協(xié)方差矩陣及n維正態(tài)分布1、設(shè)n維隨機(jī)變量的二階混合中心距：都存在，則稱矩陣為n維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣，它是一對(duì)稱矩陣。2、n維正態(tài)分布定義：若n維隨機(jī)變量的概率密度可以表示成以下的形式：其中，是的協(xié)方差矩陣，則稱n維隨機(jī)變量為n維正態(tài)隨機(jī)變量，記為，為n維正態(tài)概率密度函數(shù)。N維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)n維正態(tài)隨機(jī)變量的每一個(gè)分量都是正態(tài)變量；反之，若都是正態(tài)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，則是n維正態(tài)隨機(jī)變量。n維隨機(jī)變量服從n維正態(tài)分布的充要條件是的任意的線性組合服從一維正態(tài)分布；若服從n維正態(tài)分布，設(shè)是的線性函數(shù)，則也服從正態(tài)分布。若，為任意的矩陣，則有：為服從m元正態(tài)分布，即。設(shè)服從n維正態(tài)分布，則“相互獨(dú)立”與“兩不相關(guān)”是等價(jià)的。例：設(shè)取自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，求統(tǒng)計(jì)量的分布。解：由于，因此因此，。第一章作業(yè)解答1、設(shè)隨機(jī)向量的兩個(gè)分量相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（1）分別寫出隨機(jī)變量和的分布密度。（2）試問：和是否獨(dú)立？說明理由。解：（1）（2）由于因此，是服從正態(tài)分布的二項(xiàng)分布，其協(xié)方差矩陣為2、設(shè)為獨(dú)立的隨機(jī)變量，期望和方差分別為。（1）試求Z=XY和X的相關(guān)系數(shù)；（2）Z與X能否不相關(guān)？能否有嚴(yán)格線性函數(shù)關(guān)系？若能，試分別寫出條件。解：（1）醫(yī)用X,Y的獨(dú)立性，計(jì)算可知：（2）當(dāng)?shù)臅r(shí)候，即時(shí)，由于，故Z和X之間不會(huì)有線性相關(guān)關(guān)系。3、設(shè)是一個(gè)實(shí)的均值為零、二階矩存在的隨機(jī)過程，其相關(guān)函數(shù)為，且是一個(gè)周期為T的函數(shù)，即，試求方差函數(shù)。解：由定義知，4、考察兩個(gè)譜波隨機(jī)信號(hào)，其中式中A和為正的常數(shù)，是內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，B是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。求X(t)得均值、方差和相關(guān)函數(shù)；若與B獨(dú)立，求的互相關(guān)函數(shù)。解：（1）（2）5、設(shè)而隨機(jī)變量X、Y是相互獨(dú)立且都服從[0,1]上的均勻分布，求此過程的均值函數(shù)及相關(guān)函數(shù)。解：6、設(shè)隨機(jī)向量令隨機(jī)向量。試求隨機(jī)向量Y的協(xié)方差矩陣，。試問與是否獨(dú)立？證明你的結(jié)論。解：根據(jù)n維隨機(jī)變量的性質(zhì)（4），可知隨機(jī)向量Y服從正態(tài)分布，且協(xié)方差矩陣、均值向量、相關(guān)系數(shù)分別為：第二章離散的馬爾科夫過程（馬爾科夫鏈）1、設(shè)為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布為：定義隨機(jī)序列和如下：試問隨機(jī)序列和是否為馬氏鏈？如果是的話，請(qǐng)寫出其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣并研究各個(gè)狀態(tài)的性質(zhì)。不是的話，請(qǐng)說明理由。2、天氣預(yù)報(bào)模型如下：今日是否下雨依賴于前三天是否有雨（即一連三天有雨；前兩天有雨，第三天是晴天；…），試將此問題歸納為馬爾可夫鏈，并確定其狀態(tài)空間。如果過去一連三天有雨，今天有雨的概率是0.8；過去三天連續(xù)為晴