2022屆陜西省西安市高新區(qū)高三上學(xué)期第三次測試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出結(jié)果，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2．已知集合．若，且，則滿足條件的C的個(gè)數(shù)為（

）A．479 B．480 C．511 D．512【答案】B【分析】先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，求出對應(yīng)集合的子集，從而可求出滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，，所以此條件的集合C有，因?yàn)锳中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，而的非空子集有，所以滿足，且的集合的個(gè)數(shù)有,故選：B3．函數(shù)（且）與函數(shù)（且）在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)圖象過點(diǎn)特殊點(diǎn)，排除AD，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論判斷．【詳解】兩個(gè)函數(shù)分別為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)，其中二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，－1），故排除A，D；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)遞減，，C符合題意；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)遞增，，B不符合題意．故選：C．4．若，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（

）A．a(chǎn)<b<c<d B．d<b<c<a C．b<d<c<a D．d<c<b<a【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：，，即，；因?yàn)?，所以，即，即，又，所以，即，即，故選：C5．若函數(shù)在上無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.6．下列函數(shù)既是增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】逐一分析各選項(xiàng)的奇偶性、單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】對于A，函數(shù)定義域是R，，即是奇函數(shù)，又，顯然在R上遞增，在R上遞減，則在R上遞增，A是；對于B，函數(shù)定義域是R，，即是奇函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，即在上不遞增，B不是；對于C，定義域是，是奇函數(shù)，在定義域上不單調(diào)，C不是；對于D，定義域是，是奇函數(shù)，在定義域上不單調(diào)，D不是.故選：A7．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求二倍角公式可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】由得，∴或，又，∴∴，∴.故選：D8．在中，已知，判斷的形狀（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理得，再利用正弦的差角公式化簡整理得，進(jìn)而推斷，答案可得.【詳解】解：根據(jù)正弦定理由，得，即，所以，所以，所以為等腰三角形.故選：D.9．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作切線，過點(diǎn)作切線，連接，得到直線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知(2)(3)，整理可得答案．【詳解】過點(diǎn)作切線，過點(diǎn)作切線，連接，得到直線，由圖可知，的斜率的斜率的斜率，即(2)(3)，即(3)(3)(2)(2)，故選：B．10．若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱A，B為函數(shù)的一對友好點(diǎn)，記作，規(guī)定和是同一對友好點(diǎn)．已知，則函數(shù)的友好點(diǎn)共有(

