模擬退火算法算法第1頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模擬退火算法是什么？是怎樣提出來(lái)的？模擬退火算法（SimulatedAnnealing，SA）是一種模擬物理退火的過(guò)程而設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法。它的基本思想最早在1953年就被Metropolis提出，但直到1983年Kirkpatrick等人才設(shè)計(jì)出真正意義上的模擬退火算法并進(jìn)行應(yīng)用。模擬退火算法的基本思想是怎樣的？模擬退火算法采用類似于物理退火的過(guò)程，先在一個(gè)高溫狀態(tài)下（相當(dāng)于算法隨機(jī)搜索），然后逐漸退火，在每個(gè)溫度下（相當(dāng)于算法的每一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移）徐徐冷卻（相當(dāng)于算法局部搜索），最終達(dá)到物理基態(tài)（相當(dāng)于算法找到最優(yōu)解）。第2頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一簡(jiǎn)介模擬退火算法的來(lái)源是根據(jù)復(fù)雜組合優(yōu)化問(wèn)題與固體的退火過(guò)程之間的相似之處。該算法在系統(tǒng)向著能量減小的趨勢(shì)變化過(guò)程中，偶爾允許系統(tǒng)跳到能量較高的狀態(tài)，以避開(kāi)局部最小，最終穩(wěn)定在全局最小。第3頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一簡(jiǎn)介SAA屬于隨機(jī)模擬算法模擬統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中物體加熱后冷卻這一退火過(guò)程而建立的隨機(jī)優(yōu)化算法，意圖是避免陷入局部極小解，早期用于組合優(yōu)化，后來(lái)發(fā)展成一種通用的優(yōu)化算法。第4頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一基本思想SAA是基于MenteCarlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于物理中固體物質(zhì)的退火過(guò)程與一般組合優(yōu)化問(wèn)題之間的相似性。另一方面，結(jié)合爬山法和隨機(jī)行走。SAA在某一初溫下，伴隨溫度參數(shù)的不斷下降，結(jié)合概率突跳特性在解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，即在局部?jī)?yōu)解能概率性地跳出并最終趨于全局最優(yōu)。

模擬退火算法是一種通用的優(yōu)化算法，目前已在工程中得到了廣泛應(yīng)用。第5頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一基本思路首先在高溫下進(jìn)行搜索，此時(shí)各狀態(tài)出現(xiàn)概率相差不大，可以很快進(jìn)入“熱平衡狀態(tài)”，這時(shí)進(jìn)行的是一種“粗搜索”，也就是大致找到系統(tǒng)的低能區(qū)域；隨著溫度的逐漸降低，各狀態(tài)出現(xiàn)概率的差距逐漸被擴(kuò)大，搜索精度不斷提高。這就可以越來(lái)越準(zhǔn)確的找到網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)的全局最小點(diǎn)。第6頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、模擬退火算法概述二、模擬退火算法的馬氏鏈描述及收斂性三、模擬退火算法關(guān)鍵參數(shù)和操作設(shè)計(jì)四、模擬退火算法的改進(jìn)及其并行性五、模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用第7頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一固體退火過(guò)程Metropolis準(zhǔn)則組合優(yōu)化與物理退火的相似性模擬退火算法的步驟第一節(jié)模擬退火算法概述第8頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

算法的提出

模擬退火算法最早的思想由Metropolis等（1953）提出，1983年Kirkpatrick等將其應(yīng)用于組合優(yōu)化。

—Optimizationbysimulatedannealing,IBMResearchReport算法的目的

解決NP復(fù)雜性問(wèn)題提供有效近似算法；克服優(yōu)化過(guò)程陷入局部極??；克服初值依賴性。

1.1固體退火過(guò)程第9頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、源于對(duì)固體退火過(guò)程的模擬；2、采用Metropolis接受準(zhǔn)則；3、用冷卻進(jìn)度表控制算法進(jìn)程，使算法在多項(xiàng)式時(shí)間里給出一個(gè)近似解。固體退火過(guò)程的物理圖像和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是SAA的物理背景；Metropolis接受準(zhǔn)則使算法跳離局部最優(yōu)“險(xiǎn)井”；而冷卻進(jìn)度表的合理選擇是算法應(yīng)用的前提。1模擬退火算法概述

1.1固體退火過(guò)程算法的基礎(chǔ)第10頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

固體退火過(guò)程

什么是退火：

退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨機(jī)排列狀態(tài)，然后逐步降溫使之冷卻，最后分子以低能狀態(tài)排列，固體達(dá)到某種穩(wěn)定狀態(tài)。

1.1固體退火過(guò)程第11頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一固體退火是將固體加熱至融化，再徐徐冷卻使之凝固成規(guī)整晶體的熱力學(xué)過(guò)程，屬于熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理研究的范疇。由以下三部分組成：加溫過(guò)程等溫過(guò)程冷卻過(guò)程固體在恒定溫度下達(dá)到熱平衡的過(guò)程！第12頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

