.MechannincsofmaterialsStrengthofmaterialsIntroduction材料力學是固體力學的一個基礎分支，是工科重要的技術基礎課，只有學好材料力學才能學好與本專業(yè)有關的后續(xù)課程（例如：機械零件材料力學與工程的關系：材料力學廣泛應用于各個工程領域中，如眾所周知的飛機、飛船、火箭、火車、汽車、輪船、水輪機、氣輪機、壓縮機、挖掘機、拖拉機、車床、铇機、銑機、磨床、桿塔、井架、鍋爐、貯罐、房屋、橋梁、水閘、船閘等數(shù)以萬計的機器和設備、結(jié)構(gòu)物和建筑物，在工程設計中都必須用到材料力學的基本知識。對于某些工程如化學工程，由于客觀條件的苛刻，如：高溫、高壓、低溫、低壓、因此對于各類高等工業(yè)大學的學生和實際工程中的工程師們都必須具備扎實的材料力學知識。§1.1材料力學的任務§1.2變形固體的基本假設§1.3外力及其分類§1.4內(nèi)力、截面法和應力的概念§1.5變形與應變§1.6桿件變形的基本形式/.§1.1材料力學的任務材料力學主要研究固體材料的宏觀力學性能，構(gòu)件的應力、變形狀態(tài)和破壞準則，以解決桿件或類似桿件的物件的強度、剛度和穩(wěn)定性等問題，為工程設計選用材料和構(gòu)件尺寸提供依據(jù)。材料的力學性能：如材料的比例極限、屈服極限、強度極限、延伸率、斷面收縮率、彈性模量、橫向變形因數(shù)、硬度、沖擊韌性、疲勞極限等各種設計指標。它們都需要用實驗測定。構(gòu)件的承載能力：強度、剛度、穩(wěn)定性。構(gòu)件：機械或設備，建筑物或結(jié)構(gòu)物的每一組成部分。強度：構(gòu)件抵抗破壞（斷裂或塑性變形）的能力。所有的機械或結(jié)構(gòu)物在運行或使用中，其構(gòu)件都將受到一定的力作用，通常稱為構(gòu)件承受一定的載荷，但是對于構(gòu)件所承受的載荷都有一定的限制，不允許過大，如果過大，構(gòu)件就會發(fā)生斷裂或產(chǎn)生塑性變形而使構(gòu)件不能正常工作，稱為失效或破壞，嚴重者將發(fā)生工程事故。如飛機墜毀、輪船沉沒、鍋爐爆炸、曲軸斷裂、橋梁折斷、房屋坍塌、水閘被沖垮，輕者毀壞機械設備、停工停產(chǎn)、重者造成工程事故，人身傷亡，甚至帶來嚴重災難。工程中的事故屢見不鮮，有些觸目驚心，慘不忍睹……因此必須研究受載構(gòu)件抵抗破壞的能力——強度，進行強度計算，以保證構(gòu)件有足夠的強度。剛度——構(gòu)件抵抗變形的能力。當構(gòu)件受載時，其形狀和尺寸都要發(fā)生變化，稱為變形。工程中要求構(gòu)件的變形不允許過大，如果過大構(gòu)件就不能正常工作。如機床的齒/.輪軸，變形過大就會造成齒輪嚙合不良，軸與軸承產(chǎn)生不均勻磨損，降低加工精度，產(chǎn)生噪音；再如吊車大梁變形過大，會使跑車出現(xiàn)爬坡，引起振動；鐵路橋梁變形過大，會引起火車脫軌，翻車……因此必須研究構(gòu)件抵抗變形的能力——剛度，進行剛度計算，以保證構(gòu)件有足夠的剛度。穩(wěn)定性——構(gòu)件保持原來平衡形態(tài)的能力。如細長的活塞桿或者連桿，當諸如此類的細長桿子受壓時，工程中要求它們始終保持直線的平衡形態(tài)?？墒侨羰芰^大，壓力達到某一數(shù)值時，壓桿將由直線平衡形態(tài)變成曲線平衡形態(tài)，這種現(xiàn)象稱之為壓桿的失穩(wěn)。又如受均勻外壓力的薄壁圓筒，當外壓力達到某一數(shù)值時，它由原來的圓筒形的平衡變成橢圓形的平衡，此為薄圓筒的失穩(wěn)。失穩(wěn)往往是突然發(fā)生而造成嚴重的工程事故，如19世紀末，瑞士的孟希太因大橋，20世紀初加拿大的魁北克大橋都由于橋架受壓弦桿失穩(wěn)而突然使大橋坍塌?！虼吮仨氀芯繕?gòu)件保持原來形態(tài)能力——穩(wěn)定性，進行穩(wěn)定性計算，以保持構(gòu)件有足夠的穩(wěn)定性?！?.2變形固體的基本假設剛體——假定受力時不發(fā)生變形的物體。適用于理論力學研究物體的外部效應——平衡和運動。變形固體——在外力作用下發(fā)生變形的物體。變形固體的實際組成及其性質(zhì)是很復雜的，為了分析和簡化計算將其抽象為理想模型，作如下基本假設：1)/.（某些力學量可作為點的坐標的函數(shù)）2)均勻性假設：認為固體內(nèi)到處有相同的力學性能。3)各向同性材料：如鋼、銅、玻璃等?！?.3外力及其分類載荷——作用于構(gòu)件上的主動力體積力——連續(xù)分布在物體內(nèi)各點的力面積力——作用于物體表面上的力面分布力——連續(xù)分布于物體表面某一面積上的力線分布力——沿著物體某一軸線上分布的力集中力——若作用面積遠小于物體整體尺寸或線性分布長度遠小于軸線長度靜載荷——若載荷從零開始緩慢增加到某值后保持不變或變化很小動載荷——隨時間而變化的載荷沖擊載荷——由于物體運動狀態(tài)瞬時發(fā)生突然變化而引起的載荷交變載荷——隨時間而發(fā)生周期性變化的載荷§1.4內(nèi)力、截面法和應力的概念1.內(nèi)力（附加內(nèi)力）物體因受外力而變形，其內(nèi)部各部分之間相對位置將發(fā)生改變而引起的相互作用就是內(nèi)力。當物體不受外力作用時，內(nèi)部各質(zhì)點之間存在著相互作用力，此為/.內(nèi)力。但材料力學中所指的內(nèi)力是與外力和變形有關的內(nèi)力。即隨著外力的作用而產(chǎn)生，隨著外力的增加而增大，當達到一定數(shù)值時會引起構(gòu)件破壞的內(nèi)力，此力稱為附加內(nèi)力。為簡便起見，今后統(tǒng)稱為內(nèi)力。2.截面法為進行強度、剛度計算必須由已知的外力確定未知的內(nèi)力，而內(nèi)力為作用力和反作用力，對整體而言不出現(xiàn)，為此必須采用截面法，將內(nèi)力暴露。截面法三步驟：（1）切：欲求某一截面上的內(nèi)力，即用一假想平面將物體分為兩部分（2）代：兩部分之間的相互作用用力代替（3）平：建立其中任一部分的平衡條件，求未知內(nèi)力注：內(nèi)力為連續(xù)分布力，用平衡方程，求其分布內(nèi)力的合力上述步驟可以敘述為：一截為二，去一留一，平衡求力圖11例1.試求圖示懸臂梁mm截面上的內(nèi)力解：截面法（1）切（2）代（3）平平衡條件：求得：(剪力、彎矩)FFMFas3.應力因內(nèi)力為分布力系，為研究內(nèi)力在截面上的分布規(guī)律，引入內(nèi)力集/.度的概念——上的平均集度，稱為平均應力ppmA——C點的內(nèi)力集度，稱為C點處總應力，p為矢量。應1N/m2Pa6力單位：§1.5變形與應變變形——物體受力后形狀和尺寸的改變1.線應變（簡稱應變）假設：固體受到約束無剛體位移，只有變形位移，若有剛體位移，應從總位移中扣除。——m每單位長度線段的平均伸長或縮短稱為平均線應變。——M點沿x方向的線應變。2.切應變（角應變）原來相互正交的棱邊的直角夾角的改變量稱為切應變（角應變）——為點在平面內(nèi)的切應變或角應變?！?.6桿件變形的基本形式基本變形1.軸向拉伸或壓縮2.剪切/.3.扭轉(zhuǎn)4.彎曲組合變形：當桿件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形時稱為組合變形?！?.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例§2.2軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應力§2.3直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力§2.4材料拉伸時的力學性能§2.5材料壓縮時的力學性能§2.7失效、安全因數(shù)和強度計算§2.8軸向拉伸或壓縮時的變形§2.9軸向拉伸或壓縮的應變能§2.10拉伸、壓縮超靜定問題§2.11溫度應力和裝配應力§2.12應力集中的概念§2.13剪切和擠壓的實用計算§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例1．