第七章數(shù)學(xué)中的公理化方法第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三§1公理化方法概述數(shù)學(xué)公理化方法，是數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物．它在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中曾起過巨大的作用，而且對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著極其深刻的影響．即使在數(shù)學(xué)教學(xué)中，公理化方法也是一個十分重要的方法．第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三一、公理化方法的含義公理化方法是從盡可能少的基本概念和基本公理出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理，使一門數(shù)學(xué)建成為演繹系統(tǒng)的一種方法．在理論形式上，這些基本概念和基本公理，是邏輯推理的前提，是數(shù)學(xué)需要作為自己出發(fā)點少數(shù)思想上的規(guī)定．第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三由公理化方法把一個數(shù)學(xué)分支建成為演繹體系，關(guān)鍵是引進基本概念，設(shè)置基本公理．基本概念是一些不需定義的或隱約地受到公理制約的原始概念，它們必須是真正基本的，無法用更原始、更簡單的概念去定義的概念，必須是對數(shù)學(xué)實體的高度純化的抽象?；竟硎菬o條件的、相互制約的規(guī)定，是作為對各個基本概念的相互關(guān)系和基本性質(zhì)的闡述和規(guī)定，是一些不證自明的命題。基本公理不是可以隨意選定的，一個良好的公理系統(tǒng)，所設(shè)置的公理應(yīng)當(dāng)滿足下列三項基本要求：第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三1．相容性公理的相容性也稱無矛盾性或和諧性，是指同一公理系統(tǒng)中的公理，不能自相矛盾；由這些公理推出的一切結(jié)果，也不能有絲毫矛盾。即不允許既能證明某定理成立，又能證明它的反面也成立的情況存在。第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三2．獨立性公理的獨立性，是指一個公理系統(tǒng)中的所有公理，不能互相推出。這就是要求該系統(tǒng)中公理的數(shù)目減少到最低限度，不允許公理集合中出現(xiàn)多余的公理，這也是對數(shù)學(xué)的“簡單美”的一種追求。第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三3．完備性公理的完備性，是要求對一個公理系統(tǒng)中所有基本概念的性質(zhì)，都作出明確的規(guī)定，使得這個系統(tǒng)中的全部命題都能毫無例外地在本系統(tǒng)中被證明，而在推理證明過程中，無需再用到直覺，因此，必要的公理不能省略。否則，將有某些真實命題得不到理論的證明或在證明過程中理由不充分。第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三上述三項基本要求中，最主要的是相容性。

