II)當(dāng)xe(-l,+oo)時(shí)，

/(x+T)-/(x)=x+T-2-(x+|x-l|-|x+l|)

=T-2-|x-l|+|x+l|

因?yàn)閨x+l|-|x-l|=-2,

所以/(x+T)—/(x)2T—2—220,

即〃x+T)1f(x)成立.

綜上，恒有有/(x+T"〃x)成立，

所以7的取值范圍是［4,內(nèi)).

20.【試題答案】(1)答案見解析；(2)存在，加=行.

【試題解析】(1)如圖1,設(shè)M(x,y),A(x0,y0),則由|物/|=時(shí)國(guó),(〃2>0且W1)

可得尤=%,|)'|=時(shí)為|,所以％=龍，|%|=\|>|①，

因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以年+短=1②，

2

將①式代入②式即得所求曲線C的方程為V+J=1(加>()且加工1),

m"

因?yàn)閙e(0』)U(l,+8),所以

當(dāng)0<〃?<］時(shí)，0<m2<1,曲線C是焦點(diǎn)在％軸上的橢圓，

2

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(一，1一加2,0),(71-w,0);

當(dāng)機(jī)>1時(shí)，租2>1,曲線。是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為1),(0,

(2)存在，理由如下：

如圖2、3,Vx,e(O,l),設(shè)P(M，x),H(x2,y2),則。(―％,f),N(Oj),

"2222

772XH-V—

因?yàn)镻,〃兩點(diǎn)在橢圓。上，所以2'22；兩式相減可得

mx24-y2=tn,

22222

m(%1-%2)+(^1-y2)=0,③

依題意，由點(diǎn)P在第一象限可知，點(diǎn)”也在第一象限，且P,“不重合,

故(3-々)(尤|+々)/0,于是由③式可得

④

又Q,N,”三點(diǎn)共線，所以%N=%H,即生

2L,乂一%=1.(y—)’2)(x+)'2)=_af_

于是由④式可得《股?即“

X,Xj—x22(x1-x2)(xl+x2)2

7

而PQLP”等價(jià)于即一券=_i,又加＞o,得加=夜，

2

故存在加=夜，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓彳2+5=1上，對(duì)任意的女＞(),都有PQ_LP".

21.【試題答案】(1)[3,6]；(2)(1,+8)；(3)證明見解析.

【試題解析】Q)因?yàn)闉?(3)數(shù)列，所以:刑乎3,

Oan

解得3領(lǐng)k6,

即x的取值范圍是［3,6］；

(2)由數(shù)列｛q｝為3(4)數(shù)列，可得=或1</4,

當(dāng);,，”1時(shí)，由4>0,-q,=4，i(q-l)<0,所以14用一為1=4一4用.

貝U4?=4-。2+&一4+…—a6=a\~q+1=4(1-4“),

\_t_(q_t)q”

=lim

所以理"->81^7=1-&0,即7..l；

n

當(dāng)1<%,4時(shí)，由4>0,an+l-an=a｛q''(^-1)>0,所以1-1=-.

則T