實例（1）液壓傳動中的活塞桿（2）內(nèi)燃機的連桿（3）汽缸的聯(lián)接螺栓/.（4）起吊重物用的鋼索（5）千斤頂?shù)穆輻U（6）桁架的桿件2．概念及簡圖）壓縮。1．內(nèi)力FFNNFFx0FFx/.3-3050x0FFxFXFXFXdAAA注：正應力符號規(guī)定與軸力相同,拉為正壓為負。實驗證實：作用于彈性體某一局部區(qū)域上的外力系，作用區(qū)域附近有顯著影響，而對較遠處（距離略大于外力分布區(qū)域）其影響即可不計，這就是圣維南原理。圣維南原理的實用價值：它給簡化計算帶來方便。/.例如：圖示桿件由于采用不同連接鉚接、焊接、鉸接而使桿件在連而且非常復雜。但是用靜力等效力系替代后，若得到相同的計算簡圖(如右圖示)，則應力計算就可采用相同的公式：6．正應力公式應用條件（1）外力（或其合力）通過橫截面形心且沿桿件軸線作用。（2）適用于彈性及性范圍。例1CDd=10mm,d=20mm,試求兩桿內(nèi)的應力。2kN③由圖（cF'RcF=20kN'1RC④求應力410103F(N/mm)＝12d122114/.127MPaF2d2A2200、2290材料在外力作用下表現(xiàn)出變形及破壞的特性。材料的宏觀力學性能，pes延伸率，斷面收縮率ψ，彈性模量E，橫向變形因數(shù)（泊松比）等。圓截面：5或10dlld/.0.3%的碳素鋼）為例介紹拉伸試驗。）拉伸時的力學性能（2）油壓緩慢加載使試件受拉（3）記錄ΔL測試數(shù)值2．屈服階段（bc）*觀察測力度盤指針停走或后退。*觀察試件表面可見大致與軸線成45因為45°方向上剪應力最大。材料內(nèi)部晶格沿45°方向滑動。*σ/.*屈服階段主要產(chǎn)生塑性變形。*屈服極限為重要的強度指標。3．強化階段（ce）*材料抵抗變形的能力又繼續(xù)增加，即隨著試件繼續(xù)變形，外力也必須增大，此現(xiàn)象稱為材料強化。*σ——強度極限，發(fā)生斷裂時的應力b4ef）5．延伸率和斷面收縮率試件拉斷后，彈性變形消失，而塑性變形保留下來。延伸率：l（塑性應變）100%ll——原標距l(xiāng)——拉斷后標距長度1塑性指標：δ>5%——塑性材料，鋼、銅、鋁δ<5%——脆性材料，鑄鐵、玻璃、陶瓷斷面收縮率：AAψ100%1A——試件原截面面積A——拉斷后頸縮處斷面面積1/.6．卸載定律及冷作硬化冷拔工藝，提高強度如起重鋼索，建筑用鋼筋)a工程應用噴丸處理，提高表面強度如機器零件表面形成冷硬層，提高抗疲勞強度)②名義屈服極限σ（對無屈服階段的材料）通常以產(chǎn)生0.2%的塑/.鋼等。⑵無明顯直線段，無屈服，無頸縮σ=ε⑸σ——強度極限為唯一強度指標（1）壓縮時的、σ與拉伸時相同，但得不到σ。/.（1）破壞斷面與軸線成4555°角，說明鑄鐵不抗剪。（2）抗壓強度比抗拉強度高4~5倍（3）鑄鐵堅硬、耐磨，易澆鑄成型，有良好的吸物件。[σ——許用應力sns（脆性材料）bnbs/.]]FFA[]NAC為鋼桿：d=30mm[σ]=160MPaBC為鋁桿：d=40mm[σ]=60MPaFcos0FF75.1（2）求各桿應力F106.2AAC4/.75.110359.840/4BC2BC[]a∴安全F11s4F1sF22w12104F24w已知AB為圓鋼桿，[σ]=160MPaBC為方木桿a，[σ]=12MPa1）求各桿的軸力與W的關系（2）分別按各桿強度條件確定Ws1∴W3s2W2/.2232取[]=21.6kN(胡克定3．漸變桿軸力變化時變形計算Fxdxl1A=800mml=200mm=200GPa（2）求各段變形及總變形3l133l0.02522232/.12ii已知：=10kN=45°AB為鋼桿E=200GPaA=100mml=1000mm121）求軸力F12213l1313l232213l15452mmAAAAAA4545mm21.177223434AB桿為鋼桿，d，a，E=210GPa3F力為若干。（2）若AB[σ]=160MPa，/δδ.S14.33EAS4FS106.1103106.1求載荷F53（2[]456.5113430.762NB32mmDB2．軸向拉（壓）時的應變能/.l3．應變能密度（比能）力（σdydz）位移單元體內(nèi)應變能：10dVddzdd1100單位體積內(nèi)的應變能：ε量線彈性范圍內(nèi)材料吸收能量的能力。例1利用功能原理求A點的垂直位移δ已知：=10kNα=45°FF11xF2EAEA/F112222707333/.（x2112F0F2FF0y31（a）靜力學方面——平衡方程（b）幾何學方面——變形協(xié)調(diào)條件（c）物理學方面——物理條件（）補充方程。131（c）1Fl1333式（c）代入式（）∵l=ll/cosα，故/.11133聯(lián)解式（a）與式（d）得N2B12y1231321EA123式（c）代入式（b）得補充方程21EA3EA聯(lián)解式（a）與式（d）得/.均勻變化；溫度非均勻變化）例1已知高壓蒸汽管道alTa一線膨脹系數(shù)。（a）ABAB（2）變形條件：ll（b）TFBTlB（）1聯(lián)解（d）得：FFEATABl應力：Tl靜定結(jié)構(gòu)，由于構(gòu)件制造的微小誤差，在裝配時會引起結(jié)構(gòu)幾何形在裝配時，將在結(jié)構(gòu)內(nèi)引起應力，這種應力稱為裝配應力。2sin0x1cos0y312ll/（b）31333Fl/cos111/.式（c）代入式（）得補充方程FlFl/（d）3EA1EA3311聯(lián)解式（a）式（）得F1AF3A應力12313例3鋼桿①②③=200mm，l，=210GPa，，2δAC為剛性桿，求：裝配后的F、F、FN1N2N3解：裝配后的變形如圖示（1）平衡方程M0F2aF0（a）（b）A32M0F2F0c12（2）變形協(xié)調(diào)條件l2ll321（3）物理條件：32FlL+L12Ll1EALL2121Fl（c）l2EA2Fl3EAl2式（c）代入式（）得補充方程Fl3EAFlFl（d）122EAEA聯(lián)解式（a）式（）得F=5.33kNN1F=10.66kNN2F=5.33kNN3§2.12應力集中的概念1．概念等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的應力是均勻分布的。/.由于實際需要，有些零件必須有切口、切槽、油孔、螺紋、軸肩等，以致在這些部位上截面尺寸發(fā)生突然變化。實驗結(jié)果和理論分析表明，在零件尺寸突然改變處的橫截面上，應力并不是均勻分布的。2．應力集中——由于桿件外形突然變化，而引起局部應力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應力集中。3．理論應力集中因數(shù)σ——最大應力maxσ——平均應力試驗結(jié)果表明：截面尺寸改變得越急劇、角越尖，孔越小，應力集中的程度就越嚴重。因此，零件應盡量避免帶尖角的孔和槽，對階梯軸的過渡圓弧，半徑應盡量大一些。4．材料對應力集中敏感性討論§2.13剪切和擠壓的實用計算1．剪切的實用計算（）連接件：鉚釘、銷釘、螺栓、鍵等都是受剪構(gòu)件。生相對錯動的變形，這種變形稱為剪切。（2）切應力假定切應力在剪切面上均勻分布，則（3）強度條件強度計算：①校核F②設計截面AS/.FA③確定許用載荷S2．擠壓的實用計算（）擠壓：在外力作用下，在連接件和被連接件之間，必須在接觸面上相互壓緊，這種現(xiàn)象稱為擠壓。（2）擠壓應力——擠壓力A——擠壓面面積bs假定擠壓應力在擠壓面上均勻分布。（3）擠壓面面積：①擠壓面為平面，面積為平面面積②擠壓面為圓柱面，取直徑面面積，所得平均應力與最大擠壓應力大致接近。Adbs（4）強度條件：例1已知材料的剪切許用應力[τ和拉伸的許用應力[σ之間關系約為：[τ]=0.6[σ，試求螺釘直徑d和釘頭高度h的合理比值。1）拉伸強度條件為（2）剪切強度條件為F=FS/Fdhd故：4/Fd24h例2車床的傳動光桿裝有安全聯(lián)軸器，當超過一定載荷時，安全銷即被剪斷，已知安全銷的材料為30鋼，剪切極限應力τ=360MPa，光桿可傳遞#u的最大力偶矩為M=120N.me徑d。