晶體學(xué)基礎(chǔ)第二章第1頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第2頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電荷對(duì)稱:

一組帶電粒子極性互換,其相互作用不變（但在弱相互作用下這種對(duì)稱被部分破壞）.第3頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一C60第4頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一手性分子第5頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)稱在科學(xué)界開(kāi)始產(chǎn)生重要的影響始于19世紀(jì)。發(fā)展到近代，我們已經(jīng)知道這個(gè)觀念是晶體學(xué)、分子學(xué)、原子學(xué)、原子核物理學(xué)、化學(xué)、粒子物理學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)的中心觀念。

——楊振寧第6頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二章的主要內(nèi)容

對(duì)稱的概念晶體的宏觀對(duì)稱元素和對(duì)稱操作晶體宏觀對(duì)稱元素的組合晶體的32種點(diǎn)群及其符號(hào)晶體的分類與14種布拉菲點(diǎn)陣準(zhǔn)晶第7頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)稱（symmetry）：

物體（或圖形）中等同部分有規(guī)律的重復(fù)。2.1晶體的宏觀對(duì)稱元素與對(duì)稱操作一、對(duì)稱、對(duì)稱元素、對(duì)稱操作的概念第8頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)稱操作（symmetryoperation）

：

使物體（或圖形）中等同部分之間重合的動(dòng)作，即使各等同部分調(diào)換位置、整個(gè)物體恢復(fù)原狀的動(dòng)作。對(duì)稱元素（symmetryelement）：

進(jìn)行對(duì)稱操作所憑借的輔助幾何要素（點(diǎn)、線、面）。第9頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、物體宏觀對(duì)稱性的描述1.對(duì)稱元素與對(duì)稱操作對(duì)稱元素： 對(duì)稱中心、對(duì)稱面、對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)反演軸；對(duì)稱操作： 反演、反映、旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)反演；第10頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）對(duì)稱中心與反演操作對(duì)稱中心（centerofsymmetry,習(xí)慣符號(hào)C）：一假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱操作是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的反演（倒反，反伸）。國(guó)際符號(hào)：i，反演：

符號(hào)：I(x,y,z)(-x,-y,-z)第11頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）對(duì)稱面與反映操作對(duì)稱面（symmetryplane,符號(hào)P）：一假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱操作為對(duì)此平面的反映。對(duì)稱面將圖形平分成互為鏡像的兩個(gè)部分，反映使物與像重合而不是互換位置。國(guó)際符號(hào)：m反映：符號(hào)：M第12頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）對(duì)稱軸與旋轉(zhuǎn)操作對(duì)稱軸（symmetryaxis,習(xí)慣符號(hào)）：一假想的直線，相應(yīng)的對(duì)稱操作是以此直線為軸旋轉(zhuǎn)及其整數(shù)倍可使物體復(fù)原。又稱為旋轉(zhuǎn)軸。國(guó)際符號(hào)：n

基轉(zhuǎn)角a

：使整個(gè)物體復(fù)原需要的最小轉(zhuǎn)角

軸次n：旋轉(zhuǎn)一周物體復(fù)原的次數(shù)旋轉(zhuǎn)：符號(hào):第13頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一246

軸次的確定：取最高的軸次第14頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的平面圖解：第15頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一旋轉(zhuǎn)反演軸（rotoinversionaxis,習(xí)慣符號(hào)）：

又稱為倒轉(zhuǎn)軸、反軸、反演軸（inversionaxis）等，是一種復(fù)合的對(duì)稱元素。國(guó)際符號(hào)：輔助幾何要素有兩個(gè)：直線和此直線上的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)反演：

繞軸旋轉(zhuǎn)后再對(duì)軸上定點(diǎn)進(jìn)行反演的聯(lián)合操作以及該聯(lián)合操作的整數(shù)倍可使物體復(fù)原。符號(hào):（其中）（4）旋轉(zhuǎn)反演軸與旋轉(zhuǎn)反演操作第16頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第17頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第18頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)稱操作正交變換2.對(duì)稱操作的數(shù)學(xué)描述——正交矩陣對(duì)稱變換矩陣：對(duì)稱操作第19頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一——繞z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)角——反演第20頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.對(duì)稱性的數(shù)學(xué)描述研究物體對(duì)稱性的方法——

觀察物體的正交變換不變性

物體的對(duì)稱操作越多，其對(duì)稱性越高。一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作的集合滿足群的定義第21頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群的概念——群代表一組“元素”的集合，G{E,A,B,C,D……}，這些“元素”被賦予一定的“乘法法則（·）”，滿足下列性質(zhì)：(1)

閉合性：若A,BG，則A·B=CG(2)

存在單位元素E：使得所有元素滿足A·E=A(3)存在逆元素：對(duì)于任意元素A存在A-1

，AA-1=A-1A=E(4)

滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C第22頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.對(duì)稱性的數(shù)學(xué)描述研究物體對(duì)稱性的方法——

觀察物體的正交變換不變性

物體的對(duì)稱操作越多，其對(duì)稱性越高。一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作的集合滿足群的定義

運(yùn)算法則——

連續(xù)操作一個(gè)物體全部宏觀對(duì)稱操作的集合滿足群的定義

點(diǎn)群{宏觀對(duì)稱操作}

第23頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、晶體的宏觀對(duì)稱性1.晶體對(duì)稱性的來(lái)源與體現(xiàn)晶體內(nèi)部原子排布的周期性晶體的對(duì)稱性

晶體物理性質(zhì)的對(duì)稱性（各向同性和各向異性）晶體的對(duì)稱性： 宏觀對(duì)稱性：至少有一點(diǎn)不動(dòng)，沒(méi)有平移操作 微觀對(duì)稱性：晶格的對(duì)稱性，可以有平移操作第24頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.晶體對(duì)稱性的規(guī)律晶體的宏觀對(duì)稱性受晶體周期性的限制晶體對(duì)稱性定律（lawofcrystalsymmetry）：

在晶體中，只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對(duì)稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。第25頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一——

任何晶體的宏觀對(duì)稱性只能有以下十種對(duì)稱元素:第26頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.晶體的宏觀對(duì)稱具有的對(duì)稱元素與對(duì)稱操作一次對(duì)稱軸1的對(duì)稱操作除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反演軸都可以用其它簡(jiǎn)單的對(duì)稱

要素或它們的組合來(lái)代替，其間關(guān)系如下：

Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，

Li6=L3+P在寫(xiě)晶體的對(duì)稱要素時(shí)，保留Li4

和Li6，而其他旋轉(zhuǎn)反演

軸就用簡(jiǎn)單對(duì)稱要素代替。這是因?yàn)長(zhǎng)i4

不能被代替，Li6

在晶體對(duì)稱分類中有特殊意義。第27頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)稱元素國(guó)際符號(hào)對(duì)稱操作等同元素或組合成分對(duì)稱中心反演對(duì)稱面(鏡面)反映一重旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)二重旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)三重旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)四重旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)六重旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)四重反軸旋轉(zhuǎn)反演——

晶體的宏觀對(duì)稱性只有以下八個(gè)獨(dú)立的對(duì)稱元素:第28頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.晶體宏觀對(duì)稱性分析實(shí)例例1.

立方體的對(duì)稱性（面心立方、體心立方）第29頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期一zyx對(duì)稱中心i在正方體中心四個(gè)3：8個(gè)對(duì)稱操作三個(gè)4：9個(gè)對(duì)稱操作六個(gè)2：