固體退火過(guò)程

加溫過(guò)程——增強(qiáng)粒子的熱運(yùn)動(dòng)，使其偏離平衡位置，目的是消除系統(tǒng)原先可能存在的非均勻態(tài)；

等溫過(guò)程——退火過(guò)程中要讓溫度慢慢降低，在每一個(gè)溫度下要達(dá)到熱平衡狀態(tài)，對(duì)于與環(huán)境換熱而溫度不變的封閉系統(tǒng)滿足自由能較少定律，系統(tǒng)狀態(tài)的自發(fā)變化總是朝自由能減少的方向進(jìn)行，當(dāng)自由能達(dá)到最小時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)；

冷卻過(guò)程——使粒子熱運(yùn)動(dòng)減弱并漸趨有序，系統(tǒng)能量逐漸下降，從而得到低能的晶體結(jié)構(gòu)。當(dāng)液體凝固為固體的晶態(tài)時(shí)退火過(guò)程完成。

1.1固體退火過(guò)程第13頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

數(shù)學(xué)表述

在溫度T，分子停留在狀態(tài)r滿足Boltzmann概率分布溫度低時(shí)能量低的微觀狀態(tài)概率大，溫度趨于零時(shí)，固體幾乎處于概率最大能量最小的基態(tài)。

1.1固體退火過(guò)程第14頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

數(shù)學(xué)表述

在同一個(gè)溫度T，選定兩個(gè)能量E1<E2，有

在同一個(gè)溫度，分子停留在能量小的狀態(tài)的概率比停留在能量大的狀態(tài)的概率要大。

1.1固體退火過(guò)程<1>0第15頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述數(shù)學(xué)表述

若|D|為狀態(tài)空間D中狀態(tài)的個(gè)數(shù)，D0是具有最低能量的狀態(tài)集合：

(1)當(dāng)溫度很高時(shí)，每個(gè)狀態(tài)概率基本相同，接近平均值1/|D|；

(2)狀態(tài)空間存在超過(guò)兩個(gè)不同能量時(shí)，具有最低能量狀態(tài)的概率超出平均值1/|D|；(3)當(dāng)溫度趨于0時(shí)，分子停留在最低能量狀態(tài)的概率趨于1。

1.1固體退火過(guò)程能量最低狀態(tài)非能量最低狀態(tài)第16頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

Metropolis準(zhǔn)則（1953）——以概率接受新?tīng)顟B(tài)

固體在恒定溫度下達(dá)到熱平衡的過(guò)程可以用MonteCarlo方法（計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法）加以模擬，雖然該方法簡(jiǎn)單，但必須大量采樣才能得到比較精確的結(jié)果，計(jì)算量很大。

1.2Metropolis準(zhǔn)則第17頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MonteCarlo模擬退火過(guò)程蒙特卡羅(MonteCarlo)方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國(guó)在第一次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。第18頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MonteCarlo方法MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”。Buffon試驗(yàn)：19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)求解圓周率π。本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來(lái)高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。第19頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MonteCarlo方法用民意測(cè)驗(yàn)來(lái)作一個(gè)不嚴(yán)格的比喻。民意測(cè)驗(yàn)的人不是征詢每一個(gè)登記選民的意見(jiàn)，而是通過(guò)對(duì)選民進(jìn)行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來(lái)確定可能的優(yōu)勝者。其基本思想是一樣的。它需要一個(gè)良好的隨機(jī)數(shù)源。這種方法往往包含一些誤差，但是隨著隨機(jī)抽取樣本數(shù)量的增加，結(jié)果也會(huì)越來(lái)越精確。第20頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

Metropolis準(zhǔn)則（1953）——以概率接受新?tīng)顟B(tài)

若在溫度T，當(dāng)前狀態(tài)i→新?tīng)顟B(tài)j若Ej<Ei，則接受j為當(dāng)前狀態(tài)；否則，若概率

p=exp[-(Ej-Ei)/kBT]

大于[0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，則仍接受狀態(tài)j為當(dāng)前狀態(tài)；若不成立則保留狀態(tài)i為當(dāng)前狀態(tài)。