max解：與沖床工作原理相同，屬剪切刪除強度計算的反向題M=FD(D=)φeS剪斷條件為：/.FM/D即：sAde/42u4M4120103故：dmmmm4.6max4.6eD20360N第三章扭轉(zhuǎn)§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例§3.2外力偶矩的計算，扭矩和扭矩圖§3.3純剪切§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力§3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形§3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形§3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例1．實例如：車床的光桿反應釜的攪拌軸汽車轉(zhuǎn)向軸2．扭轉(zhuǎn)：在桿件的兩端作用等值，反向且作用面垂直于桿件軸線的一對力偶時，桿的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形?！?.2外力偶矩的計算，扭矩和扭矩圖1．MP之間的關系eM——外力偶矩（）en——轉(zhuǎn)速（）——功率（1kW=1000N?m/s1）每秒鐘內(nèi)完成的功力2n或M·e1000P2．扭矩和扭矩圖/.（1）截面法、平衡方程-P=20kW，n，試求扭矩圖.P）eAn--eD如左圖a：T·m1．薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應力/.2．切應力互等定理取出單元體如左圖3．切應變剪切胡克定律GPa4．三個彈性常數(shù)之間的關系/.5．剪切應變能對圖示純剪切單元體。右側(cè)面上的剪力為τdydz。由于剪切變形，右側(cè)面向下錯動位移為rdx。若切應力有一個增量dτ，切應變的相應增量為dγdydz在位移ddx上完成的功力τγdx。在切應力從零開始逐漸增加的過程中（如達到式中：dv=dxdydz，則剪切應變能密度為1．應力分布規(guī)律：幾何學方面a.圓周線大小、形狀及相鄰二圓b.在小變形前提下縱線仍為直線d/.討論：a.為扭轉(zhuǎn)角φ沿軸線xdxx相同）它是常量。b.橫截面上任意點的切應變γ與該點到圓心的距離PP（2）物理關系①剪切胡克定律（b）Gdxp②結(jié)論a.距圓心等距的圓周上各點處的切應力均相等。τ與半徑垂直（即各點處的圓周切Pb.切應力沿半徑直線分布。（3）靜力關系①內(nèi)力為分布力系的合力令（截面對圓心O的板慣性I2A矩）dT于是：dxGI（c）P式（c）代入式（）得T（d）（e）I②討論maxIpI引入WP（抗扭截面系數(shù)）RtT則（f）Wmaxt/D.2．I、W計算公式Pt（1）實心圓截面ρθρdA=dd（2）空心圓截面式中α=d/D3．強度條件（1）強度計算①校核T②設計截面Wmaxt③確定許用載荷T≤[τtmax（2）討論：對變截面桿、如階梯桿、圓錐形桿，W不是常量，τtmaxT并不一定發(fā)生在扭矩為TT和W尋求最maxt大值。4．強度計算舉例Example1圖示傳動軸GivenM=895N·M=538N·me1e2M=2866N·M=1075N·me3e4τM=358N·m[]=20MPae5Find設計階梯軸各段的直徑DProceduresolution（1）求各段軸的扭矩，作出扭矩圖（2）求各段軸的直徑DT∵WtT∴D3D71.5mm23/.D71.5mm34D45mm45Example2圖示傳動軸外力偶矩某度為mGiven=500N·=30mml=1000mmFindτsolutionΣM=0T(x)=mxx扭矩沿軸線線性變化當x=0T=0當x=l時，T=ml=500N·mmaxTmaxW16TmaxD316500103∴Mpa94.3303maxt§3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1．扭轉(zhuǎn)角φ的計算討論：（T=constI=const，P則I——圓軸的抗扭剛度P（2）階梯軸2．剛度條件消除軸的長度l的影響dT（）dxGIP：單位長度的扭轉(zhuǎn)角等直圓軸：剛度條件/.T（）P/m按照設計規(guī)范和習慣許用值的單位為，可從相應手冊中查到。T180（o）/mmaxGImaxp3．剛度計算①剛度校核DD44②設計截面：I,143232p③確定許用載荷Tmax注意：由剛度條件32T180Dmax——切變模量4232T180或Dmax41G24式中需用牛頓米代入因為單位為（o）/mExample1圖示鋼軸GivenM=800N·M=1200N·me1e2M=400N·l=0.3me31l=82GPa2[]=50MPa=0.25(o)/mτFindDsolution（1）求扭矩，作出扭矩圖（2）強度條件T=800N·mmax/.16TD168001030.0433（）max3350（3）剛度條件32T180max32800180D0.0691（）440.2582109G22?。篋=70mm注意：用牛頓米統(tǒng)一單位方便，不易出錯?！?.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形1．實例（1）車輛輪軸彈簧：緩沖減振（2（3）彈簧秤（4110層雙子樓主樓，次樓4kPa，實測f=28cm，內(nèi)外筒之間用桁架承擔樓面載荷，在第7層一107層桁max架下面放置減震器，吸收風力作用下大樓的變形能減震。2．密螺彈簧的兩個條件（1）螺旋角α<5°（密圈）（2d<<（小曲率桿）近似認為簧絲橫截面與彈簧軸線位于同一平面內(nèi)略去曲率影響，采用直桿扭轉(zhuǎn)公式.3．彈簧絲橫截面上的應力ΣF=0F=FySΣM=0T02T8FDWdmax3t內(nèi)側(cè)A點：/.Ddd8FD（近似公式）max3cD彈簧指數(shù)d（1——彈簧體積dA——簧絲橫截面的微分面積dS_——沿簧絲軸的微分長度s(0~l,lnD，n為有效圈數(shù))式中：是彈簧圈的平均半徑。R2Gd4C33/.6．彈簧變形的簡單推導方法2Fpo4433400考慮到修正，取d，然后校核：34一、實例/.Tmax21maxGI=Ghb——桿件的抗扭剛度3.系數(shù)：以上式中α、均是與h/b比值有關的h當10時，截面成狹長矩形，這時bT13h2/.1．實例2．彎曲變形作用于桿件上的垂直于桿件的軸線，使原為直線的軸線變形后成為曲線，這種變形稱為彎曲變形。3．梁——凡以彎曲變形為主的桿件，習慣上稱為梁4．對稱彎曲：§4.2受彎桿件的簡化根據(jù)支座及載荷簡化，最后可以得出梁的計算簡圖。計算簡圖以梁的軸線和支承來表示梁。l稱為梁的跨度§4.3剪力和彎矩（1）求反力：（2）求內(nèi)力（截面法）一般來說截面上有剪力F和彎矩（為S平衡）（a）FFFSA1（b）MFxFxaA1（3）討論一般說，在梁的截面上都有剪力F和彎矩）可S以看出，在數(shù)值上，剪力F等于截面以左所有外力在梁軸線的垂線（yS軸）上投影的代數(shù)和；彎矩M等于截面以左所有外力對截面形心取力矩的代數(shù)和，即：同理，取截面右側(cè)部分為研究對象：（4）剪力F和彎矩M符號S規(guī)定無論取左側(cè)，或者取右側(cè)，/.所得同一截面上的剪力F和彎矩，不但數(shù)值相同，而且符號也一致，S符號規(guī)定如左圖示。Example1試求圖示梁D截面的F、MSSolution：（1）求反力（2）求剪力和彎矩（設正法）將截面上的剪力F和彎S距，按符號規(guī)定設為正的方向。（負號說明剪力F所設方向與實際SExemple2試求圖示梁112-2截面上的剪力和彎矩FSolution：①求反力：②求剪力和彎矩，-1截面2-2截面1o（負號說明剪力方向與實際方向相反，在截面上剪力為負值）Example3試求圖示梁1122截面上的剪力和彎矩12o22Solution①求反力：相反）②求剪力和彎矩1-1截面：設FMS112-2截面：設FM（設正法）S222/2.