因為一個公理系統(tǒng)如果違反了相容性的要求，那么以這個系統(tǒng)中的公理作為邏輯推理的大前提，所推出的結(jié)果必然矛盾百出，造成邏輯上的混亂，因而這樣的公理系統(tǒng)難以幫助人們認(rèn)識現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是毫無實際價值的。獨立性和完備性是第二位的要求，對于一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓硐到y(tǒng)，這兩個要求也應(yīng)得到滿足，但是許多比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)分支，要它的公理系統(tǒng)都能滿足上述三項基本要求，則往往比較困難。公理化方法的意義和作用，與其自身的不斷發(fā)展密切相關(guān)。第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三二、公理化方法的產(chǎn)生和發(fā)展綜觀公理化方法發(fā)展的歷史，大致可以分為三個階段：第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三1．產(chǎn)生階段——由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世。公元前三世紀(jì)，希臘哲學(xué)家亞里士多德在其邏輯著作《工具論》一書中，總結(jié)了古代積累起來的邏輯知識，以數(shù)學(xué)及其他演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推出其他的三段論。因此，亞里士多德是歷史上第一個正式給出公理系統(tǒng)的作者。第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖等學(xué)派工作的基礎(chǔ)上，運用亞里士多德提供的邏輯方法，寫出了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》。這是古代數(shù)學(xué)公理化方法的一個光輝成就?！稁缀卧尽返膯柺溃瑯?biāo)志著公理化方法的誕生，《幾何原本》的貢獻倒不在于發(fā)現(xiàn)了幾條新定理，而主要在于它把原先零亂的、互不相關(guān)的幾何知識，按公理系統(tǒng)的方式進行妥切安排，使得反映幾何事實的公理和定理都能與論證聯(lián)系起來，組成一個有條不紊的有機整體。第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三2．完整階段——由羅巴切夫斯基的非歐幾何到希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》的問世。歐幾里得幾何公理系統(tǒng)的意義十分巨大，影響極為深遠(yuǎn)，但它是不完善的，特別是第五公設(shè)問題，當(dāng)時大多數(shù)人認(rèn)為它很像一條定理，企圖用《幾何原本》中其余的公設(shè)和公理加以證明，但在證明中所用的論據(jù)，要么是不知不覺地利用一直觀明顯性，要么是利用了一個與第五公設(shè)等價的命題。因此，所有這些證明實質(zhì)是無效的。第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三直到19世紀(jì)，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基吸取了前人兩千多年來在證明第五公設(shè)中的失敗教訓(xùn)，認(rèn)識到第五公設(shè)與其他幾何公理是互相獨立的，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何外，還可以有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在。于是他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，引進了一個與第五公設(shè)相反的公理：“過平面上一已知直線外的一點至少可引兩條直線與該已知直線平行”，由此構(gòu)成了一個新的幾何系統(tǒng)與歐氏幾何系統(tǒng)相并列。第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三非歐幾何的創(chuàng)立，大大提高了公理化方法的信譽，接著便有許多數(shù)學(xué)家致力于公理化方法的研究。如德國數(shù)學(xué)家康托爾與戴德金不約而同地擬成了連續(xù)性公理、德國數(shù)學(xué)家巴許擬成了順序公理。在這個基礎(chǔ)上，希爾伯特于1899年發(fā)表了《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書，改造了歐氏幾何系統(tǒng)，完善了幾何學(xué)的公理化方法。第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三3．形式化階段——集合悖論出現(xiàn)后，希爾伯特在其形式化研究方法，特別是元數(shù)學(xué)（證明論）中，將公理化方法推向的一個新階段。在歐氏《幾何原本》的公理系統(tǒng)中，概念直接反映著數(shù)學(xué)實體的性質(zhì)，而且那些概念、定義、公理的表述以及定理的論證往往受到直覺觀的束縛。因而，歐氏公理系統(tǒng)的公理化可稱為“實體公理化”。第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三然而在希氏《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，

不僅在公理的表述或定理的論證上已擺脫了空間觀念的直覺成分，而且還為幾何對象及其關(guān)系進行更高一級的抽象提供了基礎(chǔ)。第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三于是，

只要滿足公理系統(tǒng)中各個公理的要求，那么所涉及的對象就可以是任何事物，并且在公理中表述事物或?qū)ο箝g的關(guān)系時，其具體意義也可以是任意的。所以，在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》問世以后，公理化方法不僅進入了數(shù)學(xué)的其他各個分支，而且它本身也被推向了形式化的階段。第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三后來希爾伯特將將某種數(shù)學(xué)理論（如自然數(shù)理論、幾何理論等）作為一個整體加以研究，提出了希爾伯特規(guī)則，即：證明古典數(shù)學(xué)的每個分支都可以公理化；證明每個這樣的系統(tǒng)都是完備的；證明每個這樣的系統(tǒng)都是相容的；證明每個這樣的系統(tǒng)所相應(yīng)的模型都是同構(gòu)的；尋找一種可以在有限步驟內(nèi)判定任一命題的可證明性的方法。希爾伯特為具體實施這個規(guī)劃而創(chuàng)立了證明論即元數(shù)學(xué)理論。

第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三希爾伯特對元數(shù)學(xué)的研究，使公理化方法進一步精確化：