)A．3對 B．5對 C．7對 D．14對【答案】C【分析】結(jié)合題意，將函數(shù)的友好點(diǎn)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用圖像求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)的友好點(diǎn)的對數(shù)即方程，的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示:可知共有7個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的友好點(diǎn)共有7對.故選:C．11．函數(shù)（）的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合其對應(yīng)的基本函數(shù)的平移過程確定函數(shù)圖象即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍覍θ我獾膞，均有，排除B；由，則是將增函數(shù)向左移一個(gè)單位，并把小于0部分的圖象翻折到x軸上方，∴結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象知C符合.故選：C12．若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，稱函數(shù)為“自重合”函數(shù)．下列函數(shù)中是“自重合”函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】切線在兩點(diǎn)處切線重合，先保證在不同點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相同，則A,B錯(cuò)誤，導(dǎo)數(shù)相同的情況下，確定切線相同，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，能夠找到導(dǎo)數(shù)相同，且切線相同的兩個(gè)點(diǎn)，所以正確【詳解】若曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，首先要保證兩點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相同；A選項(xiàng)中，；B選項(xiàng)中，；導(dǎo)數(shù)為單調(diào)函數(shù)，切點(diǎn)不同時(shí)，導(dǎo)數(shù)值不同，所以切線不可能重合，所以錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，，若斜率相同，則切點(diǎn)為和，代入解得切線方程分別為：和，若切線重合，則，此時(shí)兩切點(diǎn)為同一點(diǎn)，不符合題意，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，，令得：，則有點(diǎn)，切線分別為和，存在不同的兩點(diǎn)使得切線重合，故D正確故選：D【點(diǎn)睛】題目是新定義的題型，本質(zhì)是求不同兩點(diǎn)處的切線，保證切線相同，所以可以先保證斜率相同，在斜率相同的情況下，求出切線所過的點(diǎn)，寫出切線方程，保證方程相同二、填空題13．若函數(shù)，則________．【答案】##【分析】先根據(jù)時(shí)，得，進(jìn)而得函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)周期性求值即可得答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，故..故答案為：14．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則__________.【答案】2【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得的方程，解方程可得所求值．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)處的切線的斜率為，由切線與直線垂直，可得，解得故答案為：215．若曲線在處的切線方程為，則_______.【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，代入，其結(jié)果等于切線的斜率，即可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得切線的斜率為，又因?yàn)榍€在處的切線方程為，所以，解得.故答案為:16．函數(shù)的最大值為___________.【答案】2【分析】結(jié)合已知條件，可知最大值非負(fù)且取得最大值時(shí)，然后利用對號(hào)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，可知，顯然的最大值非負(fù)，因?yàn)椋援?dāng)取得最大值時(shí)，當(dāng)時(shí)，，令，由對號(hào)函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在的最小值為，故的最大值.故答案為：2.三、解答題17．（1）已知α是第三象限角，化簡：－；（2）化簡：【答案】（1）－2tanα；（2）cos2θ.【分析】（1）將原式等價(jià)變形為－，又，且，從而即可化簡；（2）將配湊為，因式分解為，最后借助平方關(guān)系即可化簡.【詳解】解：（1）因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以－＝－＝－＝－＝?tanα；（2）＝＝＝cos2θ.18．已知函數(shù)，且．(1)求的值．(2)判斷的奇偶性并證明．(3)判斷在上的單調(diào)性，并給予證明．【答案】(1)(2)為奇函數(shù)，證明見解析(3)函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析【分析】（1）由列方程可得的值；（2）由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷及證明的奇偶性；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，取值、作出、變形、定號(hào)、下結(jié)論即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，解得：．?）為奇函數(shù)．證明如下：因?yàn)?，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)?，因此函?shù)為奇函數(shù)．（3）在上為增函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，因此函?shù)在上為增函數(shù)．19．已知曲線.求該曲線的過點(diǎn)的切線方程.【答案】或.【分析】設(shè)出曲線過P點(diǎn)的切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標(biāo)帶入到切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)在曲線上，在點(diǎn)處切線的斜率為.切線方程為.又切線過點(diǎn)，且切點(diǎn)在曲線上整理得，即，解得或.當(dāng)，，即切線斜率為4時(shí)，切線的方程為；當(dāng)，，即切線斜率為1時(shí)，切線的方程為.綜上，所求切線方程為或.20．已知函數(shù)滿足，.（1）若在上恒成立，求a，c，d的值；（2）已知曲線在處的切線與曲線相切，求a的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，代入，，聯(lián)立可得，從而在R上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，控制范圍即得解；（2）結(jié)合（1）可求出在處的切線為，設(shè)其與的切點(diǎn)為，可得在處的切線方程為，則，求解即可【詳解】（1）由題意可知，，，即.從而，在R上恒成立，若，不恒成立；，解得，.綜上，可，.（2）由（1）知，，，曲線在處的切線方程為.①設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.②由①②得，解得，.21．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)在區(qū)間上的最大值為，求的值.(3)若函數(shù)的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，求的范圍.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，(2)(3)【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出，的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，建立方程關(guān)系即可求的值.（3）根據(jù)的單調(diào)性求得極值，令極大值大于，極小值小于，解不等式即可求的范圍.【詳解】（1）由可得，因?yàn)?，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單減區(qū)間為和.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，，則在區(qū)間上的最大值為，所以.（3）由（1）知當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，若函數(shù)的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，則得，解得，即的范圍是.22．已知直線過點(diǎn)，且傾斜角為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的直角坐標(biāo)方程與的參數(shù)方程；(2)若與相交于不同的兩點(diǎn),，求的值.【答案】(1)，（為參數(shù)）；(2)【分析】（1）直接利用可把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；根據(jù)過點(diǎn)和傾斜角為直接寫出直線的參數(shù)方程；（2）利用直線參方形式中t的幾何意義直接求解.【詳解】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為，即，將，代入得，即；因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）（注：只要能化為的其他形式的參數(shù)方程也對?。?）將直線的參數(shù)方程代入得設(shè)方程的兩根分別為，，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，所以，故23．已知（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分段討論得函數(shù)的解析式，再分別求解不等式可得答案；（2）