積分變換課件第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(一)付氏級(jí)數(shù)稱實(shí)系數(shù)R上的實(shí)值函數(shù)f（t）在閉區(qū)間[a,b]上滿足狄利克萊（DirichLet）條件，如果它滿足條件：⑴在[a,b]上或者連續(xù)，或者只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；⑵f（t）在[a,b]上只有有限個(gè)極值點(diǎn)?！?.1付氏積分第一章付里葉變換第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

從T為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在上滿足狄利克雷條件，那么在上fT(t)可以展成付氏級(jí)數(shù)，在fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的三角形成為

其中稱為頻率，頻率ω對(duì)應(yīng)的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱為基波頻率，nω稱為fT(t)的n次諧波頻率。第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(二)付氏級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式

在fT(t)的間斷點(diǎn)t0處，式(1.1.1)的左端代之為

即(三)付氏積分

任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T→+∞時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。

這個(gè)公式稱為函數(shù)f(t)的付里葉積分公式第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

付氏積分定理若f(t)在(-∞，+∞)上滿足下列條件：

2°則積發(fā)存在,并且在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處

1°在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件；而在f(t)的間斷點(diǎn)t0處，應(yīng)以代替該式左端的f(t)。

注非周期函數(shù)滿足付氏積分定理的條件1°，才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為付氏級(jí)數(shù)。滿足付氏積分定理的第2°條,才能保證存在。第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§1.2付氏變換(一)定義1.1.1設(shè)f(t)和F(ω)分別是定義在R上的實(shí)值和復(fù)值函數(shù)，稱它們是一組付里葉變換對(duì)，如果成立并稱F(ω)為f(t)的象函數(shù)或付里葉變換，記為F[f(t)]；稱f(t)為F(ω)的象原函數(shù)或付里葉逆變換，記為F-1[F(ω)]

第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達(dá)式。第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二tf(t)第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(二)積分變換的運(yùn)用

例求微分積分方程

第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

的解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).

根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記

F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).

在方程兩邊取傅氏變換,可得

第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.2單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換在物理和工程技術(shù)中,常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在原來(lái)電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)：可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(三)δ函數(shù)及其付氏變換

1.δ函數(shù)的定義

(1)(狄拉克)滿足一列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為δ函數(shù)。

(2)普通函數(shù)序列極限形式的定義其中

(3)廣義函數(shù)形式的定義

若f(t)為無(wú)窮次可做函數(shù)，則第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二d-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).證法1：第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3.δ函數(shù)在積分變換中的作用(1)有了δ函數(shù)，對(duì)于點(diǎn)源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來(lái)對(duì)待。(2)盡管δ函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個(gè)無(wú)窮次可做的函數(shù)的乘積在(-∞,+∞)上的積分都有確定的值。(3)δ函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對(duì)可積條件的(即不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以利用δ函數(shù)而得到。第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

這種頻譜圖稱為離散頻譜，也稱為線狀頻譜(四)付氏變換的物理意義——頻譜

1.非正弦的周期函數(shù)的頻譜第23頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4

求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。tpp-w0w0Ow|F(w)|第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(一)常用函數(shù)付里葉變換公式§1.3付氏變換的公式和性質(zhì)第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例5證明：證：第27頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(二)尤拉公式及尤拉公式推出的幾個(gè)公式第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(三)付氏變換的性質(zhì)1．線性性質(zhì)。

設(shè)F=，F(xiàn)=，和為常數(shù)，則b2．位移性質(zhì)該性質(zhì)在無(wú)線電技術(shù)中也稱為時(shí)移性質(zhì)。第30頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3．對(duì)稱性質(zhì)

若，則

4．相似性質(zhì)若，則第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二5．象函數(shù)的位移性質(zhì)若，則

象函數(shù)的位移性質(zhì)在無(wú)線電技術(shù)中也稱為頻移性質(zhì)。

6.翻轉(zhuǎn)性質(zhì)若，則

第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

7.微分性質(zhì)

