前言本書(shū)旨在使讀者理解經(jīng)濟(jì)模型化思想以及如何運(yùn)用數(shù)學(xué)模型化的方法和技巧，解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型化（MathematicalModelling）是指提出、設(shè)計(jì)、建立、求解、論證及使用數(shù)學(xué)模型的整個(gè)過(guò)程。其目的在于研究開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中分析問(wèn)題、邏輯思維和輔助決策的作用和功能。本書(shū)共由四個(gè)模塊構(gòu)成:第一模塊為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化過(guò)程的基礎(chǔ)理論部分，主要包括數(shù)學(xué)模型基本理論、數(shù)學(xué)模型化一般程序、以及為實(shí)現(xiàn)模型化必須進(jìn)行的信息收集與評(píng)價(jià)等內(nèi)容。這部分由三章組成：第一章在給出各種簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論了數(shù)學(xué)模型的基本概念和性質(zhì)，闡明了模型與原型及其邏輯關(guān)系。第二章在明確信息的數(shù)量化是建造模型的前提下，討論了數(shù)量化與量綱的問(wèn)題，然后對(duì)數(shù)學(xué)模型的特性、應(yīng)用條件及應(yīng)用的評(píng)判準(zhǔn)則進(jìn)行了說(shuō)明，最后詳細(xì)論述了模型化過(guò)程的問(wèn)題。第三章介紹了模型化信息的收集方法和模型化信息的處理方法。第二模塊為微觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量決策分析模型的討論與研究，主要內(nèi)容包括運(yùn)籌學(xué)模型化過(guò)程中如何表述目標(biāo)，確定環(huán)境因素，選擇標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，最優(yōu)性條件的確定及最優(yōu)解（或滿(mǎn)意解）的求出。這部分內(nèi)容由第四章、第五章組成：第四章論述了銷(xiāo)售機(jī)理模型化過(guò)程，主要由銷(xiāo)售機(jī)理分析、成本機(jī)理分析、風(fēng)險(xiǎn)機(jī)理分析、時(shí)間機(jī)理分析、約束問(wèn)題分析等部分構(gòu)成；第五章在第四章銷(xiāo)售機(jī)理模型化過(guò)程的基礎(chǔ)上，給出了多目標(biāo)多指標(biāo)模型的一般形式。并對(duì)單目標(biāo)最優(yōu)解的性質(zhì)進(jìn)行了分析。指出了各種經(jīng)濟(jì)量對(duì)數(shù)量決策的影響。此外研究了非線(xiàn)性共軛對(duì)偶理論的應(yīng)用。第三模塊內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：第一部分介紹了系統(tǒng)論的思想與方法，第二部分為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型化過(guò)程。本模型塊由第六章、第七章組成：第六章主要討論經(jīng)濟(jì)控制論模型，首先闡述了系統(tǒng)論的方法和規(guī)律，最后給出了一個(gè)具體宏觀經(jīng)濟(jì)控制模型。第七章為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型分析，計(jì)量模型的特點(diǎn)在于首先提出經(jīng)濟(jì)假說(shuō)，然后確立變量之間的因果關(guān)系，在收集統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上，估計(jì)模型參數(shù)，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。最后運(yùn)用模型估計(jì)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和政策評(píng)價(jià)。本章包括計(jì)量模型分析的基礎(chǔ)和建立計(jì)量模型的一些基本方法。首先討論構(gòu)成計(jì)量分析基礎(chǔ)的最小二乘法，然后指出在實(shí)證分析中運(yùn)用計(jì)量模型應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，最后探討計(jì)量分析的一些新發(fā)展。第四模塊為本書(shū)的最后一章，作為經(jīng)濟(jì)模型化過(guò)程的應(yīng)用實(shí)例，在本章中給出了幾個(gè)案例，主要涉及到宏觀經(jīng)濟(jì)周期變化、投資模型的最優(yōu)條件、宏觀經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用等問(wèn)題。第八章主要內(nèi)容如下：首先討論卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型和最優(yōu)外資規(guī)模的決定模型，然后對(duì)馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖式與哈羅多―多馬模型進(jìn)行比較，最后討論市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中消費(fèi)者經(jīng)濟(jì)行為的數(shù)學(xué)模型描述以及企業(yè)的行為表征。本書(shū)作者之一楊健博士自1986年在中國(guó)人民大學(xué)開(kāi)設(shè)全校研究生選修課程"經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化"。此后，龔德恩教授、任朝佐教授、嚴(yán)守權(quán)副教授、趙國(guó)慶副教授等都曾講授此課程，他們的貢獻(xiàn)推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化的研究。十年后的今天此書(shū)終于在同行們的關(guān)心下問(wèn)世。此外，中國(guó)人民大學(xué)的魏權(quán)齡教授、英國(guó)蘭卡斯特大學(xué)的GrahamK.Rand教授、日本國(guó)京都大學(xué)的森棟公夫教授，都曾對(duì)本書(shū)提出許多非常有益的建議，在此一并向他們表示衷心的謝意。特別要提到的是王戈、周?chē)?guó)棟、崔惠軍、尹明玉，他們?cè)诒緯?shū)的打印輸入及校對(duì)公式中付出了艱辛的勞動(dòng)。中國(guó)人民大學(xué)出版社潘旭燕女士作為本書(shū)的責(zé)任編輯付出了辛勤勞動(dòng)，在此謹(jǐn)表謝意。本書(shū)中的一些研究成果為國(guó)家"211"工程項(xiàng)目"中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行模擬和分析系統(tǒng)"的一部分，本書(shū)的部分章節(jié)構(gòu)成北京市普通高等學(xué)校教育教學(xué)改革試點(diǎn)立項(xiàng)研究的基礎(chǔ)。本書(shū)作為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化過(guò)程分析的一個(gè)嘗試還存在著不少不足之處，懇切希望廣大讀者指正。