（所設方向與實際方向相反，為負彎矩）Example4試求梁112-2截面上的剪力和彎矩Solution：根據(jù)前面剪力和彎矩的求代數(shù)和的規(guī)則來求剪力和彎矩。1-1截面：2-2截面：Example5試求梁112-2截面上的剪力和彎矩Solution1-1截面：2-2截面：§4.4剪力方程和彎矩方向，剪力圖和彎矩圖1．一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，剪力和彎矩為截面位置坐標x的函數(shù)。上面函數(shù)表達式稱為剪力方程和彎矩方程，根據(jù)剪力方程和彎矩方程，可以描出剪力和彎矩隨截面位置變化規(guī)律的圖線稱為剪力圖和彎矩圖。2．列剪力方程和彎矩方程規(guī)則（1）截面左側(cè)向上的外力都在剪力代數(shù)和式中取正號，向下的外力（2中取正號。向下的外力對截面形心所在產(chǎn)生的力矩都在和式中取負號。（3）截面左側(cè)順時針轉(zhuǎn)的外力偶矩，在力矩總和式中取正號，負之取負號（順正、逆負）正剪力（1式中取正號，向上的外力取負號。右下右上負剪力正彎距（2式中取正號，向下的外力之力矩取負號。（3）截面右側(cè)梁上逆時針外力偶矩在彎矩代e右逆e/負彎距.數(shù)和式中取正號，順取負號。Example1試作梁的梁剪力圖和彎矩圖Solution①求反力x②列方程xl③繪圖(x)為x的一次函數(shù)斜直線，確定一點。ql當x=0時，F(xiàn)x2+sx-當x=l時，F(xiàn)x22sM（xx定數(shù)點8+當x=0M（x=03l當時，Mxqlxx2324ql2l當時，Mx82l3Mx當時，xql2432當x=lM（x=0Sql2x④,FMl28SmaxmaxExample2F、SSM圖Solution：①可以求反力，也可以不求反力②列方程F(x)=(0<xl)SM(x)=-(l-)(0<≤l)/.③繪圖F(x)為常數(shù)，為水平線S(x)為x的一次函數(shù)，斜直線，定二點當x=0時M()=-Fl當x=l時(x)=0④F=FMmaxSmaxExample3齒輪軸計算簡圖，作F、M圖SSolutionb①求反力②列FMFxSl列方程Fbll(AC)(0<x<a)FxF1+S1l1A-(0≤x≤a)xMxFxFal1Fabl11A11ll(CB)FxFFF+S22A(0<xl)2(0x≤l)MxFxFxaxFxa222A22l22③繪圖Fb（AC）常數(shù)為水平線FxS1l1M（x）為x的一次函數(shù)，斜直線，定=點111當x=0時，M（x）=0111Fbal當x=aMx）=111Fa（CB）為水平FxS2l2M（x）為x的一次函數(shù)，斜直線，定=點22Fba當xa時，M（x）=222l/.llMSolution（AC）FxFeS11AMxFxx1e11A1M（CB）(a≤xl)FxFeS22Al(a<xl)MxFxMe22A2ee③繪圖1S22當x=0時，M（x）=0當xa時，M（x）=ll§4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關系1．引言（1）分段列方程十分麻煩。/.導數(shù)關系。（3）利用《導數(shù)關系》直接由載荷判定F、M圖形，繪制F、MSS圖。（4）檢驗F、M圖正確與否很方便。S2．證明q()、F(x、M(x)間的關系S證：（1）取坐標系如圖，x以向右為正。（2○（3）微段上的載荷集度q(x)視為均布，且規(guī)定qx)↑為正+q()○↓為負－。（4）微段兩側(cè)橫截面上的F(x，M(x均設為正方向。S（5）討論微段平衡略去高階微量3.利用導數(shù)關系繪制F、M圖或者檢驗sF圖M圖q圖水平線（一段）斜直線二次拋物線F（一段）SF（一點）有極值突變S集中力作用截面集中力偶作用截面4．作F、M圖程序procedures⑴一判：判斷FM圖線形狀s⑵二算：算出控制截面F、M數(shù)值s/.⑶三連線5Example試用導數(shù)關系作圖sSolution§4.6靜定剛度及平面曲桿的彎曲內(nèi)力1．靜定剛架（1）舉例：某些機器的機身或者機架的軸線是由幾段直線組成的折線，如液壓機機身、鉆床確床架、軋鋼機機架等。（2）剛節(jié)點：為上述的機架的每兩部分在連接處夾角不變，即兩部分在連接處不能有相對轉(zhuǎn)動，這樣連接稱為剛節(jié)點。（3）剛架：各部分由剛節(jié)點連接的框架結(jié)構(gòu)稱為剛架。（4）靜定剛架：外力和內(nèi)力均可由平衡方程確定的剛架稱為靜定剛架。（5）超靜定剛架：外力或內(nèi)力不能由靜力平衡方程全部確定下來的剛架，稱為超靜定剛架。（7）靜定剛架彎矩圖的繪制。Example1鉆床床架計算簡圖，/.①求反力②列方程③作圖2．平面曲桿（平面曲梁）NSExample5試作圖示曲桿的彎矩圖Solution/.第五章彎曲應力§5.1純彎曲§5.2純彎曲時的正應力§53橫力彎曲（剪切彎曲）時的正應力§5.4彎曲切應力§5.6提高彎曲強度的措施§5.1純彎曲橫力彎曲,FMS1.彎曲aa純彎曲FMconst0,S2．觀察變形F以矩形截面梁為例F（1）變形前的直線、變形后aa成為曲線、，aabb變形后仍為直線、、mmmnaa曲線相垂直。bbman（2）平面假設根據(jù)實驗結(jié)果，可以假設變形前原為平abb面的梁的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的梁軸線，這就是彎曲變形的平面假設。mn△（3）設想a'b'b'n'設想梁是由平行于軸線的眾多纖維組成。在純彎曲過程中各纖維之間互不擠壓，只發(fā)生伸長和縮短變形。顯然，凸邊一側(cè)的纖維發(fā)生伸長，凹邊一側(cè)的纖維縮短。由平面假設纖維由伸長變?yōu)榭s短，連續(xù)變化，中間一定有一層纖維稱既不伸長也不縮短這一層纖維為中性層。/.（4）中性軸中性層與橫截面的交線稱為中性軸，由于整體變形的對稱性，中性軸由與縱向?qū)ΨQ面垂直。P139note：可以證明，中性軸為形心主軸。§5.2純彎曲時的正應力1．正應力分布規(guī)律：①變形幾何關系②物理關系③靜力關系（1）變形幾何關系取dx微段來研究，豎直對稱軸為y軸，中性軸d為z軸，距中性層為y的任一纖維的線應變。bbeeydy（a）do'b'o'b'd（2）物理關系當應力小于比例極限時，由胡克定律y（b）Ee此式表明：任意縱向纖維的正應力與它到中性按直線規(guī)律變化。（3）靜力關系橫截面上的微內(nèi)力σdA組成垂直于橫截面的空間平行力學。這一力系可能簡化為三個內(nèi)力分量：橫截面上的內(nèi)力與截面左側(cè)的外力必須平衡。在純彎曲情況下，截/.面左側(cè)的外力只有對z軸的力偶矩M。由于內(nèi)外力必須滿足平衡方程，e故：①F0（c）FdA0xA式（）代入式（）EE∵0∴ydAS0ZA結(jié)論：Z軸（中性軸）通過形心。②M0（）MzdA0yA式（）代入式（）結(jié)論：y軸為對稱軸，上式自然滿足③M0（e）MMMydAzeA式（）代入式（）ydA（f）（g）EMydA2AA∵y2dAIZA∴式（f）可寫成1MEIZ1式中為梁軸線變形后的曲率，EI稱為梁的抗彎剛度。Z2．純彎曲時梁的正應力計算公式1由式（g）和式（）中消去得1）導出公式時用了矩形截面，但未涉及任何矩形的幾何特性，因此，公式具有普遍性。（2（3）橫截上任一點處的應力是拉應力還是壓應力可直接判定，不需用y坐標的正負來判定。§53橫力彎曲（剪切彎曲）時的正應力/.（2）純彎曲或l/h5的橫力彎曲（σ，τ）≥（3）應力小于比例極限。2．最大正應力IWZyZ討論：3．強度條件max（2）設計截面尺寸：WZZExample1空氣泵操作桿，右端受力F=8.5kN112-2截面相同，Solution①求2F16.1kN2/.M=8.5×(0.720.08)=5.44kN·m1M=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m2故：kN·mMM5.441③設計截面5.44106M3mmW1.0885Zb∵235hbW1.2z2.088103b.733∴h=125mm§5.4彎曲切應力切應力的分布規(guī)律與梁的橫截面形狀有關，因此以梁的橫截面形狀不同分別加以討論。