〔第一(dìyī)課時〕

第一頁，共20頁。1[教學(xué)(jiāoxué)目標(biāo)]：1、掌握等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)定義和通項公式;2、提高學(xué)生的歸納、猜測能力;3、聯(lián)系生活中的數(shù)學(xué)。第二頁，共20頁。2[教學(xué)重點(zhòngdiǎn)與難點]：難點對等差數(shù)列特點的理解、把握(bǎwò)和應(yīng)用重點掌握對數(shù)列概念的理解、數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用第三頁，共20頁。3一、由具體(jùtǐ)例子歸納等差數(shù)列的定義看下面的數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10……；①3，0，－3，－6，……；②下面是全國統(tǒng)一鞋號中成年女鞋的各種〔表示鞋長、單位是cm〕21，21，22，22，23，23，24，24，25;③一張?zhí)葑英艔母叩降兔考壍膶挾纫来螢椤矄挝籧m〕40，50，60，70，80，90，100；④⑵每級之間的高度(gāodù)相差分別為40，40，40，40，40，40.⑤從第2項起，每一項與前一項差都等于(děngyú)1這就是說，這些數(shù)列具有這樣的共同特點：從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一常數(shù)。從第2項起，每一項與前一項差都等于－3從第2項起，每一項與前一項差都等于10從第2項起，每一項與前一項差都等于0問：這5個數(shù)列有什么共同特點？從第2項起，每一項與前一項差都等于2121212121第四頁，共20頁。4數(shù)學(xué)(shùxué)語言：an－an－1=d〔d是常數(shù)，n≥2，n∈N*〕定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做(jiàozuò)等差數(shù)列,通常用A·P表示。這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用字母d表示。第五頁，共20頁。5二、由定義歸納(guīnà)通項公式

a2－a1=d，a3－a2=d，a4

—a3=d，......那么(nàme)a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n－1)dan－1－an－2=d,an－an－1=d.這〔n－1〕個式子(shìzi)迭加an－a1=(n－1)d當(dāng)n=1時，上式兩邊均等于a1，即等式也成立的。這說明當(dāng)n∈N*時上式都成立，因而它就是等差數(shù)列{an}的通項公式。第六頁，共20頁。6三、穩(wěn)固(wěngù)通項公式an=a1+(n－1)d(n∈N*)第七頁，共20頁。7〔一〕求通項an

假設(shè)一個(yīɡè)等差數(shù)列的首項a1和公差d，即可求出an例如：①a1=1,d=2,那么

an=1+(n－1)·2=2n－1②等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)8，5，2，…求an及a20解：∵a1=8,d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11練習(xí)(liànxí)：等差數(shù)列3，7，11，…那么an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n－1)d(n∈N*)4n-11539第八頁，共20頁。8(二)求首項(shǒuxiànɡ)a1例如(lìrú)：a20=－49,d=－3那么，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8練習(xí)(liànxí)：a4=15d=3那么a1=_________6an=a1+(n－1)d(n∈N*)第九頁，共20頁。9(三)求項數(shù)n

例如(lìrú)：①等差數(shù)列8，5，2…問－49是第幾項?解：a1=8,d=－3那么(nàme)an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得n=20.∴是第20項.an=a1+(n－1)d(n∈N*)第十頁，共20頁。10

②問－400是不是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)－5，－9，－13,…

的項？如果是，是第幾項？

解：a1=－5,d=－4an=－5+(n－1)·(－4),那么(nàme)由題意知，此題是要答復(fù)是否(shìfǒu)存在正整數(shù)n，使得－401=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是這個數(shù)列的項an=a1+(n－1)d(n∈N*)解之得n=4399第十一頁，共20頁。11解2：這些(zhèxiē)三位數(shù)為100，101，102，…，999可組成首