著者洋攤司碰卻1998懸年8月厭搬第一章數(shù)悠學(xué)模型概論個(gè)潤(rùn)淚§膠1.1引耕言刊任何模型都敲是原型的一澇種表現(xiàn)形式澤，而原型則昆指我們所研使究的對(duì)象。禽我們所討論欺的模型是依曾據(jù)原型，由阿人來(lái)構(gòu)造的鑄模型，它是公人對(duì)客觀世普界的一種理嶄解。廣義而但言，由于世鴿間的事物皆蘭有同一性，俊故任何事物孔都可能成為堅(jiān)另一事物的屆模型；但對(duì)鄙千差萬(wàn)別的昌具體事物而巖言，模型又剩是有條件的距。稿構(gòu)造模型是故研究和解釋秘客觀世界的法一種手段。雷它使人們?cè)诟舯仍同F(xiàn)存辨條件更為有智利的條件下孤研究原型。圈模型可以是凈實(shí)體，也可虎以是理論；岡既可以定性短，也可以定雁量；可以具專(zhuān)體，亦可抽怪象。借助模馳型，人們可鉆以從不同的距側(cè)面、不同曲的層次，去肆認(rèn)識(shí)原型。尖尤其是在現(xiàn)鞏實(shí)世界里，觀有一些研究石工作無(wú)法在設(shè)原型上直接峽進(jìn)行，因此精人們需要構(gòu)支造模型來(lái)解繡決理論和實(shí)除踐中的問(wèn)題原。模型是對(duì)焰原型的一種層近似，它們肚之間存在著缸某種因果關(guān)犯系。抽象地許說(shuō)，模型是店原型的映象挑。辰模型的性質(zhì)錯(cuò)煎作為一個(gè)模畝型，應(yīng)具備芒以下三個(gè)性倆質(zhì)：胞1.近似性沉：模型是原年型若干特征即或內(nèi)在聯(lián)系胸的模仿或近宋似。掀2.主觀性蹈：模型基于確構(gòu)模者對(duì)原旋型以及"模釀型空間"的葉理解。顏3.能動(dòng)性先：模型可以步能動(dòng)地反映遇原型，乃至選在時(shí)空上超哈越原型的現(xiàn)耍狀。賣(mài)正是模型的嚷這些性質(zhì)，只使得人們愈點(diǎn)來(lái)愈多地利顛用模型，重嗎視模型，并銜開(kāi)始探索建鍵模的方法。丑建立模型不盯僅需要對(duì)原腹型的深刻理態(tài)解，而且需買(mǎi)要一定的技訊巧、抽象和防想象力。模竟型化方法是齊學(xué)習(xí)建模的修基礎(chǔ)，抽象樸與想象則需列在實(shí)踐中培歸養(yǎng)。就如作尼畫(huà)需要對(duì)景覽物的敏銳觀余察，訓(xùn)練有腿素的技巧和黃藝術(shù)的抽象勉與想象。當(dāng)踐然，不斷地馳鉆研、探索頃、創(chuàng)新，是劍步入科學(xué)殿芒堂的必由之蚊路。佛對(duì)于同一原麗型，可以有秀不同的模型綢。如何評(píng)價(jià)介模型的優(yōu)劣仆是模型化關(guān)辦心的問(wèn)題之紐一。模型的霜價(jià)值應(yīng)取決松于模型化的誤目的。換言縫之，模型的繡優(yōu)劣應(yīng)由其妥解決問(wèn)題的涉優(yōu)劣而定。守如果一個(gè)模街型突出了原朝型的主要矛國(guó)盾和主要特瓜征，從而有冶助于我們分惠析和解決問(wèn)揭題，它就是預(yù)一個(gè)好模型傷。居模型的種類(lèi)償甚多。依據(jù)詠不同的準(zhǔn)則東，有以下幾抱類(lèi)主要的模懷型：堤1.按照相眨似程度劃分問(wèn)：誕有同構(gòu)模型這(Isom喜orphi鷹cMod音el)和同測(cè)態(tài)模型(H該omomo盲rphic譯Mode踩l)。前者云與其原型之偉間存在著一螺一對(duì)應(yīng)的關(guān)筑系，即同構(gòu)色關(guān)系；后者贈(zèng)與其原型的命部分相對(duì)應(yīng)蹄，依其相似殲程度可細(xì)分偉為精確的(貧Acura苦te)、適謠度的(Ad旅equat煌e)、和粗鏟略的(Co咐arse)歪三種同態(tài)?？嵝?。臨2.按照結(jié)趁構(gòu)性態(tài)劃分主：耕有形象模型歇(Icon群icMo軍del)和痛抽象模型(仆Abstr瘋actM省odel)哀之分。前者伏是由改變現(xiàn)余實(shí)原型的度減量、尺度或墾維數(shù)而得到溜的，其構(gòu)造非多為依據(jù)P纏定理（見(jiàn)第宋二章）和相嚷似性原理，包故又稱(chēng)比例征模型(Sc籠aleM階odel)房；后者是用宗抽象的符號(hào)刪、圖表、語(yǔ)膨辭等表述的叫模型。抽象翼模型又可細(xì)璃分為3類(lèi)：喇所1）比擬模詢(xún)型(叼Analo蘇gMod濟(jì)el)：它抽建立在不同豐的事物之間檔，模型與原婚型存在著同鐵構(gòu)或同態(tài)斷的關(guān)系。例犁如用一組可游控的條件來(lái)代表征真實(shí)原藏型，通過(guò)模哄擬性實(shí)驗(yàn)研亦究原型的插變化規(guī)律，昏這組可控條判件就是比擬摧模型。鏈2）概念模高型(Con竊cept獄Model電)：它是憑回借現(xiàn)有的知爪識(shí)，提出的嘗關(guān)于原型的持結(jié)構(gòu)與特應(yīng)性的表述。紛概念模型往信往是抽象的稈、原始的。睛日3）數(shù)學(xué)模源型(Mot欄hemat腰ical蔑Model長(zhǎng))：它是用羊數(shù)學(xué)語(yǔ)言表南達(dá)原型結(jié)構(gòu)御、特征、及箱內(nèi)在聯(lián)系牢的模型。例銜如，用字母侮、數(shù)字或其躲它有特別含隱意的數(shù)學(xué)符孩號(hào)建立起來(lái)類(lèi)的等式、不飛等式、圖梨象、以及框程圖等，都是圖數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，春當(dāng)它們表征加一個(gè)特定原蒼型時(shí)，就是嶄數(shù)學(xué)模型令。逢3.按照對(duì)掏原型的了解今程度劃分：饒?zhí)延邪紫淠Ｐ图?Whit蓬eBox拆Mode餐l)、黑箱眉模型(Bl帝ackB頸oxMo贈(zèng)del)和些灰箱模型(休Grey趕BoxM火odel)濤三種。構(gòu)模糾者對(duì)原型內(nèi)雞部的結(jié)構(gòu)與氧特性的了解僚程度分別是敬完全了解、鞏完全不了解末和部分了解勞。畝關(guān)于模型的跳劃分，不同違的準(zhǔn)則劃分鬧的類(lèi)型也不赴同。例如有傻人認(rèn)為能真猶正劃分的模繼型只有兩類(lèi)熟：實(shí)物模型樸(Phys鋤ical戲orMa員teria慎lMod恨el)和符雁號(hào)模型(S梁ymbol亡icor屑Form贊alMo恢del)。獄實(shí)物模型是饞有形的、可鴿觸知的、實(shí)室體的模型化哪表達(dá)，模型迫的元素由物雪質(zhì)或硬件構(gòu)榴成。如形象耗模型、硬件鋸比例模型、稱(chēng)和比擬計(jì)算鬧機(jī)模型等。爺符號(hào)模型是謙理論的、符鞠號(hào)的、抽象奴的模型化表捉達(dá)，模型元記素由原型的衰特定結(jié)構(gòu)或鋼行為的若干識(shí)方面的符號(hào)腫表述。如圖尤樣、語(yǔ)詞表替達(dá)、邏輯模搏型、數(shù)學(xué)模券型以及計(jì)算抄機(jī)程序等等博。關(guān)于模型舒的性質(zhì)及其次分類(lèi)將在第堪二章進(jìn)行詳茶細(xì)地討論。丘冤在一切模型也之中，數(shù)學(xué)權(quán)模型是用途巨最廣泛的一缸種。多少世暈紀(jì)以來(lái)，數(shù)板學(xué)以其高深練玄妙而被譽(yù)簽為自然科學(xué)換的"皇后"奮。然而在科鍛學(xué)技術(shù)突飛騎猛進(jìn)的今天弊，多學(xué)科相代互交融，邊算緣學(xué)科不斷塔涌現(xiàn)。"皇腰后"屈尊降苗為各學(xué)科的未"侍女"，削應(yīng)運(yùn)而生的矮交叉學(xué)科舉協(xié)不勝舉。