1．矩形截面梁（1）切應力的分布規(guī)律當hb時，按上述假設得到的解答與精確解相比有足夠的準確度。（2）切應力沿截面高度的變化規(guī)律①從梁中取出dx②截面上的σ和τ的分布如圖③研究微塊的平衡ddMyMFdA1dA'2IA*A*mnZMdM（a）ydAIA*1dZMdMS*IZ式中：SyA為離中性軸為y的橫線以下面積對中性軸之靜矩。**1zA/.dA11IIA*A*A*ZZZ力'S（d）FFdF0'x21S式（c）代入式（d）S*S*bxZIzZdMS*ZZSFS*ZZ由切應力互等定理，橫截面上pq線處切應力為FS*ZZa.橫力彎曲下梁的縱向纖維層之間存在切應力b.矩形截面如圖2ordAbdySydA*21Z111y22S明切應力τ沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。2h22maxZ/.bh3d.考慮到I12Z2．工字形截面梁（）計算表明：截面上剪力F的9597%由SmaxhhFS采用矩形截面方法可得：bhb2式中：Shhy*22024028Z0h以，y0代入上式得2∵bb0∴τ≈τmaxmin于是近似認為（）翼緣中切應力分布比較復雜，且數(shù)量很小，無實際意義，不予討論。（3所以工字梁的最大特點是，用翼緣承擔大部分彎矩，腹板承擔大部分剪力。3．圓形及圓環(huán)形截面梁FS*（1）SZIbyZ——陰影面積對中性軸的靜矩S*Zb——為弦AB的長度在中性軸上R4R2b=2RS*2Z（2）圓環(huán)形截面/.4．彎曲切應力的強度校核（1）強度條件——中性軸以上或以下截面面積對中性軸之靜矩S*Zmax應力強度條件進行強度計算，不需要對彎曲切應力進行強度校核。（3）只在下述情況下，才進行彎曲切應力強度校核：①梁的跨度較短。梁的強度條件：合理安排梁的受力情況，降低M。1．合理安排梁的受力情況，降低Mmax（1）合理布置梁的支座（2）合理布置載荷2．梁的合理截面，提高W得h/.可見W越大，梁承受的彎矩就越大。ZW，由=bh，用來衡量bh2WKZA6Zhhb26W（2比ZAKhhhh4．舉例SolutionMx2b/.l3當x,b22③根據(jù)3F3F4h（3）疊板彈簧梁的構(gòu)成將厚度為hb的鋼板條，設：bnimx(h3F又：22222bnimh第六章彎曲變形/.1.概念線為xoy為撓曲線。②撓度：/.w=f(x)θ④轉(zhuǎn)角：彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設，梁的橫截面變形前，垂直于軸線，變形后垂直于撓曲線。故θ⑤撓度w和轉(zhuǎn)角是度量彎曲變形的兩個基本量。⑥撓度與轉(zhuǎn)角符號規(guī)定：在圖示坐標中，撓度向上為正，反時針的轉(zhuǎn)角為正。2.撓曲線的曲率表示式：1M①純彎曲：1xMx②橫力彎曲：細長梁，忽略F影響。5lsh3.撓曲線的曲率表達式①純彎曲：y1M（a）MM②橫力彎曲：>M0ddd002F的影dsxo響1Mxy（b）xd③高等數(shù)學中對曲率的定義ρxo/dsdx.及表達式dM于是式（a）轉(zhuǎn)化為（c）dsEIMθ隨著弧長S的增加，也是增加的，即正增量對應的也是正的，于sd是考慮符號后，式（c）可寫成dM（d）dsdw2dsdxdw1dx22dxdw注意到2ddx2ds32d2w1dx代入式（d）及：dw2dxM（e）2EI32d2w1dx此為撓曲線的微分方程，適用于彎曲變形的任意情況，它是非線性的。在小變形的情況下，梁的撓度w一般都遠小于跨度，撓曲線wf(x)是一θ非常平坦的曲線，轉(zhuǎn)角也是一個非常小的角度，于是dwdx（f）fx'2dw式（e）中1，于是式（e）可寫成dxdwM2（g）dx2此式為撓曲線的近似微分方程。/.§6.3用積分法求彎曲變形1.撓曲線的近似微分方程y=a,=0=0對等直梁而言，EIaaaxxx積分可得轉(zhuǎn)角方程，再積分可得撓曲線方程o、式中CD為積分常數(shù)，可由邊界條件及連y續(xù)條件確定。o2.邊界條件：在撓曲線的某些點上，撓度或轉(zhuǎn)角有時是已知的這類條件稱為邊界條件。3.連續(xù)條件：yo撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，在撓曲線的任一點上有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角這就是連續(xù)條件。4.剛度條件：Example1.EI=constFind.、θwmaxmaxSolution.y①列彎矩方程：q1Mx22ALx(0≤l)②列微分方程及積分③求積分常數(shù)/.邊界條件：當xl時，==0w=0'θ④轉(zhuǎn)角方程及撓度方程：w⑤求θ,AA將x=0代入以上二式Example2.、θ。wymaxmaxSolutionbFBACFb①求反力：,FalFFlxRARB2②列彎矩方程：LRARBFb（AC）(0≤x≤a)Mx1l11Fbl（CB）xFxa(a≤x≤l)M2222③列微分方程及積分（AC）（CB）④求積分常數(shù)邊界條件：當x=0時，w=011當x=l時，w=022連續(xù)條件：當x=x=aw=w，w=w1211212D=D=012⑤轉(zhuǎn)角方程及撓度方程/.（AC）（CB），最大轉(zhuǎn)角θw⑥最大撓度6A6B,BABAAw最大撓度'0.3cθ若ab，則為正值?？梢姀慕孛鍭到截面C轉(zhuǎn)角由負變正，改變x即為撓度為最大值的截面橫坐標。ll當F,，abx220b可以省略，于是2/.撓度總在靠近跨度中點。所以可以用跨度中點的撓度近似代替最大撓度，l因此，在式（b）中令求出跨度中點撓度為：x21即是在極端情況下，b0時⑦誤差分析：用代替max所引起的誤差wwl2⑧結(jié)論可見在簡支梁中，只要撓曲線無拐點，總可用跨度中點的撓度代替最大撓度不會引起很大誤差?！?.4用疊加法求彎曲變形1.積分法①優(yōu)點：可以求得撓曲線的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，因此可求任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度是最基本的方法。②缺點：積分法比較麻煩。2.疊加法荷成線性關系。因此，當梁上有多個載荷作用時，可以分別求出每一載荷單獨引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作用時的變形，這就是彎曲變形的疊加法。②為了便于工程計算，把簡單基本載荷作用下梁的撓曲線方程，最大撓度，最大轉(zhuǎn)角計算公式編入手冊，以便查用。-1Example1Given：EIconst/.θθFind：θθSolution：查表-190θθSolution：查表-189EIconstθwA,AFind：=qFxqSolution：查表P1880BAxdxAAqxF第八章組合變形BAx1.基本變形：拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲.2.組合變形：物件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形情況稱為組合變形。3.舉例/.③疊加法建立在疊加原理的基礎上：即材料服從胡克定律，在小變形前提下力與變形成線形關系。Example1.試對發(fā)動機閥門機物氣的桿A進行強度校核。已知凸輪壓力F=1.6KN,尺寸如圖，材料為合金鋼，Solution:li力F向桿件軸線簡化Example2.壓力機框架如圖示，材料為灰鑄鐵HT15-33,tcSolution(立柱的拉彎組合)/.①截面的幾何性質(zhì)A50206020100204200mm2②橫截面I-I的內(nèi)力1002010602050502090z40.5mm42000z10040.559.5mm1FF12KN100203(40.510)20)NI212y③強度校核20603(5040.5)(6020)212§8.4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形502032(9040.5)(5020)124.8810mm64扭轉(zhuǎn)組合變形在危險截面上危險點處的應力狀態(tài)屬于復雜應力狀態(tài)，因此要進行強度校核，必須采用強度理論這里首先推導（公論）扭彎組合變形的強度計算方法。