把數(shù)學(xué)理論中的定理及數(shù)學(xué)中使用的邏輯規(guī)則排成演繹的體系，并使用數(shù)學(xué)符號和邏輯符號把數(shù)學(xué)命題變成公式，這樣，全部數(shù)學(xué)命題便變成了公式的集合，公理化的數(shù)學(xué)理論便變成了演繹的形式系統(tǒng)。元數(shù)學(xué)思想的提出，標(biāo)志著數(shù)學(xué)的研究達到了新的、更高的水平，數(shù)學(xué)的研究對象已不是具體的、特殊的對象，而是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從而，公理化被推向一個新階段即純形式化階段。第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三三、公理化方法的作用數(shù)學(xué)公理化方法在整理數(shù)學(xué)知識，促使新理論的創(chuàng)立，以及對整個科學(xué)理論的表述都有著重要的作用。第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三1．公理化方法是整理分析、加工總結(jié)數(shù)學(xué)經(jīng)驗資料，建立科學(xué)理論體系的基本工具。利用公理化方法，可以把零散的數(shù)學(xué)知識，用邏輯的鏈條串連起來，使之形成完整的有機整體。這樣，不但能使人們?nèi)菀渍莆?，而且也便于?yīng)用。第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三2．公理化方法有利于比較數(shù)學(xué)各個分支的實質(zhì)性異同，促進數(shù)學(xué)探索與基礎(chǔ)研究，推動數(shù)學(xué)新理論的產(chǎn)生。從前面所述，可以看出，非歐幾何就是在研究和使用公理化方法的過程中產(chǎn)生的。第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三3．?dāng)?shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方法論上，對各門自然科學(xué)起著示范作用。由于數(shù)學(xué)公理化方法表述數(shù)學(xué)理論的簡潔性、條理性和結(jié)構(gòu)的和諧性，為其他科學(xué)理論的表述起到了示范作用。于是其他科學(xué)紛紛效仿數(shù)學(xué)公理化的模式，出現(xiàn)了各種理論的公理化系統(tǒng)，如理論力學(xué)公理化、相對論公理化及倫理學(xué)公理化等等。第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三誠然，公理化方法具有重大作用，但也不能將它絕對化，必須辯證地看到它的不足之處。

公理化方法如果不與實驗方法相結(jié)合，則可能陷入錯誤；如果不與認(rèn)識論的科學(xué)方法相結(jié)合，則也不會更好地發(fā)現(xiàn)問題；公理系統(tǒng)的相容性、獨立性和完備性的要求，不僅在理論上難以全部滿足，而且對于一些新興的數(shù)學(xué)分支或與生產(chǎn)實際關(guān)系密切的科學(xué)的發(fā)展，反而是一種障礙。而且，用公理化方法建立起來的理論體系，最終還需受實踐的檢驗，以判定其真?zhèn)巍?/p>

第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三§2歐幾里得幾何公理系統(tǒng)簡介歐幾里得的《幾何原本》是公理化方法的雛形。它的主要內(nèi)容包括以下幾個方面。第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三一、23條定義（1）點是沒有部分的。（2）線是有長度而沒有寬度的。（3）線的界是點。（4）直線是這樣的線，它對于它的任何點來說，都是同樣的放置著的。（5）面是只有長度和寬度的。第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三（6）面的界是線。（7）平面是這樣的面，它對于它的任何直線來說，都是同樣的放置著的。接著15條是關(guān)于角、平角、直角和垂線、鈍角、銳角；圓、圓周和中心、直徑、半圓、直線形、三角形、四邊形、多邊形、等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、正方形、菱形、梯形的定義。（23）平行線是在同一平面上而且向兩側(cè)延長總不相交的直線。第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三二、5條公設(shè)（1）從一點到另一點必可引直線。（2）任一直線均可無限地延長。（3）以任一點為中心，均可以任意長的半徑畫圓周。（4）所有的直角都是相等的。（5）若兩直線與第三條直線相交，其一側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于兩直角時，則把這兩條直線向該側(cè)充分地延長后一定相交。第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三三、9條公理（1）各與同一個第三個量相等的量必相等。（2）相等的量加上相等的量仍為相等的量。（3）相等的量減去相等的量仍為相等的量。（4）不等的量加上相等的量獲不相等的量。（5）相等的量的兩倍仍為相等的量。（6）相等的量的一半仍為相等的量。（7）能互相重合的是一定是相等的量。（8）整體大于部分。（9）過任意兩點只能引一條直線。第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三四、467條定理歐幾里得從上述公設(shè)和定理出發(fā)，運用演繹方法，將當(dāng)時所知的幾何知識全部推導(dǎo)出來，共有467條幾何命題。第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三但是，歐幾里得幾何公理系統(tǒng)是不夠完善的，比如：（1）有些定義是不自足的。在給某些概念下定義時，使用