如再生物數(shù)學(xué)、渴數(shù)理醫(yī)藥學(xué)溝、計(jì)量經(jīng)濟(jì)子學(xué)、計(jì)量地李理學(xué)、數(shù)量櫻經(jīng)濟(jì)學(xué)等等餅，猶如群芳畢爭(zhēng)春，競(jìng)相仇綻放。雖然矩新學(xué)科各有姐異彩，人們勵(lì)注意到一個(gè)曬事實(shí)：它們謀的共同之處短就是都借助奸數(shù)學(xué)模型研嗽究各自的原嫩型世界！這墊些新興學(xué)科拉的成功無(wú)一饞不是得益于句數(shù)學(xué)模型的僻利用。尤其狠是在這個(gè)計(jì)婚算機(jī)時(shí)代，跳往日只有數(shù)紅學(xué)家才能完仁成的計(jì)算工紡作，如今一酷般人也能完愉成，這一切甘使得數(shù)學(xué)模障型的應(yīng)用成債為可能，因辭此，模型化慨工作日益受基到人們的重施視。招應(yīng)當(dāng)看到，漸即使在今天廊，人們對(duì)數(shù)煎學(xué)模型的本鉆質(zhì)仍有許多劉誤解。例如森有人認(rèn)為數(shù)器學(xué)模型是一肯種語(yǔ)言，很胖容易予以文局字解釋。這糟恰恰與實(shí)際交情況相左，及數(shù)學(xué)模型的樹(shù)一般性常常柄使人不知所挺云。還有人錦認(rèn)為數(shù)學(xué)模爬型及其結(jié)果量總是正確的濃，科學(xué)的，亦這也是荒謬某的。雖然基弱于一組自封步閉的公理系悠統(tǒng)的數(shù)學(xué)本柄身，在前提做正確和推理糞無(wú)誤的條件走下，結(jié)果必皮然正確。但干是數(shù)學(xué)模型賠畢竟不是數(shù)遺學(xué)理論，它宗基于關(guān)于原滿(mǎn)型的假說(shuō)，姿因此數(shù)學(xué)推膠證充其量是珠一個(gè)佐證。副假說(shuō)必須用蠶事實(shí)驗(yàn)證，課換言之，不拔論是前提還脈是結(jié)果都必羨須以事實(shí)為仇依據(jù)。最后駁需要指出的辱錯(cuò)誤觀點(diǎn)是跟認(rèn)為數(shù)學(xué)模默型沒(méi)有用處擋。我們且不梢贅舉數(shù)學(xué)模毅型的輝煌成過(guò)就，僅以質(zhì)塊與量是構(gòu)成清事物屬性的剖兩個(gè)方面，針缺少量的刻送劃則無(wú)法全朵面地認(rèn)識(shí)事跪物，就足以斬反駁這種觀站點(diǎn)。塘本書(shū)著重探賴(lài)討經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)賊模型化方法雪以及模型化筋理論與程序候。在經(jīng)濟(jì)工爐作中利用數(shù)封學(xué)模型進(jìn)行末分析、預(yù)測(cè)湯、研究和決授策，往往可擔(dān)以增加收益裁，降低消耗臣、減免風(fēng)險(xiǎn)邁、縮短時(shí)間以、合理地利乒用有限的資帽源以獲得最套佳的效益。存隨著計(jì)算機(jī)延的普及和計(jì)嚇?biāo)銠C(jī)技術(shù)的蒼發(fā)展，數(shù)學(xué)獲模型在經(jīng)濟(jì)摩領(lǐng)域?qū)⒂懈聫V泛的應(yīng)用陜。奇§民1.2數(shù)況學(xué)模型基本精概念座數(shù)學(xué)模型是興相對(duì)于一定衫的概念、系算統(tǒng)、或過(guò)程夕而存在的。涂E.A.本乓德[5]在架他的《數(shù)學(xué)脆模型引論》互中這樣寫(xiě)道前："數(shù)學(xué)模軌型是關(guān)于部謀分現(xiàn)實(shí)世界嘴和為一種特受殊目的而作群的一個(gè)抽象附的、簡(jiǎn)化的刃數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。沈"具體地講國(guó)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)搶就是由若干柏字母、數(shù)字罵、及含有特?cái)偠ㄒ饬x的符報(bào)號(hào)建立起的憂(yōu)等式、不等敗式、序關(guān)系鏡、邏輯式、徹圖表、圖象怨和框圖。數(shù)鋤學(xué)模型和原蜘型是一對(duì)范妖疇，相互依談存、相互對(duì)蛇立。孤立的賺數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不蒙是嚴(yán)格意義勺下的數(shù)學(xué)模屬型。數(shù)學(xué)模撫型化的概念某與數(shù)學(xué)模型早不同，它是江指建立數(shù)學(xué)速模型和利用蛾數(shù)學(xué)模型的尿全過(guò)程。可紛以斷言，從走研究數(shù)學(xué)模局型轉(zhuǎn)到研究憐數(shù)學(xué)模型化皆是一個(gè)必然出的趨勢(shì)。模攝型化研究具懸有廣闊前景漏。拌在此我們介吸紹幾個(gè)簡(jiǎn)單踢的模型，使妖我們形成對(duì)膀數(shù)學(xué)模型的刻直觀認(rèn)識(shí)。岔滅【例1.2井.1】資源魂的配置疊資源短缺是筒全世界共同檔面臨的問(wèn)題欺。如何有效漸地利用現(xiàn)有劃的資源，使胞經(jīng)濟(jì)單位自持身的經(jīng)濟(jì)效可益最大，乃濁是許多經(jīng)濟(jì)洗學(xué)家研究的村課題。雖然尚原型的差異濱甚多，我們煩仍可抽象地厘假設(shè)原型問(wèn)拋題是利用m江種有限資源減生產(chǎn)n種商未品的最佳決臟策。如果已滔知第i種商籮品的單位創(chuàng)劍利額是ci示,(i=1毫,執(zhí)…心,n）；生屠產(chǎn)單位商品到i需消耗a甜ij單位的呼資源j,(蹤i=1,蔬…釋,nj=災(zāi)1,持…尿,m)；現(xiàn)況有資源j的崇總量為bj儲(chǔ)，(j=1唯,籌…揉,m)；待府決策的商品全i的數(shù)量為榜xi，(i盜=1,覺(jué)…踏,n)。則啦可得出決策饞的選擇范圍蠟是滿(mǎn)足下列他約束條件的管x=(x1豬,寫(xiě)…井xn)T絞j=1,奪…衡,m昌xi3奶0關(guān)判別決策優(yōu)積劣的目標(biāo)是咳創(chuàng)利額如藏我們記x=緩(x1,腹…汁xn)儀A=(ai辯j)n密′葉m顆C=(c1拳,邀…甲cn)T充b=(b1就,悉…柴bn)T拔就得到一個(gè)床數(shù)學(xué)模型沉maxc贏Tx(1戴-2-1)屋翻s.t.遼Ax￡b蜘x30位這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)樓構(gòu)稱(chēng)為線(xiàn)性龍規(guī)劃，與其企相應(yīng)的有完鮮整的理論與海算法。企【例1.2沉.2】人向口的預(yù)測(cè)商人口問(wèn)題困潮擾著許多發(fā)筋展中國(guó)家，異經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)胸人口預(yù)測(cè)作竭過(guò)許多嘗試鋸。我們考慮帥一種最簡(jiǎn)單豪的情況。假章設(shè)某個(gè)國(guó)家澤在時(shí)刻t=金t0年的人螺口數(shù)目x(兆t0)=x錢(qián)0，由歷年梅統(tǒng)計(jì)加權(quán)得浩到平均出生件率h，平均逮死亡率d，典于是對(duì)t嘆3t0可授以得到一個(gè)旁粗糙的模型機(jī)或抓其中，r也=h－d程是凈生殖率猾，由初始條姐件解出蹦脾利用這個(gè)模最型我們可以稻預(yù)測(cè)這個(gè)國(guó)論家未來(lái)的人?？凇＿@個(gè)簡(jiǎn)關(guān)單模型說(shuō)明斃在外界條件妹不變的情況逢下，人中將品呈指數(shù)增長(zhǎng)梨。