理論力學(xué)教學(xué)材料虛位移原理第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一在靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點系的平衡問題的一個原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達蘭貝爾原理相結(jié)合，就可得到一個解答動力學(xué)問題的動力學(xué)普遍方程。動力學(xué)2第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

§10-1基本概念動力學(xué)

一、約束及約束方程約束：限制質(zhì)點或質(zhì)點系運動的條件。約束方程：表示約束的限制條件的數(shù)學(xué)方程。

平面單擺例如：曲柄連桿機構(gòu)3第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類1、幾何約束和運動約束限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構(gòu)例子中的限制條件都是幾何約束。不僅限制質(zhì)點（系）的位置而且限制其速度，這種約束條件稱為運動約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。4第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)幾何約束：運動約束：當(dāng)約束條件與時間有關(guān)，并隨時間變化時稱為非定常約束。約束條件不隨時間改變的約束為定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細繩系住。初始時擺長

l0,勻速v拉動繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時間

t5第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)如果在約束方程中含有坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)（例如運動約束）而且不能經(jīng)過積分運算消除，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。3、完整約束和非完整約束如果約束方程中不含有坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖含有坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，但可以經(jīng)過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。6第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一在兩個相對的方向上同時對質(zhì)點或質(zhì)點系進行運動限制的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點或質(zhì)點系單一方向運動的約束稱為單面約束。動力學(xué)例如：車輪沿直線軌道作純滾動，是微分方程，但經(jīng)過積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l27第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。我們只討論質(zhì)點或質(zhì)點系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點系的質(zhì)點個數(shù)）二、自由度和廣義坐標(biāo)1.自由度確定一個自由質(zhì)點在空間的位置需要三個獨立坐標(biāo)（x，y，z），確定n

個自由質(zhì)點在空間的位置需要3n個獨立坐標(biāo)；確定一個自由質(zhì)點在平面的位置需要兩個獨立坐標(biāo)（x，y）（約束方程z=0）。8第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

確定質(zhì)點系位置的獨立坐標(biāo)數(shù)約束方程

4zA=0，zB=0

3除前述外，還有：（xB-xA）2+（yB-yA）2=l2

1除前述外，還有：

xA2+yA2=a2

(xB–c)2+yB2=b29第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)定義：確定一個受完整約束的質(zhì)點系在空間的位置所需的獨立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該質(zhì)點系的自由度的數(shù)目，簡稱為自由度，用k表示，則：由此可知：質(zhì)點系受到約束，決定質(zhì)點系位置的獨立坐標(biāo)就減少，每增加一個約束，就增加一個約束方程，獨立坐標(biāo)就減少一個。一般地，由n個質(zhì)點組成的非自由質(zhì)點系，受s個完整約束，其獨立坐標(biāo)數(shù)為k=3n-s

。只要給定k個坐標(biāo)，質(zhì)點系的位置就可完全確定，其余s個坐標(biāo)由約束方程決定。因此：對空間：k=3n-sn——質(zhì)點數(shù)對平面：k=2n-ss——約束方程數(shù)10第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)2.廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。廣義坐標(biāo)可以取線位移（x,y,z,s

等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整約束情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目=自由度數(shù)目。通常，n與s很大而k很小。為了確定質(zhì)點系的位置，用適當(dāng)選擇的k個相互獨立的參數(shù)，要比用3n個直角坐標(biāo)和s個約束方程方便得多。①定義：確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。例如雙錘擺用兩個廣義坐標(biāo)、ψ表示。11第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)例如：曲柄連桿機構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，則：廣義坐標(biāo)選定后，質(zhì)點系中每一質(zhì)點的直角坐標(biāo)都可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。②廣義坐標(biāo)函數(shù)12第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動。兩個自由度取廣義坐標(biāo)，13第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

一般地，設(shè)有由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，具有k個自由度，取q1、q2、……、qk為其廣義坐標(biāo)，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的坐標(biāo)及矢徑可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。14第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

1.定義：質(zhì)點或質(zhì)點系為約束允許的任何的微小位移，稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號表示虛位移。三、虛位移一般地，若質(zhì)點可能有的運動軌跡是一曲線，則虛位移與軌跡相切。15第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

虛位移與真正運動時發(fā)生的實位移不同。①實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。質(zhì)點靜止時沒有實位移但有虛位移。②實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。③實位移是在一定的時間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關(guān)。