1.2Metropolis準(zhǔn)則第21頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1953年提出重要性采樣法----以概率接受新?tīng)顟B(tài).設(shè)固體的初態(tài)為，其狀態(tài)能量為，然后用一擾動(dòng)裝置隨機(jī)選取某個(gè)微粒的微小變化，得到一新?tīng)顟B(tài)，其能量為:(1)當(dāng)，則該新?tīng)顟B(tài)為“重要狀態(tài)”，并接受它；(2)當(dāng)，該狀態(tài)是否為“重要狀態(tài)”，要依據(jù)固體處于該狀態(tài)的概率來(lái)判斷。記固體處于狀態(tài)和狀態(tài)的概率比值為，則在[0,1)之間隨機(jī)產(chǎn)生一隨機(jī)數(shù)。若，則新?tīng)顟B(tài)作為重要狀態(tài)，并接受它；否則舍棄新?tīng)顟B(tài)。Metropolis準(zhǔn)則第22頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若，則接受j，否則接受i。隨機(jī)數(shù)在溫度t，初始狀態(tài)i，該狀態(tài)的能量為,隨機(jī)選取某個(gè)粒子的位移隨機(jī)地產(chǎn)生一微小變化，得到一個(gè)新?tīng)顟B(tài)j，新?tīng)顟B(tài)的能量為則接受新?tīng)顟B(tài)j則考慮到熱運(yùn)動(dòng)的影響Metropolis準(zhǔn)則第23頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由的定義可知，高溫下可接受與當(dāng)前狀態(tài)能差較大的狀態(tài)為重要狀態(tài)，而在低溫下只能接受與當(dāng)前狀態(tài)能差較小的新?tīng)顟B(tài)為重要狀態(tài)。在溫度趨于零時(shí)，就不再接受的新?tīng)顟B(tài)了。如此反復(fù)，達(dá)到系統(tǒng)在此溫度下的熱平衡。這個(gè)過(guò)程稱作Metropolis抽樣過(guò)程。Metropolis抽樣過(guò)程就是在一確定溫度下，使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡的過(guò)程。第24頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一退火過(guò)程（降溫過(guò)程）在Metropolis抽樣過(guò)程中溫度T緩慢的降低。模擬退火過(guò)程就是通過(guò)T參數(shù)的變化使?fàn)顟B(tài)收斂于最小能量處。因而，T參數(shù)的選擇對(duì)于算法最后的結(jié)果有很大影響。初始溫度和終止溫度設(shè)置的過(guò)低或過(guò)高都會(huì)延長(zhǎng)搜索時(shí)間。降溫步驟太快，往往會(huì)漏掉全局最優(yōu)點(diǎn)，使算法收斂至局部最優(yōu)點(diǎn)。降溫步驟太慢，則會(huì)大大延長(zhǎng)搜索全局最優(yōu)點(diǎn)的計(jì)算時(shí)間，從而難以實(shí)際應(yīng)用。因此，T可以理解為一個(gè)控制參數(shù)。第25頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為尋找在有限時(shí)間逼近全局最優(yōu)的模擬退火算法，設(shè)置了許多控制算法收斂的參數(shù)。在退火過(guò)程中指定了有限的退火溫度值和在每一溫度下的轉(zhuǎn)移數(shù)目。Kirlpatrick等人在退火步驟中設(shè)定的參數(shù)如下：（1）初始溫度值：初始溫度值T0要選的足夠高，保證模擬退火算法中所有可能的轉(zhuǎn)移都能被接受。第26頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）溫度的下降：原先使用指數(shù)函數(shù)實(shí)現(xiàn)溫度的下降。但是這種方法使降溫幅度過(guò)小，從而延長(zhǎng)搜索時(shí)間。在實(shí)際中，通常使用下式：此處λ是一小于卻接近于1的常數(shù)。λ通常的取值在0.8至0.99之間。在每一溫度下，實(shí)驗(yàn)足夠多的轉(zhuǎn)移次數(shù)。

（3）終止溫度：如果在連續(xù)的若干個(gè)溫度下沒(méi)有可接受的新?tīng)顟B(tài)，系統(tǒng)凍結(jié)或退火停止。第27頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA提出依據(jù)固體模擬退火與組合優(yōu)化問(wèn)題的相似性退火過(guò)程的狀態(tài)組合優(yōu)化問(wèn)題的解能量目標(biāo)值能量的取舍目標(biāo)值的取舍能量的最小值目標(biāo)值的最小值根據(jù)這種相似性，并依據(jù)Metropolis準(zhǔn)則進(jìn)行迭代就形成了模擬退火算法第28頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

相似性比較

1.3組合優(yōu)化與固體退火的相似性組合優(yōu)化問(wèn)題金屬物體退火解粒子狀態(tài)最優(yōu)解能量最低的狀態(tài)設(shè)定初溫熔解過(guò)程Metropolis抽樣過(guò)程等溫過(guò)程控制參數(shù)的下降冷卻目標(biāo)函數(shù)能量第29頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一物理退火過(guò)程物體內(nèi)部的狀態(tài)狀態(tài)的能量溫度熔解過(guò)程退火冷卻過(guò)程狀態(tài)的轉(zhuǎn)移能量最低狀態(tài)模擬退火算法問(wèn)題的解空間解的質(zhì)量控制參數(shù)設(shè)定初始溫度控制參數(shù)的修改解在鄰域中的變化最優(yōu)解物理退火過(guò)程模擬退火算法類比關(guān)系第30頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA機(jī)理優(yōu)化問(wèn)題的解視為固體的狀態(tài)；隨機(jī)給定優(yōu)化問(wèn)題的初始解；給定初始溫度；根據(jù)當(dāng)前的解產(chǎn)生新的解；依據(jù)Metropolis準(zhǔn)則對(duì)兩個(gè)解進(jìn)行取舍；重復(fù)以上兩步直到達(dá)到熱平衡；降低溫度繼續(xù)上述過(guò)程直到溫度降到最低，最后的狀態(tài)就認(rèn)為是問(wèn)題的解。第31頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