騾【例1.2規(guī).3】馬較克思的生產(chǎn)柜模型墳馬克思認(rèn)為蒸，在一定時(shí)鋤期內(nèi)社會(huì)總邁產(chǎn)品的價(jià)值賺是由三部分催構(gòu)成的：1駝）在此期間除消耗的生產(chǎn)堡資料價(jià)值，暴即不變資本味c；2）在勒此期間內(nèi)用廉于生產(chǎn)過(guò)程界的勞動(dòng)力價(jià)席值，即可變叔資本v；3豪）被資本家敲剝削的剩余用價(jià)值m。依撤據(jù)生產(chǎn)資料能的性質(zhì)，馬青克思把國(guó)民蹄經(jīng)濟(jì)分為兩家大部類(lèi)，即杠生產(chǎn)生產(chǎn)資金料的第一部惠類(lèi)和生產(chǎn)消尖費(fèi)資料的第駝二部類(lèi)。由度定義，兩部狂類(lèi)的總價(jià)值小分別為瞧I=c1＋晴v1＋m1酒迫II=c2忍＋v2＋m喬2總價(jià)值織TV=I＋照II揀馬克思指出涉：如果要維告持簡(jiǎn)單再生屈產(chǎn)，則國(guó)民糾經(jīng)濟(jì)總處于輔同一水平。顯這時(shí)，生產(chǎn)樓資料的總需區(qū)要應(yīng)和第一匆部類(lèi)的總價(jià)陡值相等；消勉費(fèi)資料的需序要應(yīng)和第二故部類(lèi)的總價(jià)融值相等。于員是，我們得范到鍵c1＋c2虛=I白v1＋m1柳＋v2＋m濾2=II患訊我們注意到先從前式可以云推出后式，用反之亦然。加而且，都與攜數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)般v1＋m1欺=c2狀等價(jià)。即第糧一部類(lèi)的可暫變資本和剩辭余價(jià)值等于仍第二部類(lèi)的洲不變資本。信值得指出的受是：雖然兩挎?zhèn)€數(shù)學(xué)模型給不同，但可介能在數(shù)學(xué)結(jié)騎構(gòu)上"等價(jià)嘴"。半【例1.2件.4】常勝茄的賭徒幼賭場(chǎng)如戰(zhàn)場(chǎng)乓，有勝亦有照敗。但如果活在自由下注向的賭場(chǎng)，則段有常勝的可賊能性。假如愉某位不貪心林的賭者依據(jù)惱下列決策賭芬搏：劑1.每次上罰賭場(chǎng)的目標(biāo)汗是贏一元錢(qián)事否2.一旦贏針錢(qián)立刻停賭辮樓那么他第k左次的賭注為賽2k-1俘訊,總賭注:就Bk=割1＋2＋似22＋傍…含＋2k-1筋箏=2k－1耗站假如每次贏幅的概率為p骨，則輸?shù)母艍韭蕿閝=1叔-p。顯然延，連輸k次徹的概率是q忘k。因此k探次賭搏之中狠至少有一次致贏的概率為蝦1－qk，叉不論"常勝漂"意味勝的欺概率P0有筆多大，只要喊p>0且P蹦0<1，當(dāng)霉k充分大時(shí)音，必有渴1－qk氣>P0城換言之，如豐果賭徒籌措打到足夠多的欲本錢(qián)n，則販可望百戰(zhàn)百巨勝。模型為墳枕n(1-燙2-2)慮s.t.礦1－qk紛>P0，承著2k－1那￡n，k肥為正整數(shù)找不難解出森給當(dāng)然，這是奇?zhèn)€數(shù)學(xué)游戲夫，因?yàn)檩敼饩^的概率畢抹竟存在！賽現(xiàn)在我們考貨慮數(shù)學(xué)模型四的基本概念每與性質(zhì)。首番先給出如下蓮定義：如果歌相應(yīng)于某種唯體系的相依腹關(guān)系或邏輯織關(guān)系，用形箱式化的數(shù)學(xué)癢語(yǔ)言概括地職或近似地表惹述成為一個(gè)蠅數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，雞則稱(chēng)這個(gè)數(shù)事學(xué)結(jié)構(gòu)為該辛體系的一個(gè)傲數(shù)學(xué)模型，悔記作M，稱(chēng)才該體系為M濁的原型，記冰作P。冒由定義不難生得出，以下她結(jié)論：一個(gè)資原型可以有閘不同的數(shù)學(xué)盾模型，模型解不唯一；而秀一個(gè)模型的極數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)則浪有可能是不墻同原型的模盞型，即有多脅個(gè)原型相對(duì)糾應(yīng)，因此反籍之是有條件佩的。一個(gè)數(shù)航學(xué)結(jié)構(gòu)自身羅必須在數(shù)學(xué)書(shū)意義下協(xié)調(diào)諷，不能相悖忙，但是對(duì)刻省劃同一體系路的模型而言筐，由于假說(shuō)御與解釋的方垃式不同，我翅們將允許相瞇悖。正如物督理學(xué)中描述偉物體運(yùn)動(dòng)的裁牛頓模型冤逐和愛(ài)因斯坦喉模型偶在數(shù)學(xué)意義癥下相悖。但澤都成功地刻寬劃了物體運(yùn)鼠動(dòng)的規(guī)律。杯放我們把欲模呢型化的現(xiàn)象艘、問(wèn)題、過(guò)顏程、體系，胃乃至用某種象語(yǔ)言表示的晃系統(tǒng)，統(tǒng)稱(chēng)脹為原型，并躁記之為P。裂雖然原型應(yīng)敵相對(duì)于模型次而存在，我舞們隱含假設(shè)另任何事物都筑存在著數(shù)學(xué)秩模型，只是蜘不一定令人矛滿(mǎn)意罷了。嬸數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是版一個(gè)有機(jī)的穗整體，可分燕性概念是有但益的。如果拼數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)M暴S可以分解姻為若干子結(jié)烤構(gòu)MSa，戚a?L，其呆中L是非單牲點(diǎn)指標(biāo)集，勤則稱(chēng)該數(shù)學(xué)路結(jié)構(gòu)是可分蹤的。并記黨。瓦下面我們舉造例說(shuō)明可分悲性。禍【例1.2控.5】依據(jù)隔凱恩斯的經(jīng)攤濟(jì)理論，針尋對(duì)封閉的宏么觀經(jīng)濟(jì)體系淋，可建立如遺下模型，M：暈其中主要變產(chǎn)量有內(nèi)生變揀量：Y（國(guó)領(lǐng)民收入），綢C（消費(fèi)）孫，I（投資捏）和R（利源率）；外生哈變量：G（贏政府開(kāi)支）舊和M（貨幣需供給）以及外前定變量：鵲P（價(jià)格水復(fù)平）。四個(gè)扔方程式分別徹是國(guó)民收入葛定義式、消陪費(fèi)需求方程皺式、投資需然求方程式和蛙貨幣需求方族程式。其中插a，b，t熱，e，d，投k，h則為筋參數(shù)。不考律慮派生結(jié)構(gòu)善。箱模型M可以蒜分解成若干秋種互不相同歸的分結(jié)構(gòu)。勞例如可分成倘M1：M2：注連同假設(shè)一悶起考慮，M斃1中有4個(gè)炕內(nèi)生變量和壽一個(gè)外生變階量，故知其盈不唯一地確茶定變量的值魂。同理M2查亦然。這些倒分結(jié)構(gòu)可能瘦沒(méi)有合適的疑經(jīng)濟(jì)背景，狂所以稱(chēng)不上爽模型。對(duì)數(shù)博學(xué)模型進(jìn)行漂分解時(shí)，必樂(lè)須考慮假設(shè)竹的相應(yīng)變化吵及經(jīng)濟(jì)解釋餡。經(jīng)濟(jì)學(xué)家堤常把模型M渴置放在（Y糾，R）空間越，從而得到洲十分重要的向IS曲線(xiàn)和蘆LM曲線(xiàn)，啄并成功地利則用它們說(shuō)明舍了許多經(jīng)濟(jì)捆問(wèn)題。其分香解如下：IS：弟LM：M=士(kY－h(huán)禮R)P切IS曲線(xiàn)表齒示出滿(mǎn)足國(guó)叨民收入定義臺(tái)式，消費(fèi)需皆求和投資需量求的利率R蘋(píng)與國(guó)民收入擋Y的組合形北式；LM曲猾線(xiàn)表示貨幣卸供給等于貨弟幣需求時(shí)國(guó)司民收入Y和授利率R的變寄動(dòng)軌跡。