在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。16第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)質(zhì)點系中各質(zhì)點的虛位移之間存在著一定的關(guān)系,確定這些關(guān)系通常有兩種方法：①幾何法。本章研究的是定常約束，在定常約束下微小實位移實虛位移中的一個。由運動學(xué)知，質(zhì)點的位移與速度成正比，因此可以用運動學(xué)中分析速度的方法分析各點虛位移之間的關(guān)系。2.各點虛位移之間的關(guān)系17第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

②解析法。質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分，各質(zhì)點的虛位移在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為18第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)[例1]

分析圖示機構(gòu)在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。

(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標(biāo)。1、幾何法注意：幾何法要在圖上標(biāo)出各點虛位移！給OA桿一虛位移δ，則19第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)取為廣義坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)表示成的函數(shù)，得2、解析法(OC=BC=a，OA=l)對求變分，得各點虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：注意：解析法要用固定坐標(biāo)！20第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)如果約束反力在質(zhì)點系的任何虛位移中的所有的元功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。質(zhì)點系受有理想約束的條件：四、理想約束力在質(zhì)點發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛元功，記為δW

：21第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)理想約束的典型例子如下：2、光滑鉸鏈1、光滑支承面22第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)3、剛體在粗糙面上的純滾動4、無重剛桿5、不可伸長的柔索23第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)§10-2虛位移原理

一、虛位移原理具有定常理想約束的質(zhì)點系在給定位置靜止平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移上所作的元功之和等于零。即24第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)證明：(1)必要性：即質(zhì)點系處于平衡時，必有∵質(zhì)點系處于平衡∴任一質(zhì)點Mi也平衡。對質(zhì)點Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個質(zhì)點系：25第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

(2)充分性：即當(dāng)質(zhì)點系滿足，質(zhì)點系一定平衡。若，假設(shè)質(zhì)點系不平衡，則至少有一個質(zhì)點（設(shè)為第i個質(zhì)點）不平衡，則有在方向上產(chǎn)生實位移，取，則對質(zhì)點系：(理想約束下，)與前述條件矛盾故時質(zhì)點系必處于平衡。26第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

二、虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時，求主動力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。②解析式①虛位移原理還可寫成：∑Fiδricosαi=0ai——Fi與dri之間的夾角；

Xi、Yi、Zi及δxi、δyi、δzi——主動力Fi及δri在x、y、x軸上的投影。上三式均稱為靜力學(xué)普遍方程，實際應(yīng)用時,用①②兩式。27第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)例1

橢圓規(guī)機構(gòu)，連桿AB長l，桿重及各處摩擦不計，求在圖示位置平衡時，主動力P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個機構(gòu)。系統(tǒng)受理想完整定常約束。28第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)1、幾何法：使A發(fā)生虛位移，B的虛位移，則由虛位移原理，得：由的任意性，得29第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

2、解析法系統(tǒng)為單自由度，取為廣義坐標(biāo)。由于任意，故由虛位移原理：30第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)解：此系統(tǒng)具有兩個自由度，取角及為廣義坐標(biāo)。

例2

均質(zhì)桿OA及AB在A點鉸接，兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，B點作用有水平力F，求平衡時的角及。（教材例10-4）y31第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)應(yīng)用虛位移原理：代入(a)式，得：解法一：解析法32第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)由于是彼此獨立的，所以：由此解得：33第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)而代入上式，得解法二：幾何法先使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。34第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)再使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。而代入上式后，得：圖示中：35第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)例3

多跨靜定梁，求支座B處反力。解：將支座B除去，代入相應(yīng)的約束反力。由虛位移原理：36第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)注意：用虛位移原理求約束反力，每次只能解除一個約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。要求多個約束反力，依次一個一個解除約束。由（*）得：37第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)例4直桿AB通過滑套D帶動桿CD在鉛直滑道上滑動。已知=0o時，彈簧為原長，彈簧k=5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡時，加在AB桿上的力偶矩M=？解：本題是已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動力之間關(guān)系。一個自由度，以為廣義坐標(biāo)。38第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)以系統(tǒng)為研究對象：去掉彈簧代之以彈性力。由虛位移原理：方法一：幾何法給AB一虛位移dq，則：由點的復(fù)合運動：39第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)方法二：解析法由虛位移原理：注意：①Mdq的正負？②F’呢？40第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)例5