基本步驟

給定初溫t=t0，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)s=s0，令k=0；

RepeatRepeat

產(chǎn)生新?tīng)顟B(tài)sj=Genete(s)；

ifmin{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1]s=sj;Until抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足；退溫tk+1=update(tk)并令k=k+1；

Until算法終止準(zhǔn)則滿足；輸出算法搜索結(jié)果。

1.4模擬退火算法的步驟第32頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1模擬退火算法概述

影響優(yōu)化結(jié)果的主要因素

給定初溫t=t0，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)s=s0，令k=0；

RepeatRepeat

產(chǎn)生新?tīng)顟B(tài)sj=Genete(s)；

ifmin{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1]s=sj;Until抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足；退溫tk+1=update(tk)并令k=k+1；

Until算法終止準(zhǔn)則滿足；輸出算法搜索結(jié)果。

1.4模擬退火算法的步驟三函數(shù)兩準(zhǔn)則初始溫度第33頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三函數(shù)兩準(zhǔn)則狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)狀態(tài)接受函數(shù)退溫函數(shù)抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則退火結(jié)束準(zhǔn)則第34頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA流程確定初溫隨機(jī)給定初始解收斂準(zhǔn)則滿足否？輸出結(jié)果Y抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足否？由當(dāng)前狀態(tài)產(chǎn)生新?tīng)顟B(tài)接受函數(shù)成立否？替換當(dāng)前狀態(tài)YYNNN退溫保持當(dāng)前狀態(tài)不變

關(guān)鍵環(huán)節(jié)1初溫、初始解2狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)3狀態(tài)接受函數(shù)4退溫函數(shù)5抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則6收斂準(zhǔn)則第35頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第36頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA特點(diǎn)可以保證全局最優(yōu)特別適合組合優(yōu)化問(wèn)題可以隨機(jī)選擇初始解對(duì)問(wèn)題本身沒(méi)有特別要求，不會(huì)因?yàn)閱?wèn)題實(shí)例的改變影響性能簡(jiǎn)單易行，通用性好第37頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一馬氏鏈描述收斂性時(shí)齊算法收斂性非時(shí)齊算法收斂性漸近性態(tài)第二節(jié)SAA的馬氏鏈描述及收斂性第38頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模擬退火算法(SAA)是將物理退火過(guò)程與組合優(yōu)化相結(jié)合的一種隨機(jī)迭代尋優(yōu)算法。數(shù)學(xué)模型描述為由某一較高初始溫度開(kāi)始，在給定的鄰域結(jié)構(gòu)中，模擬退火過(guò)程，利用概率特性與抽樣策略在解空間中隨機(jī)搜索，隨著溫度不斷下降重復(fù)抽樣，用來(lái)優(yōu)化問(wèn)題的解。引言第39頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)為所有狀態(tài)構(gòu)成的解空間，為k時(shí)刻狀態(tài)變量的取值。隨機(jī)序列稱為馬氏鏈,若滿足簡(jiǎn)記（記憶遺忘功能）

2

SAA的馬氏鏈描述及收斂性

2.1

馬爾可夫（Markov）鏈第40頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一步轉(zhuǎn)移概率n步轉(zhuǎn)移概率有限狀態(tài)馬氏鏈若解空間有限。時(shí)齊馬氏鏈第41頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模擬退火算法(SAA)的搜索進(jìn)程：算法從某一個(gè)初始狀態(tài)開(kāi)始后，每一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移均是在當(dāng)前狀態(tài)的鄰域中隨機(jī)產(chǎn)生新?tīng)顟B(tài)，然后以一定概率進(jìn)行接受的。接受概率僅依賴于新?tīng)顟B(tài)和當(dāng)前狀態(tài)，并由溫度加以控制。因此，SAA對(duì)應(yīng)一個(gè)馬氏鏈。第42頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若固定每一溫度，算法均計(jì)算馬氏鏈的變化直至平穩(wěn)分布，然后下降溫度。時(shí)齊算法非時(shí)齊算法若無(wú)需各溫度下算法均達(dá)到平穩(wěn)分布，但溫度需按照一定的速率下降?；蚍Q非平穩(wěn)馬氏鏈算法。第43頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA基礎(chǔ)理論馬氏鏈模型第44頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA要實(shí)現(xiàn)全局收斂必須滿足下列條件：狀態(tài)可達(dá)性初值魯棒性極限分布存在性收斂到最優(yōu)解溫度不變，M鏈極限分布存在溫度漸近0，M鏈極限分布存在對(duì)應(yīng)馬氏鏈的狀態(tài)圖是強(qiáng)連通的對(duì)算法的最終結(jié)果不依賴于初值第45頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義1狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j:定義2平穩(wěn)分布:稱