I艙S曲線(xiàn)和L賴(lài)M曲線(xiàn)的交痰點(diǎn)恰為數(shù)學(xué)煉模型M的唯恨一解。利用芝恰當(dāng)?shù)姆纸夥耍軌虻玫较乖S多意想不慢到的信息。郊如本例中，兆分解M=M往1督∩噸M2似乎難息有合理的經(jīng)忠濟(jì)解釋?zhuān)珪兎纸釳=I聞S幟∩苦LM則是最遵出色的分解陶。然而若不我分解M，則局只能得到唯賺一的解(Y瞎*，C*，驕R*)T，牙失去了研究格各種經(jīng)濟(jì)力晶量如何影響駁均衡的機(jī)會(huì)災(zāi)。綜上所述閥，我們看到拼分解就是將遮數(shù)學(xué)模型的逗若干部分孤囑立起來(lái)，撇膀開(kāi)廣泛的、且總的聯(lián)系。銷(xiāo)同時(shí)，想到帖原結(jié)構(gòu)是一拔個(gè)整體結(jié)構(gòu)頸，要考察子侍結(jié)構(gòu)之間是堤如何發(fā)生聯(lián)悠系的。月為了便于討忽論，我們引沿入模型元的店概念，如果宗數(shù)學(xué)模型的織結(jié)構(gòu)MSa砍是MS的一腦個(gè)結(jié)構(gòu)元或攤模型元，細(xì)聚心的讀者可掃能注意到我早們有時(shí)并沒(méi)恐有嚴(yán)格地區(qū)控分?jǐn)?shù)學(xué)模型熟與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)眠。我們約定彼今后將在承怠認(rèn)差異下一趙視同仁。橋模型元并不惱一定是最基鋪本的構(gòu)模元誤素，只是具染有相對(duì)獨(dú)立勸性的"小"辰模型罷了。財(cái)基本的構(gòu)模料元素有以下抄五種：壁1.數(shù)據(jù)接：與原型有染關(guān)的數(shù)字、唉圖形、以及搏可定量化的序其他信息。雀皺2.變量使：假定屬于蹈已知值域的舉任何值。變色量有獨(dú)立與演相關(guān)、內(nèi)生濫與外生、先啟決與滯后等嶼區(qū)別。奪3.參數(shù)手：在特定的領(lǐng)模型中只能孔假定取一固育定數(shù)值的量榜。有固定與勺可變、可調(diào)秧與不可調(diào)之尋分。刷4.數(shù)學(xué)繪式：用以聯(lián)手系變量、參鍵量的相依序視關(guān)系的符號(hào)示，如"="揀、"<"、拐"3"、"守￡"、"朋"等等。適5.邏輯邊表述：關(guān)于呀模型結(jié)構(gòu)，駝因果關(guān)系的深表述，如"鮮?"、"不ì寸"、"T"皺，等等。港依照上述分宰析方式，可順以定義原型吃的可分性，背從而引出子箏原型，原型架元等概念。部勿需諱言，米可分與否是徒相對(duì)的，有量主觀性。一端般說(shuō)來(lái)，當(dāng)刺原型或子原參型的內(nèi)涵與礙外延已十分希清楚時(shí)，可寫(xiě)以認(rèn)為其已長(zhǎng)不可分了。司先利用一個(gè)基哈本的數(shù)學(xué)結(jié)身構(gòu)，通過(guò)改掀變假設(shè)條件全或數(shù)學(xué)推導(dǎo)胸可得出新的粗?jǐn)?shù)學(xué)模型。耕有時(shí)新結(jié)構(gòu)辯之間并不矛死盾，有時(shí)卻認(rèn)相悖。我們罵試看一例。蘇貌【例1.2李.6】套匯趣均衡那眾所周知，暗在國(guó)際金融殼市場(chǎng)上匯率予是瞬息萬(wàn)變粘的。如果以圈有n國(guó)貨幣之的金融市場(chǎng)粱為原型，則鉛匯率有種城。然而若將案貨幣間的相椅互影響和單啊向匯率考慮船在內(nèi)，則問(wèn)劈題將變得十躁分復(fù)雜。我勝們把多國(guó)間凳的問(wèn)題分解形成兩國(guó)間的撿問(wèn)題，則大碌大地簡(jiǎn)化了供問(wèn)題。關(guān)于傻匯率變化的頂機(jī)理，經(jīng)濟(jì)票學(xué)家認(rèn)為套巨匯者的推波至助瀾是關(guān)鍵洪的。我們假吧設(shè)：A國(guó)和各B國(guó)的利率喝分別為rA揚(yáng)和rB，現(xiàn)瞇期匯率為S亞t（A幣/灘B幣），期方貨匯率為F及T，（T>愁t）。套匯學(xué)者對(duì)其行為煮有一定的估聽(tīng)價(jià)，先從A森國(guó)貸款a（結(jié)單位A幣）宇，并按St業(yè)換成B國(guó)貨棒幣存入B國(guó)依銀行。到T寶時(shí)刻連本帶生利一起取出峽，按約定的斜匯率FT兌愈成A國(guó)貨幣藥，那么以A蠟幣為標(biāo)準(zhǔn)單序位的凈收益句M1：丘如果p<0取，反其道而扮行之，得到朱M2：忙其中b是向張B國(guó)銀行所敢貸的款額，由這時(shí)必有p歐>0。假設(shè)島M1所給的勇凈收益是正極的，則有一既等價(jià)模型M3：亭在此模型成到立的情況下蠶，套匯者一鳴定有利可圖厚。當(dāng)眾多的蠟套匯者都這美樣干時(shí)，會(huì)交引起rA上央升和rB以之及FT的下的降，綜合結(jié)盼果是使p趨耗于零。于是通，我們得到蔑均衡模型M4：縫M4說(shuō)明了盛匯率變化的兵中心趨勢(shì)，某FT實(shí)際上怖是ST的預(yù)琴測(cè)值。值得鎮(zhèn)注意的是M攜3是由M1嗓引出的，M明4亦然，但犁M3和M4莊不能同時(shí)成廣立，它們不冬相容的原因脊是加了不同宏的假設(shè)條件參。拼我們定義兩為個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)粥是不相容的什，如果在數(shù)籌學(xué)意義下兩戴個(gè)結(jié)構(gòu)不能豬同時(shí)成立。碗例如由于不識(shí)存在這樣的胳ST，F(xiàn)T弓，rA和r雅B使M3和戒M4同時(shí)成掏立，故稱(chēng)M谷3和M4不吃相容。我們畫(huà)記之為M3穗∩詳M4=?。軌紛由于模型間布有一定的邏羅輯關(guān)系，我灶們引進(jìn)序的絲概念：如果蝴由一個(gè)數(shù)學(xué)余結(jié)構(gòu)MS￠遞可以得出另磚一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)夫構(gòu)MS＂，廚則稱(chēng)M＇和泳M＂之間存緣在著序，記嗚作MS＇f財(cái)MS＂（買(mǎi)讀作MS＇啊導(dǎo)MS＂）例。所謂序"罩得出"包括鏡適當(dāng)?shù)卦黾訄?chǎng)假設(shè)條件和夕純形式的推允導(dǎo)。如果依兄據(jù)純粹的數(shù)華學(xué)理論及方志法，從MS騰＇推導(dǎo)MS震＂，則稱(chēng)M專(zhuān)S＇和MS棄＂之間存在沖真序，記作帖MS＇ff蟲(chóng)MS＂（讀坊作MS＇真賀導(dǎo)MS＂）護(hù)。根據(jù)模型余化的觀點(diǎn)，館不是同一原屑型的模型之吧間無(wú)所謂序視關(guān)系。今后倒談到模型間接的序關(guān)系時(shí)拔，均指同原她模型。由定凡義我們不難沉證明兩個(gè)命燙題：巧命題越①重若M＇f巨M＂，則必耗有M＇賴(lài)∩施M＂愧≠膽?亞命題層②供若M＇ff括M＂，則秒必有M＇娘∩私M＂對(duì)≠緩?劈這些證明留玉給讀者。懲既然有序的樣概念，很自腔然地引出數(shù)休學(xué)結(jié)構(gòu)的等確價(jià)關(guān)系。如塔果兩個(gè)數(shù)學(xué)懇模型M＇和絡(luò)M＂滿(mǎn)足序棉關(guān)系，且M罰＇fM＂嬸，M＂fM旬＇則稱(chēng)M＇仁和M＂是等胖類(lèi)的，記作昂M＇死∽俱M＂。如果輛M＇ff繁M＂且M＂銜ffM＇嗓，則稱(chēng)M＇漢和M＂等價(jià)辣。記作Ｍ＇控∽側(cè)Ｍ＂。顯御然，等價(jià)必丟等類(lèi)，反之熱不然。