1．以圓軸為例①在危險截面：②危險點處應力③危險點屬于二向應力狀態(tài)122221∴02122223④危險點屬應力復雜狀態(tài)，必須用強度理論建立強度條件，對塑性材料，可采用第三或第四強度理論。即：22/.2212233122討論：MT22WmM0.75TyL22WExample圖示傳動軸，傳遞功率p=7.5kw,軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min,AB為皮帶輪，A輪上的皮帶為水平，B輪上的皮帶為鉛直，若兩輪的直徑為600mm，則已知，F(xiàn)=1500N，軸材12試按第三強度80MPa,Solution:②載荷簡化及計算簡圖F0D12008000/.F=3.6kNczF12004000F=1.8kN0DzCDcFcy12002500F=1.2kN0DcyF120014500F=6.52kN0DyDyc③作彎矩圖，扭矩圖，確定危險截面1.440.448mB截面：22T0.716KNmMT22∵∴Wm2T220.7162m第九章壓桿穩(wěn)定§9.1壓桿穩(wěn)定的概念§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力§9.3其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力§9.4歐拉公式的適用范圍，經(jīng)驗公式§9.5壓桿的穩(wěn)定校核§9.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施1.引言強度——構(gòu)件抵抗破壞（塑性變形或斷裂）之能力①剛度——構(gòu)件抵抗變形的能力穩(wěn)定性——構(gòu)件保持原有平衡形態(tài)的能力穩(wěn)定狀態(tài)②平衡不穩(wěn)定狀態(tài)/.隨意狀態(tài)2．實例qcr①受均勻外壓作用的圓筒形薄殼形平衡變成橢圓形平衡。②受均勻壓力作用的拱形薄板—平衡變成翹曲平衡?！蓤A—由拱形③窄高梁或薄腹梁的側(cè)向彎曲——由平面彎曲變成側(cè)向彎曲。④圓筒形薄殼在軸向壓力或扭轉(zhuǎn)作用下引起局部皺折。⑤細長壓桿由直線平衡變成曲線平衡。3．穩(wěn)定研究發(fā)展簡史早在18世紀中葉，歐拉就提出《關于穩(wěn)定的理論》但是這一理論當時沒有受到人們的重視，沒有在工程中得到應用。原因是當時常用的工程材料是鑄鐵、磚石等脆性材料。這些材料不易制細細長壓桿，金屬薄板、薄殼。隨著冶金工業(yè)和鋼鐵工業(yè)的發(fā)展，壓延的細長桿和薄板開始得到應用。19世紀末20世紀初，歐美各國相繼興建一些大型工程，由于工程師們在設計時，忽略桿件體系或桿件本身的穩(wěn)定問題向造許多嚴重的工程事故。例如：19世紀末，瑞士的《孟希太因》大橋的桁架結(jié)構(gòu)，由于雙機車牽引列車超載導致受壓弦桿失穩(wěn)使橋梁破壞，造成200人受難。弦桿失穩(wěn)往往使整個工程或結(jié)構(gòu)突然坍蹋，危害嚴重，由于工程事故不斷發(fā)生，才使工程師們回想起歐拉在一百多年前所提出的穩(wěn)定理論。從此穩(wěn)/.定問題才在工程中得到高度重視?！?.1壓桿穩(wěn)定的概念1．工程實例FFcrFFF（1）內(nèi)燃機配氣機構(gòu)中的握桿，當推動搖臂打開氣閥時就受壓力作用。（2驅(qū)動工作臺移動時受到壓力作用。（3（4）桁架結(jié)構(gòu)的某些桿件。（5）建筑物中的柱。FFFF2．壓桿分類1.短桿強度問題2.中長桿穩(wěn)定問題,當應力低于屈服極限或者強度極限甚至低于sb3.細長桿比例極限,桿件會由直線平衡變成曲線平衡而發(fā)生失穩(wěn).b3．壓桿失穩(wěn)：壓桿由直線形狀的穩(wěn)定平衡而過渡到曲線平衡稱為失穩(wěn)或者屈曲。4．兩端鉸支細長壓桿穩(wěn)定性討論5．臨界壓力：當壓力達到臨界值時，壓桿將由直線平衡形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榍€平衡形態(tài)?？梢哉J為，使壓桿保持微小彎曲平衡的最小壓力即為臨界壓力?！?.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力1．設兩端為球鉸的細長壓桿處于微彎平衡。選取坐標系如圖示。距/.原點為x的任意截面的撓度為w，彎矩的絕對值為F，若取壓力F的絕ww為正時，M為負，w為負時，MM與w的符號相反。=-Fww2d∴x2F引入k2wd則2kw02dx2微分方程的通解為w=Asinkx+Bcoskx、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。當x=0w=0，則B=0當x=c時，=0，則Asinkl=0討論：（1）顯然A≠，若A=0，則w=0，桿始終為直線，這與微彎假設前提矛盾。（2）故只有sinkl，于是kl=0，πππ……或kl=nn=0,1,2……）l故由kFn2則k2l2由此可見，使曲線保持平衡時，壓力為出現(xiàn)多值。使壓桿保持微彎平衡/.時的最小壓力即為臨各壓力。取，則n2．對公式的討論l2由解：W=Asinkxxllll半波正弦曲線）當……3．積分常數(shù)A為壓桿中點的撓度xll2/.EI2（2）一端固定，一端自由Fcr(2l)22EI（3）兩端固定Fcrl)22EI（4）一端固定，一端鉸支Fcr(0.7l)22．臨界壓力統(tǒng)一形式（歐拉公式）式中μ——長度因數(shù)；μl——相當長度3．實際壓桿約束簡化及μ可查規(guī)范?！?.4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式1．細長壓桿臨界壓力歐拉公式2EI臨界壓力：l2cr∵I=IiA22i截面慣性半徑2E或crl2il引入則——柔度或細長比歐拉公式i2E2λ稱為柔度或長細比，另一個無量鋼量，集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸、形狀對臨界應力的影響。2．以柔度λ將壓桿分類（1）細長桿（大柔度桿）/.（2）中長桿（中柔桿）（3）短桿（小柔桿）注意：歐拉公式僅適用細長桿臨界壓力和臨界應力計算。①細長桿（大柔度桿）歐拉公式導出利用彎曲變形的微分方程dwM2dx2律是微分方程的基礎，因此2E即：x2p2E令1p則1此時壓桿稱為細長桿或大柔度桿。這就是歐拉公式的適用范圍。注意：λ——稱為第一界限柔度，由公式可知它與材料性質(zhì)有關。1即不同的材料λ不同。1②中長桿（中柔度桿）若λ<λ，臨界應力σ會大于材料的比例極限，歐拉公式已不能適1cr:直線公式p和拋物線公式。直線公式：σ=abλcr式中ab為與材料有關的常數(shù)P301-302。根據(jù)：或crscrb/.即或ababsbaa故或sbbbaa令或bs2b2b則λ≥λ可用經(jīng)驗公式2λ≤λ≤λ稱為中柔桿。21③小柔度桿（短粗桿）λ<λ2④臨界應力總圖綜上所述，臨界應力σ隨壓桿柔度λ而不同，即不同的柔度，臨界cr應力σ應按相應的公式來計算。cr臨界應力σ隨柔度λ變的圖線稱為臨界應力總圖。cr桿件性質(zhì)大柔桿λ≥λ12i2crλ≤λ≤λ122cr1pacrsbsb2b⑤臨界壓力F=σAcrcrNote：失穩(wěn)是考慮桿的整體變形，局部削弱（如螺釘孔等）對整體變形影響很小，計算、I時可忽略削弱的尺寸?！?.5壓桿的穩(wěn)定校核/.穩(wěn)定條件：n——工作安全因數(shù)n——穩(wěn)定安全因數(shù)。n一般高于強度安全因數(shù)，因為壓桿的初曲stst率，壓力偏心，材料不均勻和支座缺陷都嚴重影響壓桿穩(wěn)定。Examplel試計算臨界壓力Fcr圖示結(jié)構(gòu)，AB為圓桿，A端固定，B端球鉸，BC為方截面桿，邊長為a=80mm兩端為球鉸，若AB、BC各自獨立變形，互不相影響，兩桿材料均為Q235鋼。