為馬氏鏈的平穩(wěn)分布,若一步轉(zhuǎn)移概率滿足等式2.2.1時(shí)齊算法的收斂性

2

SAA的馬氏鏈描述及收斂性

2.2收斂性分析第46頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)齊模擬退火算法的收斂性結(jié)論：結(jié)論1

時(shí)齊模擬退火算法對(duì)應(yīng)的有限狀態(tài)馬氏鏈存在平穩(wěn)分布。結(jié)論2

當(dāng)溫度趨于0時(shí)，馬氏鏈以概率1收斂到最優(yōu)狀態(tài)集，而收斂到非最優(yōu)狀態(tài)的概率為0。實(shí)現(xiàn)途徑：通過(guò)各溫度下各狀態(tài)序列無(wú)限長(zhǎng)得以實(shí)現(xiàn)！第47頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.2.2非時(shí)齊算法的收斂性收斂定理第48頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)退溫函數(shù)加以嚴(yán)格控制，可使得SA算法以概率1收斂到全局最優(yōu)解?？稍O(shè)計(jì)退溫函數(shù)為其中，則當(dāng)時(shí)，SA算法以概率1收斂到全局最優(yōu)解。第49頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.2.3SA算法漸近性能的逼近收斂可以保證，但是時(shí)間性能不好收斂速度有待研究第50頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)模擬退火算法關(guān)鍵參數(shù)和操作的設(shè)計(jì)三函數(shù)兩準(zhǔn)則狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)狀態(tài)接受函數(shù)退溫函數(shù)抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則退火結(jié)束準(zhǔn)則從算法流程看，SA算法包括三函數(shù)兩準(zhǔn)則初溫第51頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)（鄰域函數(shù)）設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)：盡可能保證產(chǎn)生的候選解遍布全部解空間。產(chǎn)生候選解的方式候選解產(chǎn)生的概率分布兩部分第52頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一前者決定由當(dāng)前解產(chǎn)生候選解的方式，后者決定在當(dāng)前解產(chǎn)生的候選解中選擇不同狀態(tài)的概率。候選解的產(chǎn)生方式由問(wèn)題的性質(zhì)決定，通常在當(dāng)前狀態(tài)的鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)以一定概率方式產(chǎn)生，而鄰域函數(shù)和概率方式可以多樣化設(shè)計(jì)，其中概率分布可以是均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布、柯西分布等。第53頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2狀態(tài)接受函數(shù)目的：盡可能接受優(yōu)化解狀態(tài)接受函數(shù)一般以概率的方式給出，不同接受函數(shù)的差別主要在于接受概率的形式不同。第54頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一固定溫度下，接受使目標(biāo)函數(shù)值下降的候選解的概率要大于使目標(biāo)函數(shù)值上升的候選解的概率。隨溫度的下降，接受使目標(biāo)函數(shù)值上升的解的概率要逐漸減小。當(dāng)溫度趨于零時(shí)，只能接受目標(biāo)函數(shù)值下降的解。設(shè)計(jì)狀態(tài)接受概率，應(yīng)遵循的原則：第55頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3初溫實(shí)驗(yàn)表明：初溫值只要選擇充分大，獲得高質(zhì)量解的概率就大！但花費(fèi)計(jì)算時(shí)間增加。初溫的選擇要足夠高。初溫的確定應(yīng)折衷考慮優(yōu)化質(zhì)量和優(yōu)化效率。第56頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一均勻抽樣一組狀態(tài)，選各狀態(tài)目標(biāo)值的方差利用經(jīng)驗(yàn)公式隨機(jī)產(chǎn)生一組狀態(tài)，確定兩兩狀態(tài)間的最大目標(biāo)值差，然后依據(jù)差值，利用一定的函數(shù)確定初溫。例如，第57頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一初始溫度溫度更新函數(shù)內(nèi)循環(huán)終止準(zhǔn)則外循環(huán)終止準(zhǔn)則退火歷程(annealingschedule)第58頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4溫度更新函數(shù)衰減量“以小為宜”實(shí)驗(yàn)表明降溫速度越慢，獲得高質(zhì)量解的幾率越大，但花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間將同時(shí)增加。溫度高時(shí)下降的慢些，溫度低時(shí)下降的快些。即溫度的下降方式，用于在外循環(huán)中修改溫度值。第59頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Nahar及Skiscim等人把劃分成K個(gè)小區(qū)間，溫度更新函數(shù)為Kirkpatrick首先提出被Johnson,Bonomi及Lutton采用取0.5至0.99之間第60頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5內(nèi)循環(huán)終止準(zhǔn)則檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)值的均值是否穩(wěn)定連續(xù)若干步目標(biāo)函數(shù)值的變化較小按一定的步數(shù)抽樣鏈長(zhǎng)（Metropolis抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則）用于決定在各溫度下產(chǎn)生候選解的數(shù)目。時(shí)齊算法——常用Metropolis抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則包括：非時(shí)齊SAA：每個(gè)溫度下只產(chǎn)生一個(gè)或少量候選解。第61頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一具體應(yīng)與問(wèn)題規(guī)模成比例。實(shí)驗(yàn)表明高溫時(shí)迭代次數(shù)越多越好，低溫時(shí)迭代次數(shù)可以適當(dāng)減少。第62頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6外循環(huán)終止準(zhǔn)則理論上要求溫度終值趨于零設(shè)置終止溫度的閥值設(shè)置外循環(huán)迭代次數(shù)(6-50)算法搜索到的最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變（算法終止準(zhǔn)則）用于決定算法何時(shí)結(jié)束。通常的做法包括：檢驗(yàn)系統(tǒng)熵是否穩(wěn)定第63頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三個(gè)參數(shù)、和值均有顯著影響?？偨Y(jié)過(guò)大的值、值和值均能導(dǎo)致過(guò)長(zhǎng)的CPU時(shí)間。因而在最終解的質(zhì)量有待較大值和值予以保證的前提下，選取較小的值可以抑制CPU時(shí)間上升的態(tài)勢(shì)。第64頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模擬退火算法基本要素和設(shè)定方法第65頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模擬退火算法是一種通用的隨機(jī)搜索算法，它可用于解決眾多的優(yōu)化問(wèn)題，并已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于其他領(lǐng)域。如VLSL設(shè)計(jì)、圖像識(shí)別等。當(dāng)待解決的問(wèn)題復(fù)雜性較高，而且規(guī)模較大時(shí)，在對(duì)問(wèn)題的領(lǐng)域知識(shí)甚少的情況下，采用模擬退火算法最合適。因?yàn)槟M退火算法不像其他確定型啟發(fā)式算法那樣，需要依賴于問(wèn)題的領(lǐng)域知識(shí)來(lái)提高算法的性能。第66頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一但是，從另一方面來(lái)說(shuō)，已知有關(guān)待解決問(wèn)題的一些知識(shí)后，模擬退火算法卻無(wú)法充分利用它們，這使得模擬退火算法的優(yōu)點(diǎn)就成了缺點(diǎn)。如何把傳統(tǒng)的啟發(fā)式搜索方法和模擬退火隨機(jī)搜索算法結(jié)合起來(lái)，這是一個(gè)有待研究的十分有意義的課題。第67頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模擬退火算法在求解規(guī)模較大的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往存在以下缺點(diǎn)：（1）收斂速度比較慢。（2）盡管理論上只要計(jì)算時(shí)間足夠長(zhǎng)，模擬退火法就可以保證以概率1收斂于全局最優(yōu)點(diǎn)。但是在實(shí)際算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，由于計(jì)算速度和時(shí)間的限制，在優(yōu)化效果和計(jì)算時(shí)間二者之間存在矛盾，因而難以保證計(jì)算結(jié)果為全局最優(yōu)點(diǎn)，優(yōu)化效果不甚理想。（3）在每一溫度下很難判定是否達(dá)到了平衡狀態(tài)。第68頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為此，人們對(duì)模擬退火算法提出了各種各樣的改進(jìn)，其中包括并行模擬退火算法、快速模擬退火算法（Cauchy機(jī)）和對(duì)模擬退火算法中各個(gè)函數(shù)和參數(shù)的重新設(shè)計(jì)等。第69頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SA算法直接簡(jiǎn)單模擬固體退火。特點(diǎn)：思路清晰、原理簡(jiǎn)單、使用靈活、應(yīng)用廣泛同時(shí)，由于其直接性和簡(jiǎn)單化，也存在不足與弊病，使其應(yīng)用及性能受到一定影響。第四節(jié)模擬退火算法的改進(jìn)及并行性第70頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一不同p值對(duì)CHN144實(shí)例測(cè)得值第71頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性模擬退火算法的優(yōu)點(diǎn)