項a1=100，公差d=1，末項為an=999的等差數(shù)列。

由an=a1+(n－1)·1得999=100+〔n－1〕·1

∴n=999－100+1=900

練習(xí)：10100是不是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.20在正整數(shù)集合中，有多少個三位數(shù)？30在三位正整數(shù)集合中有多少個是7的倍數(shù)？

an=a1+(n－1)d(n∈N*)解3：這些數(shù)組成首項a1=105,公差d=7的等差數(shù)列。

∴an=105+(n－1)·7又an≤999

即105+(n－1)·7≤999解得n≤128

∵n∈N*∴n最大為128，故共有128個。

75解1:∵a1=2,a2=9,a3=16,∴d=7,an

=2+(n-1)=100∴n=15.是第15項.第十二頁，共20頁。12

(四)求公差(gōngchā)d

例如(lìrú)一張?zhí)葑幼罡咭患墝?3cm，最低一級寬110cm,中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列。求公差d及中間各級的寬度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下(zìshànɡérxià)各級寬度所成的等差數(shù)列。由題意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7從而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…?？偨Y(jié)：在an=a1+(n－1)dn∈N*中，有an,a1,n,d四個量,其中任意3個量即可求出第四個量。那么如果一個等差數(shù)列的任意兩項，能否求出an呢？an=a1+(n－1)d(n∈N*)第十三頁，共20頁。13〔五〕小綜合(zōnghé)

在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)｛an｝中a5=10,a12=31,求a1、d及an

an=－2+(n－1)·3=3n－5知識(zhīshi)延伸：由定義，可知：a6=a5+da7=a6+d=a5+2d=a5+(7－5)da8=a7+d=a5+3d=a5+(8－5)d…a12=a5+(12－5)d猜測：任意兩項an和am之間的關(guān)系：an=am+(n－m)d證明：∵am=a1+(m－1)d∴an=a1+(m－1)d+(n－m)d=a1+(n－1)d∴此題也可以這樣處理：由a12=a5+(12－5)d得31=10+7dd=3又a5=a1+4d∴a1=－2解：由an=a1+(n－1)d得a5=a1+4d=10a1=－2a12=a1+11d=31d=3第十四頁，共20頁。14練習(xí)：等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)｛an｝中,a3=9,且a9=3,那么a12=__________

課后思考：能否對上面的結(jié)論進(jìn)行推廣：假設(shè)(jiǎshè)ap=q且aq=p(p≠q)那么ap+q=0?0第十五頁，共20頁。15四、能力培養(yǎng)(péiyǎng)：兩個等差數(shù)列5，8，11，…，和3，7，11，…都有100項，求：這兩個數(shù)列相同項的個數(shù)解法一：兩個等差數(shù)列｛an｝:5，8，11，…公差(gōngchā)為3｛bn｝:3，7，11，…公差(gōngchā)為4通項公式分別是an=5+(n－1)·3=3n+2bn=3+(n－1)·4=4n－1假設(shè)(jiǎshè)｛an｝的第n項與｛bn｝的第k項相同，即an=bk那么3n+2=4k－1n=k－1∵n∈N*∴k必是3的倍數(shù)k=3,6,9,12,…，組成新的等差數(shù)列｛cn｝而相應(yīng)的n=3,7,11,15,…，組成新的等差數(shù)列｛dn｝即a3=b3,a7=b6,a11=b9,a15=b12，…又因為這兩個數(shù)列最多只有100項，所以cn=3+(n－1)·3≤100n≤100/3=33n≤25dn=3+(n－1)·4≤100n≤101/4=25

又n∈N*∴這兩個數(shù)列共有25項相同。314141第十六頁，共20頁。16解法二：兩個等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)｛an｝：5，8，11，…和｛bn｝：3,7,11,…那么通項公式分別是an=5+(n－1)·3bn=3+(n－1)·4觀察(guānchá)：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，…因此，這兩個數(shù)列相同項組成(zǔchénɡ)一個首項c1=11,公差

d=12的等差數(shù)列｛cn｝又a100=5+(100－1)·3=302b100=3+(100－1)·4=399因為，相同的項不大于a100和b100中的較小者，所以，cn=11+(n－1)·12≤302得n≤25又n∈N*

故這兩個數(shù)列中相同的項共有25個。41第十七頁