1999

年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷

一、選擇題（本題共

6

小題，每小題

5

分，滿分

30

分．每小題均給出了代號(hào)為

A

，B

，C

，

D

的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)里）

1、一個(gè)凸

n

邊形的內(nèi)角和小于1999

，那么

n

的最大值是（ ）

A

、11 B

、12 C

、13 D

、14

2、某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過(guò)

60

立方米，按每立方米

0.8元收

費(fèi)；如果超過(guò)

60

立方米，超過(guò)部分按每立方米

1.2元收費(fèi)。已知某用戶

4

月份的煤氣費(fèi)平均每立

方米

0.88元，那么

4

月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)（ ）

A

、60

元 B

、66

元 C

、75

元 D

、78

元

3、已知

1

1

|a

|

1，那么代數(shù)式

|a

|的值為（

）

a

a

A、

5

5

B、

C、

5

D、

5

2

2

4、在

ABC

中，D

是邊

BC

上的一點(diǎn)，已知

AC 5

，AD 6

，BD 10

，CD 5

，那么

ABC

的面積是（ ）

A

、30 B

、36 C

、72 D

、125

5、如果拋物線

y x2 k 1

x k 1

與

x

軸的交點(diǎn)為

A

，B

，項(xiàng)點(diǎn)為

C

，那么

ABC

的面積

的最小值是（ ）

A

、1 B

、2 C

、3 D

、4

6、在正五邊形

ABCDE 所在的平面內(nèi)能找到點(diǎn)

P

，使得

PCD

與

BCD

的面積相等，并且

ABP

為等腰三角形，這樣的不同的點(diǎn)

P

的個(gè)數(shù)為（ ）

A

、2 B

、3 C

、4 D

、5

二、填空題（本題共

6

小題，每小題

5

分，滿分

30

分）

1 1

7、已知

x ，y ，那么

x2 y

2

的值為 ．

3 2 3 2

8、如圖

1，正方形

ABCD 的邊長(zhǎng)為10cm

，點(diǎn)

E

在邊

CB

的延長(zhǎng)線上，且

EB 10cm

，點(diǎn)

P

在邊

DC

上運(yùn)動(dòng)，EP

與

AB

的交點(diǎn)為

F

．設(shè)

DP xcm

，

EFB

與四邊形

AFPD

的面積和為

ycm

2

，

那么，y

與

x

之間的函數(shù)關(guān)系式是 （0 x 10

）

A D

y

D

P C

F

A

E

B

C

O

x

圖

1 圖

2

9、已知

ab 0

，

a

2 ab 2b

2 0

，那么

2a b

的值為 ．

2a b

10、如圖

2，已知邊長(zhǎng)為

1

的正方形

OABC

在直角坐標(biāo)系中，A

，B

兩點(diǎn)在第Ⅰ象限內(nèi)，OA

與

x

軸的夾角為

30

，那么點(diǎn)

B

的坐標(biāo)是 ．

11、設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為

1

的正三角形，記作

A1（如圖

3），將

A1

的每條邊三等分，在中間的線

段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作

A2（如圖

4）；將

A2

的每條邊三等

分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作

A3（如圖

5）；再將

A3

的每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)

程，所得到的圖形記作

A4，那么

A4

的周長(zhǎng)是 ．

圖

3 圖

4 圖

5

12、江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等。如果用兩臺(tái)

抽水機(jī)抽水，40

分鐘可抽完；如果用

4

臺(tái)抽水機(jī)抽水，16

分鐘可抽完。如果要在

10

分鐘內(nèi)抽完

水，那么至少需要抽水機(jī) 臺(tái)。

三、解答題（本題共

3

小題，每小題

20

分，滿分

60

分）

13、設(shè)實(shí)數(shù)

s，t

分別滿足19s

2

99s

1

0

，

t

2

99t

19

0

，并且

st

1

，求

值。

st

4s

1

t

的

14、如圖

6，已知四邊形

ABCD

內(nèi)接于直徑為

3

的圓

O，對(duì)角線

AC

是直徑，對(duì)角線

AC

和

BD

的交點(diǎn)是

P，

AB

BD

，且

PC

0.6

，求四邊形

ABCD

的周長(zhǎng)。

B

A

O

P

C

D

圖

6

3 2 2 3

15、有人編了一個(gè)程序：從

1

開始，交錯(cuò)地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘

法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加

2

或加

3；每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘

2

或乘

3．例如，

30

可以這樣得到：1

4

8

10

30

．

（1）（10

分）證明：可以得到

22；

（2）（10

分）證明：可以得到

2100

297

2

．

1999

年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷參考答案

一、選擇題（本題共

6

小題，每小題

5

分，滿分

30

分．每小題均給出了代號(hào)為

A，B，C，

D

的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)里）

1、C 2、B 3、D 4、B 5、A 6、D

二、填空題

5

1

11、

64

12、6或 10、

，

3

3

9

7、10 8、

y

5x

50 9、

1

3

1

3

1

2

1

∴ ，t

是一元二次方程

x

2

99

x

19

0

的兩個(gè)不同的實(shí)根，于是，有

t

99

，

t

19

∴

st

4s

1

三、解答題

13、解：∵

s

0

∴第一個(gè)等式可以變形為：

99

19

0

s

s

又∵

st

1

1

s

1 1

s s

即

st

1

99

s

，

t

19

s

99s

4s

5

t 19s

14、解：設(shè)圓心為

O，連接

BO

并延長(zhǎng)交

AD

于

H．

∵

AB

BD

，O

是圓心

∴

BH

AD

又∵

ADC

90

∴

BH

//

CD

從而

OPB

∽

CPD A O

B

P

C

CD

CP

CD

0.6

又

OH

1

C

，于是

，即

BO PO 1.5 1.5

0.6

∴

CD

1

于是

AD

AC

2

CD

2

9

1

2

2

1

2 2

AB

AH

2

BH

2

2

4

6

，

BC

AC

2

AB

2

9

6

5

所以，四邊形

ABCD

的周長(zhǎng)為1

2

2

3

6

．

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 2

15、證明：（1）1

2

4

8

10

20

22

也可以倒過(guò)來(lái)考慮：

22

20

10

8

4

2

1

或者1

2

4

8

11

22

H

圖

6

D

2 2 2 2 2 2

（2）1

3

2

4

3

2

2

3

2

2

4

3

2

2

2

3

2

3

4

2 3 3 2

3

2

3

2

不短乘以2，再加2

3

2

96

-

4

3

2

96

-

1

2

99

2

96

-

3

2

99

2

96

-

1

2

2100

2

97

2

或倒過(guò)來(lái)考慮：

2 2 3 3 2

2 2 2 2

2100

2

97

2

2

99

2

96

1

2

99

2

96

3

3

2

96

1

3

2

96

4

3

2