=206GPaσ=200MPaσ=235MPapsSolution（1）AB桿：一端固定，一端鉸支=0.7μλ>λ為大柔桿，采用歐拉公式1（2）BC桿，兩端鉸支，μ=1λ=1011λ>>λ為中柔桿，采用直線公式21（3）比較之后知，F(xiàn)=924kNcrExample2一搓絲機連桿，尺寸如圖材料為45號鋼，E=210GPa，σ=240MPa=400MPa=120KNps數(shù)n=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。stNoto在擺動平面xoy內(nèi)，連桿兩端簡化為鉸支；在xoz平面內(nèi)，連桿兩端簡化為固定。/.Solution1）在xoy平面內(nèi)，兩端為鉸支繞Z彎曲，μ=1（2）在xoz平面內(nèi)，兩端簡化為固定，繞y軸彎曲μ=0.5I/12252323hb3biyymm7.22Abh（3）討論：因為λ>λ所以在xoz平面內(nèi)連桿較易失穩(wěn)。繞y軸易失穩(wěn)。yz（4）由45號鋼屬優(yōu)質(zhì)碳鋼查P301表9.2a=461MPab=2.568MPa∵λ>λ>λ故為中柔度桿zy1采用直線公式MPa4612.56861304abcrkNFA3crcr滿足穩(wěn)定要求。第十章動載荷§10.1概述1.動載荷——隨時間發(fā)生顯著變化的載荷或者由于物件運動速度發(fā)生顯著變化而使物件受載，均稱為動載荷。2.動應力——物件由動載荷引起的應力稱為動應力。1.加速提升的物件2.高速旋轉(zhuǎn)的飛輪3.實例鍛壓氣錘的錘桿4.緊急制動的轉(zhuǎn)軸/.4.胡克定律的有效性實驗表明：只要動應力不超過材料的比例極限，胡克定律仍適用于動載荷下應力與變形的計算，彈性模量與靜載荷下的數(shù)值相同。5.動應力問題§10.2動靜法的應用1.靜止或勻速直線運動v2．牛頓第二定律（勻加速直線運動）v或a引入動載荷因數(shù)K1dg則Kdd3.達郎伯原理及動靜法對作加速度運動的質(zhì)點系，如假想地在每一個質(zhì)點上加上慣性力，則質(zhì)點系上的原力系與慣性力學組成平衡力系。這樣就可把動力學問題在形式上作為靜力學問題來處理，這樣就是動靜法。4．強度條件：由于動荷因數(shù)K為靜載下的許d用應力。Example1.圖示起重機的重力為W=20kN，裝在由兩根N0.32a工字1鋼組成的梁上。今用繩索起吊W=60kN的重物，若在第一秒內(nèi)勻加速上2升Solution1.①重物的加速度為a/.1s2∵∴22s2at22②繩子的拉力FNda5kN)90.6FW(1)(19.82g③梁的集中載荷及自重力查表P409.N032a工字鋼，理論重量為′=52.717kNq′=52.717kg/m計算載荷集度=(52.717)×2=1033N/m抗彎截面系數(shù)Wz692.2cm3④梁的最大彎矩：·mMkN48142106M⑤最大應力：max102.5max2w2692.2103zExample2.求勻速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)中的動應力。設角速度為ω，橫截面面積為，材料密度為kg/m，3DAnalysis:①圓環(huán)中線各點的向心加速為②沿圓環(huán)中線的慣心力集度③用動靜法研究半環(huán)的平衡D2FF0qd02y0d/.2FqDNddqDDF=22dNd24④圓環(huán)中的動應力D式中v=2⑤強度條件：為保證圓環(huán)的強度，必須限制旋轉(zhuǎn)速度。Example3.在AB軸的B端有一個質(zhì)量很大的飛輪，與飛輪相比軸的質(zhì)量可以忽略不計，軸的另一端裝有剎車離合器，飛輪的轉(zhuǎn)速n=100r轉(zhuǎn)動慣量為Im.s，軸的直徑d=100mm,剎車時使軸在t=10s2xmin均勻減速停止轉(zhuǎn)動。求軸內(nèi)最大動應力。Solution:n100①瞬時角速度：rad/s6060300t②角加速度：tt0note負號表示方向與方向相反00.5③慣性力矩摩擦力矩：MI0.5()kN·m33dx0.5MMkN·m3fd④扭矩：TMkN·m3dd⑤最大切應力：T0.510031062.67N/mm2.67MPad2W316dmaxt§10.4桿件受沖擊時的應力和變形/.1．概念：這種現(xiàn)象稱為沖擊或者撞擊。2．實例：（1）重錘打樁；（2）用鉚釘槍鉚接；（3）高速旋轉(zhuǎn)飛輪突然剎車。3．沖擊分析沖擊發(fā)生，必然有沖擊物和被沖擊物。如上述例子中，如重錘，飛輪就是沖擊物，而樁，飛輪軸則是受沖構(gòu)件。沖擊物沖擊構(gòu)件時，其速度在很短時間內(nèi)發(fā)生很大變化，這樣沖擊物獲得很大的負值加速度，于是沖擊將給受沖物件很大的慣性力。但是由于沖擊時間難以測定，加速度很難計算，慣性力難以確定。于是工程中常采用能量法。利用機械能守恒原理，來估算沖擊時的位移和應力。4．沖擊問題的簡化及簡化模型在工程中，承受各種變形的彈性桿件都可以看作是一個彈簧，只是不同桿件看作彈簧時，其彈簧常數(shù)各不相同而已。（1）受拉伸（壓縮）的桿件（2）梁：簡支梁、外伸梁（3）扭轉(zhuǎn)的桿件5．沖擊應力及變形計算動能為T△△△△(a)(b)/.設重量為P的沖擊物一經(jīng)與受沖彈簧接觸，就相互附著共同運動。如省略彈簧的質(zhì)量，只考慮其彈性，便簡化成一個自由度的運動體系。設沖擊物與彈簧開始接觸的瞬間動能為T變形達到最低位置時，體系的速度為零，變形Δ。在這個過程中沖擊物d動能變化為T，勢能變化為=Δ（a）d若以Vεd的應變能，即T+=V（b）εd設體系的速度為零時彈簧的動載荷為F，在材料服從胡克定律的情d況下，它與彈簧的變形成正比，且都是從零開始增加到最終值，故1（c）VF2ddd在線彈性范圍內(nèi)，載荷與變形，應力成正比，故F（d）dddP或：FPddst（e）（f）ddstst式（e）代入式（）12PVdd2stVd代入式（b:T20（g）2stPdstd解之得：/.T引入則沖擊動荷因數(shù)（h）K11ddststKd（i）dstFKPddKddstnote：Δ、F、σ都是沖擊時載荷，變形和應力的瞬息最大值。ddd6．自由落體沖擊若重為P的物體從高為h處自由下落，當物體與彈簧接觸時：2h代入式（h）得，K=1+（自由落體動荷因數(shù)）1dst推論：實加載荷7．水平?jīng)_擊設重量為P的沖擊物，以速度v沖擊，由v2得：gdststv2引入：動荷因數(shù)KgdstFkpdd則：KddstkddstExample1重力為P=1kN的重物，自由下落到懸壁梁的自由端Given=2mE=10GPah=40mmFindσΔdmaxdmaxSolution（1）按靜載荷計算I=bh/12=120200/12=810mm4337ZW=bh/6=120200/6=810mm2253Z查表：P18831323B點：3mm33837/.pl110210A截面：332.5MPaW8105StmaxZ（2）按沖擊計算B點：K63.3320mm62.515MpaddA截面：KdExmple2圖示自重力為Pv撞擊在豎直桿子上，若直桿的、、W均已知，試求桿內(nèi)的最大正應力σdmaxZSolution（）按靜載計算Bv查表P188B3B點：3plA截面：WZA（2）按沖擊計算A故截面：3EIvpl2dKgplWmaxdstmax3ZExample3若AC桿在水平面面內(nèi)繞A點鉛直軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，桿C點有一自重力為P的集中質(zhì)量，如因故障在B點突然卡住，使之突然停止轉(zhuǎn)動，試求AC桿內(nèi)的最大沖擊應力。設桿的質(zhì)量省略不計。Solution（1）按靜載荷計算（2）按沖擊計算Example4ACCBP320正輪軸10s內(nèi)勻減速A△△停2.67MPamaxpP333正輪軸，突然剎車：CBA1057MPa第十一章交變應力/.