小學(xué)六年級奧數(shù)PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁第37頁共38頁六年級奧數(shù)-第四講幾何-平面部分教師版第四講平面幾何部分教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型2.掌握五大面積模型的各種變形知識點撥一、等積模型①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．如圖在中，分別是上的點如圖=1\*GB2⑴(或在的延長線上，在上)，則圖=1\*GB2⑴圖=2\*GB2⑵三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系．梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的對應(yīng)份數(shù)為．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半．相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形．五、燕尾定理在三角形中，，，相交于同一點，那么．上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.典型例題如圖，正方形ABCD的邊長為6，1.5，2．長方形EFGH的面積為．_H__H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H連接DE，DF，則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍．三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，,所以長方形EFGH面積為33．【鞏固】如_A__A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D本題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)．三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．證明：連接．(我們通過把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起)．∵在正方形中，邊上的高，∴(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)同理，．∴正方形與長方形面積相等．長方形的寬(厘米)．長方形的面積為36，、、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖：可得：、、，而即；而，．所以陰影部分的面積是：解法二：特殊點法．找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖：這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有：．【鞏固】在邊長為6厘米的正方形內(nèi)任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影部分面積．（法1）特殊點法．由于是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法，假設(shè)點與點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米．（法2）連接、．由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米．如圖所示，長方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，，，四邊形的面積為．利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進而求出四邊形的面積．由于長方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為．另解：從整體上來看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為．【鞏固】如圖，長方形的面積是36，是的三等分點，，則陰影部分的面積為．如圖，連接．根據(jù)蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以陰影部分面積為：．已知為等邊三角形，面積為400，、、分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積．(丙是三角形)因為、、分別為三邊的中點，所以、、是三角形的中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200．根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有，即，所以．又，所以．如圖，已知，，，，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是．連接，．根據(jù)題意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面積是40．如圖在中，分別是上的點，且，，平方厘米，求的面積．連接，，，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？連接．∵∴又∵∴，∴．【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，，，，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？連接．∵，∴，又∵，∴，∴，．如圖在中，在的延長線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．連接，，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖，平行四邊形，，，，，平行四邊形的面積是，求平行四邊形與四邊形的面積比．連接、．根據(jù)共角定理∵在和中，與互補，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．如圖所示的四邊形的面積等于多少？題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為的兩條邊重合，此時三角形將旋轉(zhuǎn)到三角形的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長為的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此，原來四邊形的面積為.(也可以用勾股定理)如圖所示，中，，，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積．如圖，將沿著點順時針旋轉(zhuǎn)，到達的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三點在一條直線上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為．根據(jù)面積比例模型，的面積為．如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，，、交于．已知、的長分別為、，求三角形的面積．如圖，連接，以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)到的位置．那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且，所以梯形的面積為：()．又因為是直角三角形，根據(jù)勾股定理，，所以()．那么()，所以()．如下圖，六邊形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，對角線垂直于，已知厘米，厘米，請問六邊形的面積是多少平方厘米？如圖，我們將平移使得與重合，將平移使得與重合，這樣、都重合到圖中的了．這樣就組成了一個長方形，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形的面積為平方厘米，所以六邊形的面積為平方厘米．如圖，三角形的面積是，是的中點，點在上，且，與交于點．則四邊形的面積等于．方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，，,設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo)所以方法二：連接，由題目條件可得到，，所以，，而．所以則四邊形的面積等于．【鞏固】如圖，長方形的面積是平方厘米，，是的中點．陰影部分的面積是多少平方厘米?設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.四邊形的對角線與交于點(如圖所示)．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長度是的長度的_________倍．在本題中，四邊形為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形．看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比．再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果．請老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知， 求：⑴三角形的面積；⑵？⑴根據(jù)蝴蝶定理，，那么；⑵根據(jù)蝴蝶定理，．如圖，平行四邊形的對角線交于點，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積．⑴根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；⑵由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，，所以，那么．