3.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)單調(diào)性1．理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．2．掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法．1．函數(shù)單調(diào)性的概念．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)性的應(yīng)用．(重點(diǎn))一.引入課題觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1問：隨x的增大，y的值有什么變化？畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：1．f(x)=x①從左至右圖象上升還是下______?②在區(qū)間____________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．2．f(x)=-2x+1①從左至右圖象上升還是下降______?②在區(qū)間____________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．

3．f(x)=x①在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．②在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．分類增函數(shù)減函數(shù)條件x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)結(jié)論函數(shù)f(x)在區(qū)間D上______函數(shù)f(x)在區(qū)間D上______1．定義域?yàn)镮的函數(shù)f(x)的增減性D?I，對(duì)任意x1，x2∈D增函數(shù)減函數(shù)圖示2.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是______________，

那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的_________．增函數(shù)或減函數(shù)單調(diào)區(qū)間1．函數(shù)y＝－x2的單調(diào)增區(qū)間為(

)A．(－∞，0]

B．[0，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)2．函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有(

)A．f(3)＜f(5)B．f(3)≤f(5)C．f(3)＞f(5)D．f(3)≥f(5)3．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間有________，遞減區(qū)間有________．[題后感悟]

(1)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性步驟如下：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常用的變形技巧有哪些？①因式分解．當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，作差后的變形通常進(jìn)行因式分解．如f(x)＝x3－1.②通分．當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，作差后往往進(jìn)行通分，然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解．如本例．③配方．當(dāng)原函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，作差后可以考慮配方，便于判斷符號(hào)．[題后感悟]

(1)利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性是常用的解題方法．但要注意函數(shù)的定義域．(2)寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開寫，不能用“∪”符號(hào)連接它們．[策略點(diǎn)睛]

[題后感悟]定義法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間①作差，因式分解；②判斷各因式符號(hào)；③如果各因式符號(hào)確定，則函數(shù)在整個(gè)定義域上具有單調(diào)性，如果有一個(gè)因式符號(hào)不確定，則需確定分界點(diǎn)以確定單調(diào)區(qū)間．因式符號(hào)必須是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒成立，如：本例因式x1x2－9.

3.求函數(shù)f(x)＝x3＋x在R上的單調(diào)區(qū)間．[解題過程]

f(x)＝x2－2(a－1)x＋3＝[x－(a－1)]2－(a－1)2＋3，∴此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝a－1.∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，a－1]．∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，∴對(duì)稱軸x＝a－1必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合．∴a－1≥4，解得a≥5.[題后感悟]

(1)二次函數(shù)是常見函數(shù)，遇到二次函數(shù)后就配方找對(duì)稱軸，畫出圖象，會(huì)給研究問題帶來很大的方便．(2)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要注意數(shù)形結(jié)合，采用逆向思維方法．4.(1)在本例中將“在(－∞，4]上是減函數(shù)”改為“在[4，＋∞)上是增函數(shù)”，其他條件不變，應(yīng)如何求a的范圍？(2)本例中，若將函數(shù)“在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)”改為“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，4]”，則a為何值？解析：

(1)f(x)＝[x－(a－1)]2＋3－(a－1)2對(duì)稱軸：x＝a－1∵f(x)在[4，＋∞)上是增函數(shù)．∴對(duì)稱軸只需在區(qū)間的左側(cè)，∴a－1≤4即a≤5.∴所求a的取值范圍是a≤5.(2)函數(shù)的減區(qū)間為(－∞，1－a]∴a－1＝4，∴a＝5.如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2

＋x)＝f(2－x)．試比較f(1)，f(2)，f(4)的大?。甗解題過程]

∵對(duì)任意x∈R，有f(2＋x)＝f(2－x)，∴(2＋x)2＋b(2＋x)＋c＝(2－x)2＋b(2－x)＋c.∴4x＋bx＝－4x－bx.∴8x＋2bx＝0，即(8＋2b)x＝0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．∴8＋2b＝0，b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4.即f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝2.∴函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)．又∵f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，且2＜3＜4，∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．[題后感悟]

(1)對(duì)任意x∈R，有f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．如若f(3＋x)＝f(3－x)對(duì)任意x∈R都成立，則f(x)的對(duì)稱軸為x＝3.(2)利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小，務(wù)必將自變量x的值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上才能進(jìn)行比較．

2．判定函數(shù)單調(diào)性的常見方法(1)定義法．這是證明或判定函數(shù)單調(diào)性的常用方法．(2)圖象法．根據(jù)函數(shù)圖象的升、降情況進(jìn)行判斷．(3)直接法．運(yùn)用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出．直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，可用到以下結(jié)論：◎已知f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)