質(zhì)量高；初值魯棒性強(qiáng)；簡(jiǎn)單、通用、易實(shí)現(xiàn)。模擬退火算法的缺點(diǎn)

由于要求較高的初始溫度、較慢的降溫速率、較低的終止溫度，以及各溫度下足夠多次的抽樣，因此優(yōu)化過(guò)程較長(zhǎng)。

4.1模擬退火算法的優(yōu)缺點(diǎn)第72頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性改進(jìn)的可行方案（1）設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)；（2）設(shè)計(jì)高效的退火歷程；（3）避免狀態(tài)的迂回搜索；（4）采用并行搜索結(jié)構(gòu)；（5）避免陷入局部極小，改進(jìn)對(duì)溫度的控制方式；（6）選擇合適的初始狀態(tài)；（7）設(shè)計(jì)合適的算法終止準(zhǔn)則。

4.2改進(jìn)內(nèi)容第73頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性改進(jìn)的方式：增加某些新的環(huán)節(jié)（1）增加升溫或重升溫過(guò)程，避免陷入局部極小；（2）增加記憶功能（記憶“Bestsofar”狀態(tài)）；（3）增加補(bǔ)充搜索過(guò)程（以最優(yōu)結(jié)果為初始解）；（4）對(duì)每一當(dāng)前狀態(tài)，采用多次搜索策略，以概率接受區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)狀態(tài)；（5）結(jié)合其它搜索機(jī)制的算法；（6）上述各方法的綜合。