如圖，長方形中，，，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積．連接，．因為，，所以．因為，，所以平方厘米，所以平方厘米．因為，所以長方形的面積是平方厘米．如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點．求圖中陰影部分的面積．因為是邊上的中點，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米．【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是平方厘米．連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．已知是平行四邊形，，三角形的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是平方厘米．連接．由于是平行四邊形，，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)．【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據(jù)蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據(jù)蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為(平方厘米)．如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為___________平方厘米．連接、．四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么長方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)．如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點．已知正方形的面積48，，則的面積是多少？由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形．在梯形中，和的面積是相等的．而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的．由于是等腰直角三角形，如果過作的垂線，為垂足，那么是的中點，而且，可見和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48．那么的面積為．下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、、、分別是，，，的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數(shù)，那么，的值等于．左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積．如下圖所示，在左圖中連接．設(shè)與的交點為．左圖中為長方形，可知的面積為長方形面積的，所以三角形的面積為．又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為．如上圖所示，在右圖中連接、．設(shè)、的交點為．可知∥且．那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形的面積為，梯形的面積為．在梯形中，由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：，所以三角形的面積為，那么四邊形的面積為．而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為．那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為，即，那么．如圖，中，，，互相平行，，則．設(shè)份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，進而有份，份，所以【鞏固】如圖，平行，且，，，求的長．由金字塔模型得，所以【鞏固】如圖，中，，，，，互相平行，，則．設(shè)份，，因此份，進而有份，同理有份，份，份．所以有如圖，已知正方形的邊長為，是邊的中點，是邊上的點，且，與相交于點，求方法一：連接，延長，兩條線交于點，構(gòu)造出兩個沙漏，所以有，因此，根據(jù)題意有，再根據(jù)另一個沙漏有，所以．方法二：連接，分別求，，根據(jù)蝴蝶定理，所以．如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點，交于，求的面積．解法一：由題意可得，、是、的中點，得，而，所以，并得、是的三等分點，所以，所以，所以，；又因為，所以．解法二：延長交于，如右圖，可得，，從而可以確定的點的位置，，，(鳥頭定理)，可得如圖，為正方形，且，請問四邊形的面積為多少？(法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以．(法)如圖，連結(jié)，則(，而，所以，()．而()，因為，所以，則()，陰影部分面積等于()．如右圖，三角形中，，，求．根據(jù)燕尾定理得（都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點評】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形中，，，求.根據(jù)燕尾定理得（都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【鞏固】如右圖，三角形中，，，求.根據(jù)燕尾定理得（都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點評】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，則三角形的面積為______，三角形的面積為________，三角形的面積為______．連接、、．由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，，，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，，所以，同樣分析可得，所以，．【鞏固】如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，求三角形的面積．連接BG，份根據(jù)燕尾定理，，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19【鞏固】如圖，中，，，那么的面積是陰影三角形面積的倍．如圖，連接．根據(jù)燕尾定理，，，所以，，那么，．同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍．【鞏固】如圖在中，,求的值．連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線.如圖，三角形的面積是，，，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少?設(shè)BG與AD交于點P，BG與AE交于點Q，BF與AD交于點M，BF與AE交于點N．連接CP，CQ，CM，CN．根據(jù)燕尾定理，，，設(shè)(份)，則(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,【鞏固】如圖，的面積為1，點、是邊的三等分點，點、是邊的三等分點，那么四邊形的面積是多少？連接、、．根據(jù)燕尾定理，，，所以，那么，．類似分析可得．又，，可得．那么，．根據(jù)對稱性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周圍的圖形的面積之和為，所以四邊形的面積為．右圖，中，是的中點，、、是邊上的四等分點，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？連接、．根據(jù)燕尾定理，，，所以；再根據(jù)燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點,求陰影部分面積.三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點為M，AF與CD的交點為N，BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為Q,連接AM、BN、CP=1\*GB2⑴求：在中，根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份),(份),(份),所以，所以,,所以,同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是面積的=2\*GB2⑵求：在中，根據(jù)燕尾定理,所以,同理在中，根據(jù)燕尾定理,所以，所以同理另外兩個五邊形面積是面積的，所以如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點,求中心六邊形面積.設(shè)深黑色六個三角形的頂點分別為N、R、P、S、M、Q，連接CR在中根據(jù)燕尾定理，,所以,同理,所以，同理根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果課后練習(xí)：已知的面積為平方厘米，，求的面積．，設(shè)份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米如圖，四邊形的面積是平方米，，，，，求四邊形的面積．連接．由共角定理得，即同理，即所以連接，同理可以得到所以平方米正方形的面積是120平方厘米，是的中點，是的中點，四邊形的面積是平方厘米．欲求四邊形的面積須求出和的面積．由題意可得到：，所以可得：將、延長交于點，可得：，而，得，而，所以．本題也可以用蝴蝶定理來做，連接，確定的位置(也就是)，同樣也能解出．如圖，已知，，，，則．將三角形繞點和點分別順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成三角形和，再連接，顯然，，，所以是