整理:英德市一中陳健偉頁(yè)2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(I卷)本試題卷共5頁(yè)，24題(含選考題)。全卷總分值150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的?！?〕設(shè)集合，，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：，．故．應(yīng)選D．〔2〕設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：由可知：，故，解得：．所以，．應(yīng)選B．〔3〕等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，故，而，因此公差∴．應(yīng)選C．〔4〕某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車丫的時(shí)候是隨機(jī)的，那么他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：如下圖，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型，所求概率．應(yīng)選B．〔5〕方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為，那么的 取值范圍是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：表示雙曲線，那么，∴由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距，∴焦距，解得∴，應(yīng)選A．〔6〕如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．假設(shè)該幾何體的體積是，那么它的外表積是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：原立體圖如下圖：是一個(gè)球被切掉左上角的后的三視圖外表積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和應(yīng)選A．〔7〕函數(shù)在的圖像大致為〔A〕 〔B〕〔D〕【解析】：，排除A；，排除B；時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞減，排除C；應(yīng)選D．〔8〕假設(shè)，，那么 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】： 由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯(cuò)誤；由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，B錯(cuò)誤；要比擬和，只需比擬和，只需比擬和，只需和，構(gòu)造函數(shù)，那么，在上單調(diào)遞增，因此，又由得，∴，C正確；要比擬和，只需比擬和，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，又由得，∴，D錯(cuò)誤；應(yīng)選C．〔9〕執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，，，那么輸出的值滿足 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；輸出，，滿足；應(yīng)選C．〔10〕以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，,，那么的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 〔A〕2 〔B〕4 〔C〕6 〔D〕8【解析】：以開口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開口同理設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，如圖：F設(shè)，，點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)∴……①；點(diǎn)在圓上，∴……②；點(diǎn)在圓上，∴……③；聯(lián)立①②③解得：，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．應(yīng)選B．〔11〕平面過正方體的頂點(diǎn)，平面，平面 ，平面，那么所成角的正弦值為 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】：如下圖：∵，∴假設(shè)設(shè)平面平面，那么又∵平面∥平面，結(jié)合平面平面∴，故，同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小．而〔均為面對(duì)交線〕，因此，即．應(yīng)選A．〔12〕函數(shù)，為的零點(diǎn)，為 圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，那么的最大值為 〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5【解析】：由題意知：那么，其中，在單調(diào)，接下來(lái)用排除法：假設(shè)，此時(shí)，在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào)；假設(shè)，此時(shí)，滿足在單調(diào)遞減。應(yīng)選B．二、填空題：本大題共3小題，每題5分?！?3〕設(shè)向量a，b，且abab，那么．【解析】：由得：，∴，解得．〔14〕的展開式中，的系數(shù)是．〔用數(shù)字填寫答案〕【解析】：設(shè)展開式的第項(xiàng)為，，∴．當(dāng)時(shí)，，即，故答案為10．〔15〕設(shè)等比數(shù)列滿足，，那么的最大值為．【解析】：由于是等比數(shù)列，設(shè)，其中是首項(xiàng)，是公比．∴，解得：．故，∴，當(dāng)或時(shí)，取到最小值，此時(shí)取到最大值．所以的最大值為64．〔16〕某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，那么在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元．【解析】：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件，B產(chǎn)品件，根據(jù)所消耗的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)那么約束為目標(biāo)函數(shù)；作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為，在處取得最大值，三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．〔17〕〔本小題總分值12分〕 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，． 〔Ⅰ〕求； 〔Ⅱ〕假設(shè)，的面積為，求的周長(zhǎng)．【解析】：=1\*GB2⑴ ，由正弦定理得：，∵，，∴∴，，∵，∴=2\*GB2⑵ 由余弦定理得：，，，∴，∴，∴周長(zhǎng)為〔18〕〔本小題總分值12分〕 如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，且二面角與二面角都是． 〔Ⅰ〕證明：平面平面； 〔Ⅱ〕求二面角的余弦值．【解析】：=1\*GB2⑴ ∵為正方形，∴，∵，∴，∵∴面，面，∴平面平面=2\*GB2⑵ 由=1\*GB2⑴知，∵，平面，平面∴平面，平面∵面面∴，∴∴四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，，，，設(shè)面法向量為，，即，，設(shè)面法向量為，.即，，設(shè)二面角的大小為.，二面角的余弦值為〔19〕〔本小題總分值12分〕 某公司方案購(gòu)置2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)置這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件缺乏再購(gòu)置，那么每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)置機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)置幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)置2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)置的易損零件數(shù)． 〔Ⅰ〕求X的分布列； 〔Ⅱ〕假設(shè)要求，確定的最小值； 〔Ⅲ〕以購(gòu)置易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【解析】：=1\*GB2⑴ 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件記事件為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件由題知，設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為，那么的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122=2\*GB2⑵ 要令，，那么的最小值為19；=3\*GB2⑶ 購(gòu)置零件所需費(fèi)用含兩局部，一局部為購(gòu)置機(jī)器時(shí)購(gòu)置零件的費(fèi)用，另一局部為備件缺乏時(shí)額外購(gòu)置的費(fèi)用當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為所以應(yīng)選用〔20〕〔本小題總分值12分〕 設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)． 〔Ⅰ〕證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程； 〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【解析】：⑴ 圓A整理為，A坐標(biāo)，如圖，，那么，由，那么，根據(jù)橢圓定義為一個(gè)橢圓，方程為，()；⑵ ；設(shè)，因?yàn)椋O(shè)，聯(lián)立：，那么圓心到距離，所以， 〔21〕〔本小題總分值12分〕 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． 〔Ⅰ〕求的取值范圍； 〔Ⅱ〕設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】：=1\*GB2⑴ 由得：① 假設(shè)，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；② 假設(shè)，那么，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;即：↓極小值↑故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)由于，，那么，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．而當(dāng)時(shí)，，，故那么的兩根，，，因?yàn)?，故?dāng)或時(shí)，因此，當(dāng)且時(shí)，又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)．此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．③ 假設(shè)，那么，當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增．即：+0-0+↑極大值↓極小值↑而極大值故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．④ 假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．⑤ 假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增即：+0-0+↑極大值↓極小值↑故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，即的取值范圍為．=2\*GB2⑵ 由得：，不難發(fā)現(xiàn)，，故可整理得：,，那么，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，,那么，故單調(diào)遞增，有．因此，對(duì)于任意的，．由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，那么必有令，那么有而，，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：．請(qǐng)考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分．〔22〕〔本小題總分值10分〕選修4－1：幾何證明選講 圖，是等腰三角形，．以為圓心，為半徑作圓． 〔Ⅰ〕證明：直線與⊙相切； 〔Ⅱ〕點(diǎn)在⊙上，且四點(diǎn)共圓，證明：．【解析】：⑴ 設(shè)圓的半徑為，作于∵,∴∴與相切⑵ 方法一：假設(shè)與不平行,與交于,∵四點(diǎn)共圓,∴∵,∴由①②可知矛盾,∴方法二：因?yàn)?，因?yàn)樗詾榈闹写咕€上，同理所以的中垂線，所以．〔23〕〔本小題總分值10分〕選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線． 〔Ⅰ〕說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程； 〔Ⅱ〕直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，假設(shè)曲線與的公共點(diǎn)都在上，求．【解析】：=1\*GB2⑴ 〔均為參數(shù)〕,