兩均質(zhì)桿A1B1與A2B2各長l1、l2，各重P1、P2，放在如圖位置，接觸處均光滑。求平衡時的1

、2關(guān)系。（教材習(xí)題10-7）解：系統(tǒng)為一自由度（1）解析法建立如圖坐標(biāo)，則41第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)由虛位移原理：代入（*）得：42第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)（2）幾何法給B點一虛位移δrB，各點虛位移如圖43第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)由虛位移原理：將代入δr1、δr2

（*）得......44第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)教材習(xí)題10-12（b），習(xí)題集17-845第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)教材習(xí)題10-13，習(xí)題集17-746第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)作業(yè)答案：P=25N47第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)至少有一個自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計入主動力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對象。若要求解約束反力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約束反力，并計入主動力。應(yīng)逐步解除約束，每一次研究對象只解除一個約束，將一個約束反力計入主動力，增加一個自由度。應(yīng)用虛位移原理求解質(zhì)點系平衡問題的步驟和要點：1、正確選取研究對象：48第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)

2、正確進行受力分析：畫出主動力的受力圖，包括計入主動力的彈簧力、摩擦力和待求的約束反力。

3、正確進行虛位移分析，確定虛位移之間的關(guān)系。

4、應(yīng)用虛位移原理建立方程。

5、解虛功方程求出未知數(shù)。49第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

動力學(xué)設(shè)質(zhì)點系受理想約束，任取一質(zhì)點：質(zhì)點根據(jù)達蘭貝爾原理，加上慣性力，則：§10-3動力學(xué)普遍方程對整個質(zhì)點系：給質(zhì)點系任一虛位移，應(yīng)用虛位移原理，有：對理想約束，有50第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

動力學(xué)①解析式：即：受理想約束的質(zhì)點系，在運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點系的主動力與慣性力在任意虛位移上所作的元功之和為零?！獎恿W(xué)普遍方程，又稱達蘭貝爾—拉格朗日方程。②不考慮內(nèi)力。③解題時，一般不必按上式建立方程，只需畫上主動力，再虛加慣性力及慣性力偶，然后同解靜力學(xué)問題一樣用虛位移原理求解。51第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動力學(xué)普遍方程適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。動力學(xué)普遍方程既適用于具有定常約束的系統(tǒng)，也適用于具有非定常約束的系統(tǒng)。動力學(xué)普遍方程既適用于具有完整約束的系統(tǒng)，也適用于具有非完整約束的系統(tǒng)。動力學(xué)普遍方程既適用于具有有勢力的系統(tǒng)，也適用于具有無勢力的系統(tǒng)。52第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

動力學(xué)普遍方程主要應(yīng)用于求解動力學(xué)第二類問題，即：已知主動力求系統(tǒng)的運動規(guī)律。

應(yīng)用動力學(xué)普遍方程求解系統(tǒng)運動規(guī)律時，重要的是正確分析運動，并在系統(tǒng)上施加慣性力。

由于動力學(xué)普遍方程中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開。

應(yīng)用動力學(xué)普遍方程，需要正確分析主動力和慣性力作用點的虛位移，并正確計算相應(yīng)的虛功。動力學(xué)普遍方程的應(yīng)用53第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

動力學(xué)

例6

三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別為M和m，斜面傾角為。試求三棱柱A的加速度。解：研究兩三棱柱組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩個自由度。給A向左的虛位移δrA，B相對A的虛位移δrBr54第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

動力學(xué)由動力學(xué)普遍方程：因為為互不相關(guān)的獨立虛位移，所以解得：55第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一例題7已知：

m

，R,f

，。求：圓盤純滾時質(zhì)心的加速度。CmgεaCFIR

MICx解：1、分析運動，施加慣性力

2、本系統(tǒng)有一個自由度，令其有一虛位移x。3、應(yīng)用動力學(xué)普遍方程其中：56第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一例題8離心調(diào)速器已知：m1－球A、B的質(zhì)量；m2－重錘C的質(zhì)量；l－桿件的長度；－O1y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度。求：－

的關(guān)系。BACllllO1x1y1解：

不考慮摩擦力，這一系統(tǒng)的約束為理想約束；系統(tǒng)具有一個自由度。取廣義坐標(biāo)q=1、分析運動、確定慣性力球A、B繞

y軸等速轉(zhuǎn)動；重錘靜止不動。球A、B的慣性力為FIBFIAm1gm2gm1g第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一BACllllO1x1y1FIBFIAm1gm2gm1grCrBrA2、令系統(tǒng)有一虛位移。A、B、C

三處的虛位移分