4.2改進(jìn)內(nèi)容第74頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性改進(jìn)的思路

（1）記錄“Bestsofar”狀態(tài)，并即時(shí)更新；（2）設(shè)置雙閾值，使得在盡量保持最優(yōu)性的前提下減少計(jì)算量，即在各溫度下當(dāng)前狀態(tài)連續(xù)m1步保持不變則認(rèn)為Metropolis抽樣穩(wěn)定，若連續(xù)m2次退溫過(guò)程中所得最優(yōu)解不變則認(rèn)為算法收斂。

4.3一種改進(jìn)的模擬退火算法第75頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性改進(jìn)的退火過(guò)程

（1）給定初溫t0，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)s，令初始最優(yōu)解s*=s，當(dāng)前狀態(tài)為s(0)=s，i=p=0；（2）令t=ti，以t，s*和s(i)調(diào)用改進(jìn)的抽樣過(guò)程，返回其所得最優(yōu)解s*’和當(dāng)前狀態(tài)s’(k)，令當(dāng)前狀態(tài)s(i)=s’(k)；（3）判斷C(s*)<C(s*’)?若是，則令p=p+1；否則，令s*=s*’，p=0；（4）退溫ti+1=update(ti)，令i=i+1；（5）判斷p>m2?若是，則轉(zhuǎn)第(6)步；否則，返回第(2)步；（6）以最優(yōu)解s*作為最終解輸出，停止算法。

4.3一種改進(jìn)的模擬退火算法第76頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性改進(jìn)的抽樣過(guò)程

（1）令k=0時(shí)的初始當(dāng)前狀態(tài)為s’(0)=s(i)，q=0；（2）由狀態(tài)s通過(guò)狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生新?tīng)顟B(tài)s’，計(jì)算增量?C’=C(s’)-C(s)；（3）若?C’<0，則接受s’作為當(dāng)前解，并判斷C(s*’)>C(s’)?若是，則令s*’=s’，q=0；否則，令q=q+1。若?C’>0，則以概率exp(-?C’/t)接受s’作為下一當(dāng)前狀態(tài)；（4）令k=k+1，判斷q>m1?若是，則轉(zhuǎn)第(5)步；否則，返回第(2)步；（5）將當(dāng)前最優(yōu)解s*’和當(dāng)前狀態(tài)s’(k)返回改進(jìn)退火過(guò)程。

4.3一種改進(jìn)的模擬退火算法第77頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一TINATime-invariantnoisealgorithm狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)中擾動(dòng)強(qiáng)度不隨時(shí)間改變，而是和能量大小相關(guān)，能量大的擾動(dòng)大，能量小的擾動(dòng)小，能量為零，擾動(dòng)也為零，算法停止。第78頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MTRSA單調(diào)升溫(Monotonictemperaturerising)SA在算法退火后期，溫度很低且陷入局部極小解的時(shí)，算法很難跳出。因此，可以適當(dāng)重新提高溫度，促使算法跳出。第79頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAMG記憶指導(dǎo)SA(SimulatedAnnealingwithMemmoryGuidance,簡(jiǎn)記為SAMG)增加一個(gè)記憶裝置，存儲(chǔ)算法計(jì)算過(guò)程產(chǎn)生的最好的解，以這個(gè)解為最終解。第80頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一自適應(yīng)SA自適應(yīng)SA算法,根據(jù)鄰域搜索進(jìn)展的反饋信息,自適應(yīng)確定溫度變化和鄰域搜索強(qiáng)度特點(diǎn)：1)退火過(guò)程中溫度參數(shù)變化符合幅值遞減的下降總趨勢(shì),但不排除局部升溫的可能,以保證尋求到合適的溫度序列,避免陷入局部最優(yōu);2)算法的終止條件依據(jù)退火溫度和鄰域搜索進(jìn)展?fàn)顟B(tài)設(shè)計(jì);3)每一溫度下算法的迭代次數(shù)隨溫度下降而遞增,鄰域搜索強(qiáng)度依其對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)動(dòng)態(tài)分配;4)溫度變化、鄰域搜索和終止條件的控制機(jī)制由算法過(guò)程自動(dòng)觸發(fā)。第81頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4模擬退火算法的改進(jìn)及并行性