§11.1交變應力與疲勞失效§11.2交變應力的循環(huán)特征應力幅和平均應力§11.3持久極限（疲勞極限）§11.4影響持久極限的因素§11.5對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算§11.6持久極限曲線§11.7非對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算§11.8彎扭組合交變應力的強度計算§11.1交變應力與疲勞失效1.交變載荷：隨時間作周期性變化的載荷。2.時間周期性變化的應力稱為交變應力。3.疲勞失效：當物件長期在交變應力下工作時，往往在應力低于屈服極限或強度極限的情況而突然發(fā)生斷裂，即是塑性材料在斷裂前也無明顯的塑性變形，這種現(xiàn)象稱為疲勞失效。4.發(fā)展簡史：疲勞失效現(xiàn)象出現(xiàn)始于19世紀初葉，產(chǎn)業(yè)革命以后，隨著蒸汽機車和機動運載工具的發(fā)展，以及機械設備的廣泛應用，運動的部件破壞經(jīng)常發(fā)生。破壞往往發(fā)生在零部件的截面尺寸突變處，破壞的名義應力不高，低于材料的抗拉強度和屈服點。破壞的原因一時使工程師們摸不著頭腦。1829年，法國人（艾伯特）用礦山卷揚機焊鏈條進行疲勞實驗，疲勞破壞事故闡明。1939年法國工程師ponceletJ.V在巴黎大學講課時首/.先使用“疲勞”這一術語，來描述材料在循環(huán)載荷作用下承載能力逐漸耗盡以致最后突然斷裂的現(xiàn)象。5.抗疲勞設計的重要性絕大多數(shù)機器零件都是在交變載荷下工作，這些零部件疲勞失效是主要的破壞形式。例如轉(zhuǎn)軸有50%或90%都是疲勞破壞。其它如連桿、齒輪的輪點、渦輪機的葉片，軋鋼機的機架，曲軸，連接螺栓、彈簧壓力容器、焊接結(jié)構(gòu)等許多機器零部件，疲勞破壞占絕大部分。因此抗疲勞設拖拉機、動力機械、化工機械、重型機6.舉例tII②齒輪齒根應力③受迫振動的梁7.疲勞破壞特性8.破壞機理經(jīng)大量的實驗及金相分析證明，在足夠大的交變應力作用下，破壞原因：①金屬中位置最不利或者較弱的晶體沿最大切應力作用面形成滑移帶開裂形成微裂紋。/.②在物件外形突變（圓角、切口、溝槽等）或者表面刻痕或材料內(nèi)部缺陷等部位都不能因較大的應力集中引起微觀裂紋。③在交變應力作用下，微觀裂紋集結(jié)溝通形成宏觀裂紋，使物件截面削弱，削弱到一定極限時，物件突然斷裂。裂紋的形成、擴展和失穩(wěn)擴展是導致裂紋破壞的根源。光滑區(qū)是由于裂紋閉合交進行，裂紋的研磨而形成，粗糙區(qū)是驟然裂紋尖端屬于二力拉伸，平面應變張開時屬三向拉伸應狀態(tài)，因此由強度理論可知必然造成脆性斷裂?！?1.2交變應力的循環(huán)特征應力幅和平均應力1.應力循環(huán)——應力重復出現(xiàn)一次稱為一個應力循環(huán),重復出現(xiàn)的次數(shù)稱為循環(huán)數(shù)。3．循環(huán)特征（應力比）4．平均應力：5．應力幅：6．交變應力分類1．靜強度指標：/.2．疲勞強度指標：疲勞破壞均屬于低應力脆斷，即工作應力低于強度極限甚至低于屈服極限以下發(fā)生斷裂，因此必須測定新的強度指標——持久極限（疲勞極限）σ。（d=7~10mm表面磨光）10根。（2）試驗機：旋轉(zhuǎn)彎曲試驗機。（3）試驗步驟2）制定加載方案：b……Nmax3）開機記錄NN=10……鋼等黑色金屬N=10……鋁鎂有色金屬4．持久極限——試樣經(jīng)歷無限次循環(huán)而不發(fā)生疲勞，交變應力這一/.§11.4影響持久極限的因素1.σ-------1的。1槽孔缺口軸肩等....2342．以上因素都將影響持久極限的數(shù)值。因此必須將光滑小試件的持久極限σ加以修正，獲得構(gòu)件的持久極限才能用于構(gòu)件的設計。011k——有效應力集中因數(shù)σ——尺寸因數(shù)σβ——表面質(zhì)量因數(shù)（）構(gòu)件外形的影響（用帶槽、孔、缺口或軸肩的試樣試驗測持久極限（σ）——有應集中的持久極限。測定方法與前同。1K定義：或K1K1ddσ1K1K（σ）——無應力集中的光滑試件-1d（σ）——有應力集中同尺寸的光滑試件-1K查P349～351（2）構(gòu)件尺寸的影響（查表）持久極限一般只用直徑為～10mm面尺寸的增大，測得的持久極限相應降低。因為大試樣處于高應力狀態(tài)的晶粒要比小試樣多，所以形成裂紋的機會就多。/.或1d1dστ11（σ）——光滑大試樣的持久極限-1d（σ）——光滑小試樣的持久極限-1（3）構(gòu)件表面質(zhì)量的影響一般情況下，構(gòu)件的最大應力發(fā)生于表層，疲勞裂紋也多于表層生成。1）表面加工的刀痕、擦傷會引起應力集中降低持久極限，表面加工質(zhì)量有明顯影響表現(xiàn)在表面粗糙度。2）如構(gòu)件淬火，滲碳，氮化等熱處理或化學處理使表層強化；或者滾壓、噴丸等機械處理，使表層形成預壓應力，減弱引起裂紋的工作抗應力，這些明顯提高構(gòu)件的持久極限。（σ）——表面為其它加工情況下構(gòu)件的持久極限-1β（σ）——表面磨光的試樣的持久極限-1d查表P353354（4）構(gòu)件工作環(huán)境的影響如強度，介質(zhì)等也會影響持久極限，也可用修正因數(shù)來表示。3．構(gòu)件扭轉(zhuǎn)持久極限§11.5對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算1.許用應力法n—規(guī)定的安全因數(shù)σ—構(gòu)件危險點的最大工作應力max/.2.安全因數(shù)法n—工作安全因數(shù)n—規(guī)定的安全因數(shù)Example1.圖示旋轉(zhuǎn)階梯軸上，作用有一不變的彎矩1KN·m，已知材料的=600，=250，若規(guī)定的安全因數(shù)n=1.5，試校核此軸的MPab1強度。Solution00.840P1.0r/.m②以測定的各持久極限σ計算相應的，，σσ在坐標系可在坐標系內(nèi)確定一個對應點P。,mamarrrr,ma2.持久極限曲線的簡化折線①繪制材料的持久極限曲線需大量的試驗資料，因此通常采用測定,,10b—平均應力影響系數(shù)σ/.③與材料有關P，拉（壓）或彎曲、碳鋼，合金鋼σσ④斜線AC上各點縱坐標可寫成則,§11.7非對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算1.構(gòu)件的簡化折線2.安全因數(shù)法GHrrmmaxmaσK1σrmσ（c）rmm1Kmσaσσ1Kaσaσσ/.n1σKσaσm（e）σnτ1Kτaτmτ③一般情況下（補充靜強條件）Example1.圖示鋼軸，，受交變彎矩250MPa600MPa1b，，，軸的表面為磨削加工，若規(guī)M750NumM250Num0.05minσ定安全因數(shù)n，試校核此軸的強度。Solution：MM①應力計算②確定影響因數(shù)查表：P，K1.42349σP，（碳鋼）0.841.0352σP，353③校核：滿足強度要求。§11.8彎扭組合交變應力的強度計算1.鋼材光滑小試樣試驗資料表明：在同步彎扭組合對稱循環(huán)交變應力下，持久極限中的彎曲正應力和扭轉(zhuǎn)切應力，滿足橢圓關系：22（a）111—單一彎曲對稱循環(huán)持久極限1—單一扭轉(zhuǎn)對稱循環(huán)持久極限1/.2.構(gòu)件同步彎扭組合對稱循環(huán)交變應力下考慮到影響因素。22dd（b）1btK1K1K—構(gòu)件組合交變持久極限中的彎曲正應力bdrbK—構(gòu)件組合交變持久極限中的扭轉(zhuǎn)切應力tdrt）作橢圓的四分之一，顯然橢圓所圍成的區(qū)域是不引起疲勞失效的范圍。3.在彎扭組合交變下，設構(gòu)件工作彎曲正應力，把轉(zhuǎn)切應力為，設想擴大n倍（n和確定的C點落在橢圓n內(nèi)部，或者最多落在橢圓上。即由對稱循環(huán)下構(gòu)件的工作安全因數(shù)則上式變?yōu)檎淼茫骸獦?gòu)件彎扭組合對稱循環(huán)交變下的工作安全因數(shù)n—規(guī)定的安全因數(shù)n3.左式。為n,nExample