關(guān)于竟導(dǎo)序的性質(zhì)使，不難由定妙義推出?？?.對(duì)稱(chēng)上性：若M＇漢fM＂，尿則M＂p乒M＇；濕2.傳遞智性：若M＇涌fM＂，漸M＂fM＂崖＇，則必有趟M＇fM＂立＇；門(mén)3.反身妖性：若M＇歇fM＂，器M＂pM肝＇，則必有京M＇薪∽箭M＂。預(yù)一般來(lái)說(shuō)，賤導(dǎo)序具有的趟性質(zhì)，真導(dǎo)城序也具有，銅反之則不一者定。前面提長(zhǎng)到通過(guò)增減魄條件或推導(dǎo)說(shuō)可以得到不州同的數(shù)學(xué)結(jié)韻構(gòu)，但并不注一定稱(chēng)得上古新的數(shù)學(xué)模犬型。抽象地捉看，從舊的跡數(shù)學(xué)模型到判新的數(shù)學(xué)結(jié)答構(gòu)是一過(guò)程便，經(jīng)過(guò)了一言個(gè)映射。正礎(chǔ)如我們可以臘把從原型r消到模型M的橡過(guò)程看成一哀種映射一樣訴。對(duì)于數(shù)學(xué)跑結(jié)構(gòu)而言，怖封閉是一個(gè)貝嚴(yán)格的概念哪；但對(duì)數(shù)學(xué)檢模型而言并矮不十分嚴(yán)謹(jǐn)居。我們姑且假這樣定義：汪如果模型M轉(zhuǎn)在一映射榆Γ赤下所得到的比數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)仍脅是一個(gè)同原障模型，則稱(chēng)多該模型對(duì)映逗射P是封閉艇的?！纠?撫.2.7】騰可以部分地生說(shuō)明封閉這紫個(gè)概念。朋【例1.2顛.7】財(cái)務(wù)吩分析胳假設(shè)某公司桃經(jīng)銷(xiāo)一種商塔品的數(shù)量為兆x，單位售作價(jià)p元，經(jīng)憑估算固定成紫本為FC元鷹，單位可變蚊動(dòng)成本為U肚VC。于是兔，由定義有療搶M1：S痰R=px涉M2：C兵=FC＋U聯(lián)VC態(tài)·腐x界M1表示銷(xiāo)版售收入，M議2表示總成熔本。對(duì)C微狹分得到邊際糠成本模型，亡與M3：M東C=UVC格訊將M1和M妙2視為一個(gè)刺數(shù)學(xué)模型，團(tuán)則利潤(rùn)I的全模型為岡M4：I薪=（P－U困VC）韻·濟(jì)x－FC駕可以看成M沸1和M2經(jīng)碼過(guò)減運(yùn)算得森到的。利潤(rùn)衛(wèi)率IR則是槳由M4和M中2的商運(yùn)算庫(kù)得到的，M5：壽根據(jù)模型化哀原理，我們嚴(yán)可以這樣認(rèn)價(jià)為：M2對(duì)胡一階微分是喜封閉的，但凈對(duì)二階微分墨不封閉；數(shù)黨學(xué)模型M1話(huà)∩唯M2對(duì)特定晌的商運(yùn)算也胞是封閉的?？苾?cè)迄今為止，氣我們只是討掀論了模型的棉一些基本概垃念和性質(zhì)，縣對(duì)于這些概倡念的系統(tǒng)討虧論和研究將亂在第二章中即進(jìn)侄第二章數(shù)護(hù)學(xué)模型化鏈稀從第一章的拳討論我們知另道，數(shù)學(xué)模包型是反映原仰型的數(shù)學(xué)結(jié)弓構(gòu)，而本章爬討論的數(shù)學(xué)竟模型化則指左提出、設(shè)計(jì)疫、建立、求清解、論證及叨使用數(shù)學(xué)?？嫘偷恼麄€(gè)過(guò)塔程。本章主崇要論述與模轟型化有關(guān)的淹數(shù)量化度量象、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)查模型的分類(lèi)沫、模型和模栽型化應(yīng)用的們條件和范圍月、模型和模躺型化選擇的搭標(biāo)準(zhǔn)等問(wèn)題舌，最后對(duì)模種型化過(guò)程進(jìn)味行設(shè)計(jì)與討辨論。陣§殿2.1數(shù)待量化和量綱覽分析凍§僅糖數(shù)量化的報(bào)度量問(wèn)題偏經(jīng)濟(jì)信息數(shù)巾量化是構(gòu)造挪模型的前提勵(lì)，經(jīng)濟(jì)原型奮總是具有質(zhì)酒與量?jī)煞矫嫠俚男畔?，模拍型所需的信欄息是二者的始結(jié)合，即信法息不僅包含乘經(jīng)濟(jì)概念而避且有一種數(shù)詠量的度量。鐮度量是定性橫與定量結(jié)合留的過(guò)程。量溉綱是帶有質(zhì)末的規(guī)定性的魚(yú)數(shù)量度量，湊因此，在模純型化過(guò)程中遺是值得重視扒的。從理論商上看，數(shù)學(xué)鍛結(jié)構(gòu)中的各科種量是沒(méi)有褲量綱的，但香作為一個(gè)經(jīng)鑒濟(jì)模型，模廉型的輸入和捉輸出的信息訓(xùn)有量綱的問(wèn)鴨題，這是客免觀存在。事嘗實(shí)上，沒(méi)有煉量綱這個(gè)標(biāo)與準(zhǔn)，則使各踩經(jīng)濟(jì)變量之鳳間失去可比畏性。在商品蘿經(jīng)濟(jì)存在的邁條件下，各拜種實(shí)物往往調(diào)需要用貨幣垂量綱來(lái)反映跡價(jià)值，生產(chǎn)灑、流通、消險(xiǎn)費(fèi)和分配等濱因素的聯(lián)系冬需用貨幣量冷綱來(lái)體現(xiàn)，炕因此，在討跟論問(wèn)題時(shí)，袖往往把量綱蹦統(tǒng)一于某種蝦貨幣單位，邀從而，使不助同質(zhì)的量得局到統(tǒng)一的度晨量。但實(shí)際玉中遇到的原及型不盡相同眠，而且并不酷是什么都可右以用貨幣度磨量的。因此信，在數(shù)學(xué)模觸型的構(gòu)造和扁推導(dǎo)過(guò)程中魂要注意量綱館是否合理，對(duì)否則可能失背去原型背景余，即不再是底同原模型。尿諸不論是構(gòu)造追什么樣的模巖型，總是要頌選擇一些基率本量綱或原鋪始量綱，經(jīng)糕過(guò)模型構(gòu)造周和求解后，拘往往生出一忘些新的量綱室，我們稱(chēng)之炎為導(dǎo)出量綱革。例如，在杏描述一段時(shí)健期內(nèi)的平均袖收入時(shí)，我逗們把單位時(shí)輝間和單位貨倡幣稱(chēng)為基本儉量綱，而把莫（單位貨幣裙/單位時(shí)間我）稱(chēng)為導(dǎo)出朵量綱。我們潑定義一個(gè)量耐綱是獨(dú)立量全綱，如果它順不能由其它倚量所導(dǎo)出，摧如經(jīng)濟(jì)上常思用的貨幣單恭位、實(shí)物單版位、和計(jì)量寺單位等等。辮從數(shù)學(xué)的觀叫點(diǎn)看，以什稻么作為量綱湖并不重要，菌關(guān)鍵是在構(gòu)暈造過(guò)程中量腦綱必須始終顧是諧調(diào)的、牛規(guī)范的。只崖有這樣才能泡保證所得的芳模型與結(jié)果朋不僅有數(shù)學(xué)港意義，而且揭有經(jīng)濟(jì)解釋打。芳無(wú)量綱的經(jīng)速濟(jì)量（指標(biāo)陣）在經(jīng)濟(jì)是牛經(jīng)常遇到。慰諸如比例數(shù)屑、比率和指謎數(shù)等相對(duì)量面，就可能是證無(wú)量綱的。里另一種較特濾殊的量是只懶起記錄功能壓或排序功能之的"數(shù)量"盡，例如，把枯盈利記為1辰，虧本記為焦-1，盈虧蠅平衡記為0讀。這種量與狂有量綱的經(jīng)某濟(jì)量有質(zhì)的稍區(qū)別，應(yīng)注煉意其數(shù)學(xué)處輸理的條件和礙應(yīng)用范圍。把諒模型化過(guò)程攜中常需直接欄利用已有的季統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，康這時(shí)更需注采意量綱問(wèn)題吐。按我國(guó)的污慣例統(tǒng)計(jì)指發(fā)標(biāo)分為數(shù)量卡指標(biāo)和質(zhì)量殘指標(biāo)。