4.4并行性1、操作并行性：各個(gè)環(huán)節(jié)同時(shí)處理；2、進(jìn)程并行性：同時(shí)多個(gè)算法運(yùn)行；3、空間并行性：解空間分解分別處理，最終組合。全過(guò)程并行性子進(jìn)程并行性第82頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第五節(jié)算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用第83頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一引言SAA應(yīng)用的一般形式：從選定的初始解開(kāi)始，在借助于控制參數(shù)t遞減時(shí)產(chǎn)生的一系列Markov鏈中，利用一個(gè)新解產(chǎn)生裝置和接受準(zhǔn)則，重復(fù)進(jìn)行包括“產(chǎn)生新解----計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差-----判斷是否接受新解------接受(或舍棄)新解”這四個(gè)任務(wù)的實(shí)驗(yàn)，不斷對(duì)當(dāng)前解迭代，從而達(dá)到使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的執(zhí)行過(guò)程。第84頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA實(shí)現(xiàn)通用框架確定問(wèn)題編碼方案設(shè)計(jì)初始溫度、終止溫度和溫度下降策略（退溫函數(shù)）設(shè)計(jì)能量函數(shù)設(shè)定穩(wěn)定準(zhǔn)則設(shè)計(jì)產(chǎn)生新解的方式（狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)）設(shè)計(jì)Metropolis接受準(zhǔn)則（狀態(tài)接受函數(shù)）生成初始狀態(tài)第85頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、數(shù)學(xué)模型對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)明描述。解空間目標(biāo)函數(shù)初始解所有可能解的集合，它限定了初始解選取和新解產(chǎn)生的范圍對(duì)問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)描述，易計(jì)算，對(duì)應(yīng)關(guān)系明確算法開(kāi)始迭代的起點(diǎn)，它的選取使算法能導(dǎo)出較好的最終解5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用

5.1應(yīng)用的一般要求第86頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、新解的產(chǎn)生和接受機(jī)制產(chǎn)生新解由產(chǎn)生裝置從當(dāng)前解的解空間中產(chǎn)生。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值之差最快的方法是按增量計(jì)算。判斷新解是否被接受準(zhǔn)則Metropolis新解代替當(dāng)前解代替變換部分，修正目標(biāo)函數(shù)值。第87頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、溫度更新函數(shù)關(guān)鍵參數(shù)：初溫、溫度降低函數(shù)、馬氏鏈長(zhǎng)度、停止準(zhǔn)則。綜合應(yīng)用，達(dá)到最佳效果！第88頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一SAA求解TSP關(guān)鍵問(wèn)題如何由舊的解產(chǎn)生新的解方式很多相鄰兩位置對(duì)換——變動(dòng)最小任意兩位置對(duì)換單點(diǎn)位置移動(dòng)子排列位置移動(dòng)子排列反序子排列位置移動(dòng)且反序——變動(dòng)最大理論已經(jīng)證明上述所有方式都收斂實(shí)際驗(yàn)證收斂性能差異很大第89頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、組合優(yōu)化問(wèn)題的求解數(shù)學(xué)模型一個(gè)商人欲到個(gè)城市推銷(xiāo)商品，每?jī)蓚€(gè)城市和之間的距離為，如何選擇一條道路使得商人每個(gè)城市走一遍后回到起點(diǎn)且所走路經(jīng)最短。5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用

5.2

算法的實(shí)現(xiàn)

第90頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解空間目標(biāo)函數(shù)初始解選為第91頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一新解的產(chǎn)生1、互換操作(SWAP)隨機(jī)交換兩個(gè)不同城市的位置。2、逆序操作(INV)兩個(gè)不同隨機(jī)位置的城市逆序。3、插入操作(INS)隨機(jī)選擇某個(gè)城市插入到不同隨機(jī)位置。第92頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一衰減函數(shù)初值馬氏鏈長(zhǎng)停止準(zhǔn)則設(shè)計(jì)終止溫度的閥值設(shè)計(jì)外循環(huán)迭代次數(shù)算法搜索到的最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變第93頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用

例130城市TSP問(wèn)題（d*=423.741byDBFogel）

TSPBenchmark問(wèn)題

4194;3784;5467;2562;764;299;6858;7144;5462;8369;6460;1854;2260;8346;9138;2538;2442;5869;7171;7478;8776;1840;1340;827;6232;5835;4521;4126;4435;450第94頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用算法流程

例130城市TSP問(wèn)題（d*=423.741byDBFogel）

第95頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用初始溫度的計(jì)算

fori=1:100route=randperm(CityNum);fval0(i)=CalDist(dislist,route);endt0=-(max(fval0)-min(fval0))/log(0.9);

例130城市TSP問(wèn)題（d*=423.741byDBFogel）

第96頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)的設(shè)計(jì)

（1）互換操作，隨機(jī)交換兩個(gè)城市的順序；（2）逆序操作，兩個(gè)隨機(jī)位置間的城市逆序；（3）插入操作，隨機(jī)選擇某點(diǎn)插入某隨機(jī)位置。例130城市TSP問(wèn)題（d*=423.741byDBFogel）

281593467283419567235981467283591467283591467283591467第97頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用參數(shù)設(shè)定

截止溫度tf=0.01;

退溫系數(shù)alpha=0.90;

內(nèi)循環(huán)次數(shù)L=200*CityNum;例130城市TSP問(wèn)題（d*=423.741byDBFogel）

第98頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用運(yùn)行過(guò)程

例130城市TSP問(wèn)題（d*=423.741byDBFogel）

第99頁(yè)，共114頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用運(yùn)行過(guò)程

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