若f在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)時(shí)，，則推論若（k=1,2,…,n）在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且=0，k=0,1,2,…(n-1),則有第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二8.象函數(shù)的微分性質(zhì)若，則一般地，有若當(dāng)時(shí)，=,則如果，則9.積分性質(zhì)其中第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二10.象函數(shù)的積分性質(zhì)若，則11.乘積定理

若，，則

其中，均為t的實(shí)函數(shù)，、分別為、的共軛函數(shù)。

第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二12.能量積分

若，則

該等式又稱為巴塞瓦等式。

13.卷積定理

設(shè)，滿足付氏積分定理中的條件，且，，則

第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)一、卷積的意義

若已知函數(shù)f1(t)，f2(t)，則積分稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積，記為f1(t)*f2(t)，即二、卷積的性質(zhì)第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第二章拉普拉斯變換§2.1拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)ｔ0時(shí)有定義，而且積分

（s是一個(gè)復(fù)參量），在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分決定的函數(shù)可寫為

稱為的拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）或象函數(shù)，記為，即又稱為的拉普拉斯逆變換（簡(jiǎn)稱為拉氏逆變換）或象原函數(shù)，記

即第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、拉氏變換的存在定理

拉氏變換存在定理設(shè)函數(shù)f(t)滿足下列條件：

1°當(dāng)t＜0時(shí)，f(t)=0；

2°f(t)在t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，且都是第一類間斷點(diǎn)；

3°f(t)是指數(shù)級(jí)函數(shù)。

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此時(shí)上式右端的積分絕對(duì)收斂而且一致收斂，同時(shí)在此半平面內(nèi)，F(xiàn)(s)是解析函數(shù)。第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二關(guān)于拉氏變換存在定理，做如下的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)從物理應(yīng)用觀點(diǎn)來(lái)看，條件2°、3°都是容易滿足的。實(shí)用上所考察的物理過程，往往是用時(shí)間函數(shù)來(lái)描述的，并且是從某一時(shí)刻開始，因此可以選這時(shí)刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如sint，若要對(duì)它進(jìn)行拉氏變換則應(yīng)把它理解為sintu(t)。(2)工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在拉氏變換的。(3)如果f(t)為指數(shù)級(jí)函數(shù)，則其增長(zhǎng)指數(shù)不唯一。第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、關(guān)于拉氏變換的積分下限問題

f(t)在t=0包含了脈沖函數(shù)，我們就必須區(qū)分這個(gè)積分區(qū)間包括t=0這一點(diǎn)，還是不包括t=0這一點(diǎn)。假如包括，我們把積分下限記為0-；假如不包括，我們把積分下限記為0+，于是得出了不同的拉氏變換。記第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§2.2拉氏變換的基本公式和性質(zhì)一、常用函數(shù)的拉氏變換公式當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，有

[注]①Γ函數(shù)具有如下的遞推公式

第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)，②(9)設(shè)是[0，+∞)上的周期為T的函數(shù)，即則的拉氏變換為第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、拉氏變換的性質(zhì)設(shè)

則有

(1)線性性質(zhì)（設(shè)α、β為常數(shù)）（2）位移性質(zhì)（設(shè)a為常數(shù)）

（3）延遲性質(zhì)

若t<0時(shí)，則對(duì)任一非負(fù)實(shí)數(shù)有

亦可寫為

第44頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二[注]中的意味著（當(dāng)時(shí)）

只有此式成立時(shí)才能使用延遲性質(zhì)，這一點(diǎn)容易被忽略，因而造成錯(cuò)誤，為了避免出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。故將延遲性質(zhì)寫為(2.2.16)式的形式。

(4)微分性質(zhì)

推論

=

特別地，當(dāng)初值時(shí)，有

第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(5)積分性質(zhì)

推論

(6)象函數(shù)微分性質(zhì)

一般地，有

(7)象函數(shù)積分性質(zhì)

若積分收斂，則

一般地，有

第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期二[注]由象函數(shù)的積分性質(zhì)得即

利用此式，可計(jì)算右端的廣義積分。這是拉氏變換的應(yīng)用之一。

在上式中令s=0，如果收斂，存在，則有

(8)卷