數(shù)量席指標(biāo)反映企杜業(yè)、部門(mén)或保整個(gè)國(guó)民經(jīng)宵濟(jì)工作的直子接結(jié)果，它睜是刻劃經(jīng)濟(jì)姓規(guī)模的計(jì)劃止指標(biāo)。質(zhì)量導(dǎo)指標(biāo)反映生張產(chǎn)資源和生謎產(chǎn)因素的利投用效果，它護(hù)是描述經(jīng)濟(jì)英活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)港性指標(biāo)。質(zhì)塑量指標(biāo)分技娃術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)墻和經(jīng)濟(jì)質(zhì)量手指標(biāo)，前者去表示固定資乳產(chǎn)和流動(dòng)資富產(chǎn)的利用效脾果，產(chǎn)品質(zhì)緩量及各產(chǎn)品憑生產(chǎn)間的比朽例關(guān)系，它就是編制計(jì)劃陳的依據(jù)，后索者反映經(jīng)濟(jì)前工作的質(zhì)量振與管理水平到。與指標(biāo)密抓切相關(guān)的因敬素是統(tǒng)計(jì)方身式，這些都惕是收集信息漿時(shí)應(yīng)當(dāng)注意果的。鑒于我劉國(guó)的經(jīng)濟(jì)指宿標(biāo)體系與西剩方不盡一致棉，在考慮借臉鑒西方模型羅時(shí)尤應(yīng)慎重亮。剪§鬧像量綱分析覺(jué)蕉前一節(jié)中已擔(dān)經(jīng)提到過(guò)量邁綱等概念，轉(zhuǎn)我們將進(jìn)一足步深化它們墓。模型化常糞會(huì)涉及到可答度量的信息愿，如經(jīng)濟(jì)中姿的國(guó)民收入歸、產(chǎn)出、消嘉費(fèi)額等，既睜是經(jīng)濟(jì)概念奉，又是可度緒量的。度量幕單位是帶有滲質(zhì)的規(guī)定性燥的標(biāo)準(zhǔn)。在據(jù)這種標(biāo)準(zhǔn)下餓，信息傳遞純被簡(jiǎn)化了。綿例如兩個(gè)量叨不經(jīng)實(shí)際比釣較，就知道琴孰多孰寡。僵物理學(xué)之所犯以成為嚴(yán)謹(jǐn)饒的科學(xué)，得沿益于數(shù)學(xué)模盒型的利用。賺物理學(xué)的典鐮型方法是把酷物理原型用纖數(shù)學(xué)模型表破現(xiàn)出來(lái)，通肯過(guò)對(duì)輸入和笨輸出的量的遼量綱比較，鞏說(shuō)明了物理路學(xué)規(guī)律。量姥綱分析（D蘋(píng)imens希ional頓Anal嚷ysis）賀就是物理學(xué)膏中一項(xiàng)模型磁化技術(shù)。（率我們將沿用喉物理學(xué)中的岔名稱(chēng)予以介移紹）演眾所周知，回一切物理量般可以由若干篩基本單位推提導(dǎo)出來(lái)?；俦締挝坏捏w宗系在物理上笛稱(chēng)為單位制來(lái)。例如力學(xué)教單位制可由較長(zhǎng)度、質(zhì)量鏈、時(shí)間為基炕本單位的絕慕對(duì)單位制(山Syste信mof況Absol礎(chǔ)uteU塘nits）敗推導(dǎo)出來(lái)。而除基本單位守之外，任何裳其他物理單無(wú)位均稱(chēng)導(dǎo)出敘單位（De脈rived逢Unit掌）。如果q劈，j，y，舒…把為基本單位飼，a為導(dǎo)出神單位，根據(jù)悲定義或定律慚導(dǎo)出單位a咬可以表示成掀秒a=c濟(jì)qjm牽yn戲…陰判的形式，其戴中c，，奴m，n，談…璃是常數(shù)。則紫稱(chēng)指數(shù)，憐m，n，夕…按為a的量綱母，量綱公式康記作游[a]=畏[qjm闖yn劇…夠]輕其中"[腹]"讀作"越…惑的量綱"。訂對(duì)于一般的兔模型化問(wèn)題仿，無(wú)法建立熄適用于一切嗚原型的單位揪制，但是對(duì)凈具體的模型萍化問(wèn)題，的剪確可以提供泄一個(gè)"單位質(zhì)制"。我們釘仍稱(chēng)被推導(dǎo)框出的單位為宣導(dǎo)出單位，蛙沿用一切物獸理學(xué)的名稱(chēng)肥?？沉烤V分析方趣法可以從單酒一的前提條夕件，對(duì)某一塔現(xiàn)象推斷得爆出有價(jià)值的肯信息，而該耀現(xiàn)象可以由刮某些變量中核的一個(gè)有量房綱的、恰當(dāng)毀的方程來(lái)描陶述。量綱分新析可用于設(shè)艇計(jì)比例模型冰，處理如何話(huà)按比例調(diào)節(jié)邪系統(tǒng)的參數(shù)飼，使之能根銜據(jù)模型預(yù)測(cè)龜未來(lái)。量綱仆分析還可以粒使變量按有咽意義的方式摧進(jìn)行組合，顫從而減少變祥量的數(shù)目對(duì)咸有關(guān)數(shù)據(jù)的稀需求。量綱汁分析的主要能依據(jù)是白金趙漢(Buc塵kingh長(zhǎng)am)的P熊定理以及相織似定律（L喚awof起Simi欺litud黑e）。我們狐首先介紹P狗定理。歲P定理：假沙設(shè)有n個(gè)物跳理量a1，允a2，鴿…匙，an和m揚(yáng)個(gè)基本量的吃量綱單位b甩1，b2，踩…費(fèi)，bm，如虛果關(guān)系式泥f(a1，談…吉，an)孤=0月的成立與基租本量的單位限無(wú)關(guān)，則總則可以轉(zhuǎn)化成座為庸F(P1，代…木，Pn－m私)=0垂普其中P1，濫…蘆，Pn－m劇是無(wú)量綱量永群，形式為筋?lèi)u這里F為某噴一函數(shù)。味我們回想一查下代數(shù)學(xué)中籃的結(jié)論：線(xiàn)湖性空間中的文一組基可以烈將任一向量紙線(xiàn)性表出；性任一組向量與亦可選出基敲向量。P定良理的使用方茅法與基的擴(kuò)宗充方法相似莖，首先從導(dǎo)報(bào)出量a1，蒙…過(guò)，an中選核擇能包含全排部基本量綱跪的m個(gè)導(dǎo)出縮量。不妨設(shè)春a1，再…久，am的量租綱中含有b爺1，幼…烏，bm，則龜可用剩下的爪n－m個(gè)導(dǎo)型出量構(gòu)造無(wú)雜量綱量群。趕我們?cè)O(shè)順，i=1,眉…嫂n-m升其中hij務(wù)是待定參數(shù)另i=1,姓…漏n-m，j紫=1,流…糧,m。由于足a1，敢…置，an的量科綱單位是從僑b1，錘…套，bm導(dǎo)出嘴，故有仰，j=1,研…罷,n叛其ajk是斷aj的量綱藍(lán)，k=1,氣…盆,m。利用置前式可得豆日因Pi是無(wú)辜量綱的，故母令樂(lè)，k=1,甲…陪,m漂如此得到的毫m(n-m糊)個(gè)方程恰向好確定所有例的待定系數(shù)射hij，i齒=1,內(nèi)…分n-m，j恭=1,濃…富,m。這個(gè)瑞方法不僅給辨出了擴(kuò)充的恒步驟，而且秧給出了一個(gè)米構(gòu)造性證明垃。掠【例2.2新.1】萬(wàn)有塌引力模型坑牛頓的萬(wàn)有擾引力定律告贊訴我們：兩騎個(gè)物體之間慰的引力與它衰們的質(zhì)量成元正比，與它娃們之間的距輕離成反比。俱模型為現(xiàn)鳴式中F是萬(wàn)物有引力，G兩是萬(wàn)有引力基常數(shù)，m1削和m2分別湖是兩物體的悟質(zhì)量，r是拿兩物體間的射距離。假設(shè)謊基本的物理以量是質(zhì)量M絕，長(zhǎng)度L和啞時(shí)間T，我縣們來(lái)分析一透下萬(wàn)有引力檢模型的量綱哲。顯然，公[F]=M豈LT-2池[m1]=艇[m2]=犯M億[r]=L潑霜[G]=M團(tuán)-1L3蠶T-2鼻設(shè)a1=葛F，a2傲=m1，a渡3=m2喚，a4=散r，a5睛=G則系數(shù)貢矩陣為踏傘選擇a1，秋a2，a4蜻為基，則婚冬于是我們得跟到悔h11＋h孔12＋1=狂0礙h11＋壤h13=硬0余－2h1確1=0和膜h21＋h犧22－1=氧0朋h21＋h鬧23＋3=發(fā)0驗(yàn)－2h2圓1－2=0判挨從中解出披恰無(wú)量綱量群漢斗由P定理可瑞知，必可轉(zhuǎn)慣化為截F(P1，浪P2)=0嚼持事實(shí)上，稍犧加觀察就有納坊P1P2蜂－1=0悄學(xué)這是萬(wàn)有引售力模型。請(qǐng)能注意，如果后我們考慮的你體系中有這橫五個(gè)物理量合，則可以純動(dòng)形式地導(dǎo)出回萬(wàn)有引力模落型。當(dāng)然，齒難點(diǎn)在于把虜G考慮在內(nèi)榴的物理直覺(jué)銜。朱【例2.2旅.2】流體魚(yú)實(shí)驗(yàn)糠我們這次從情經(jīng)典的實(shí)例光出發(fā)，討論店量綱分析的傷應(yīng)用。原型薦問(wèn)題是幾何燦形狀相似的適物體在不可那壓縮粘性流相體中的阻力袍問(wèn)題。這種帝阻力是由于旱流體沿物體畝表面流動(dòng)而徑產(chǎn)生的。我教們記f為阻拜力，物體相翅對(duì)流體的速漆度為V，流柏體的密度為冰r，特征長(zhǎng)濾度為ｌ，粘告滯系數(shù)為m膏（注：m是盼粘滯摩擦阻理力和該物體新的速度梯度風(fēng)之比例系數(shù)震）。仍以絕創(chuàng)對(duì)單位制為燙基本單位制蟻，則五個(gè)物暴理量，量綱事單位分別是雅MLT-2啊，LT-1遠(yuǎn)，ML-3親，L和ML給-1T-1裁。與例2.烈2.1相仿行，可以得到呆拾考察其物理搭意義可知：咸P1表示粘邀滯力與慣性婦力之比；P筑2表示阻力終對(duì)流體在該務(wù)物體正面投急影面積上的塊作用力之比叛。稱(chēng)為雷牙諾數(shù)（Re融ynold滋sNum匠ber），燥層流時(shí)其值態(tài)較小，湍流濫時(shí)其值較大圈。如果我們釀的原型是湍章流中的阻力就，則應(yīng)對(duì)R般足夠大的情扯況設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)白和分析。這災(zāi)樣一來(lái)試驗(yàn)蘿變得更為合后理和有效了稍。斥【例2.2蜂.2】中痕就是一個(gè)數(shù)崖學(xué)模型！我胃?jìng)兿Ｍ私饷雷枇θ绾我蛱人俣茸兓鴦P變化時(shí)，注宅意到另外三透?jìng)€(gè)物理量如帆何變化，則俊需要相應(yīng)地編做許多次實(shí)柔驗(yàn)。量綱分影析法使我們啊科學(xué)地減少劍了實(shí)驗(yàn)次數(shù)草和測(cè)量數(shù)。逮但是，量綱削分析并不是凈一種機(jī)械的識(shí)方法，變量噸的選擇依賴(lài)究于洞察力和垂判斷力，因撇為一旦包含食無(wú)關(guān)的量或殖多刪了必需占的量就會(huì)導(dǎo)庭致謬誤。刮綜上所述，結(jié)與其說(shuō)量綱涌分析是一種紹工具，不如避說(shuō)是一個(gè)過(guò)爺程。首先要梨對(duì)原型中有抬關(guān)變量和常尊數(shù)進(jìn)行識(shí)別債，選擇系統(tǒng)墨的主要候選亞變量及其量部綱；其次是藍(lán)運(yùn)用某些方糞法，如擴(kuò)充較法、P定理雙等解出無(wú)量點(diǎn)綱量群；再為次是對(duì)無(wú)量戀綱量群及其難乘積和比率翅進(jìn)行原型背謠景的識(shí)別與射推斷；最后幫建立成數(shù)學(xué)飽模型以擬合賺原型，達(dá)到窗對(duì)原型體系扮的認(rèn)識(shí)，簡(jiǎn)采化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)蓄，數(shù)據(jù)收集密和數(shù)值計(jì)算圣的目的。損相似定律是松許多物理實(shí)肯驗(yàn)的依據(jù)。眨該定律認(rèn)為墳：兩個(gè)同類(lèi)判的物理系統(tǒng)摩的Pi值如工果相同，則泥它們的物理密狀態(tài)亦相似芝。因此Pi遙值相同的模娃型實(shí)驗(yàn)的結(jié)里果可以用來(lái)噴推測(cè)原型。糟由于物理量草成立的關(guān)系馬式是對(duì)基本福（運(yùn)動(dòng)）方對(duì)程進(jìn)行數(shù)學(xué)怪運(yùn)算得到的訂，所以關(guān)系泰式中出現(xiàn)的餡數(shù)值系數(shù)的蝕數(shù)量級(jí)多為木1。因此，忍相反地，在鑼幾個(gè)量間進(jìn)怕行量綱分析向時(shí)，如果根比據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果綠所決定的系沒(méi)數(shù)值不是過(guò)去大或過(guò)小，煎則可斷定在悠這幾個(gè)量之閑間可能存在買(mǎi)相關(guān)性。忍最后強(qiáng)調(diào)幾攀點(diǎn)：舊1.量綱犁分析的基本虹方法沒(méi)有固蠻定的形式與正結(jié)構(gòu)；魄2.變量賄和常數(shù)的正繳確選擇常常箏依賴(lài)于建模鋪者良好的直納覺(jué)；評(píng)3.假說(shuō)窯是十分必要到的，不可太浪機(jī)械地利用室量綱分析法叉；蒼4.P定所理有雙重含化義：其一是銷(xiāo)存在一組無(wú)無(wú)量綱量群，榴其二是如果潑主要變量或逮量綱數(shù)為m庫(kù)，導(dǎo)出變量高數(shù)為n，則放其必要的獨(dú)將立無(wú)量綱量消群的數(shù)目為蜘n-m；迎5.量綱嘴和單位之間尋有差別，我愧們要保持單剩位的相容性建和量綱的一響致性；龍6.無(wú)量慚綱量群是組旗建模型的磚袋石。脂§承2.2數(shù)繳學(xué)模型的性咬質(zhì)應(yīng)用條件吃及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則吐暗數(shù)學(xué)模型是帶抽象模型中定應(yīng)用最為廣譜泛的一類(lèi)，桐它除具有一鏟般模型的性紅能外，還有遠(yuǎn)其獨(dú)特的性水質(zhì)與功能，賽這就是數(shù)學(xué)符模型日益滲稀透各個(gè)領(lǐng)域營(yíng)的原因。數(shù)念學(xué)模型是借牛助抽象的數(shù)插學(xué)語(yǔ)言來(lái)表憲述、分析和遲研究原型的惕數(shù)量的關(guān)系煩及量變規(guī)律怒的。由于數(shù)醒學(xué)本身的高嗚度抽象性使益數(shù)學(xué)模型不河可避免地具灘有一定的抽熊象性，數(shù)學(xué)絡(luò)模型可以簡(jiǎn)筒化復(fù)雜的問(wèn)勢(shì)題，提取關(guān)拆鍵的性質(zhì)，端使人們看到享原型的本質(zhì)選，另一方面始，數(shù)學(xué)模型猶有其具體的西、確定的客怎觀原型，它垃是原型的反趁映，故數(shù)學(xué)悠模型又有一紀(jì)定的現(xiàn)實(shí)性馬，這兩重性辜使數(shù)學(xué)模型遷得以廣泛應(yīng)儲(chǔ)用于自然科湊學(xué)和社會(huì)科眠學(xué)。眾所周墊知，數(shù)學(xué)是征一個(gè)自封閉喚的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈者壿嬒到y(tǒng)，蠢因此受制約汽的數(shù)學(xué)模型華必然具有嚴(yán)際格的邏輯關(guān)盤(pán)系。如果數(shù)說(shuō)學(xué)模型是正細(xì)確的，那么纏，由其推導(dǎo)思出的結(jié)果也嗽必然是正確怪的，這是其戶(hù)它模型所不您能比擬的。睡籌數(shù)學(xué)模型與外其它模型的喂不同之處還蘇在于它有堅(jiān)耍實(shí)的理論基坦礎(chǔ)和有效的克實(shí)現(xiàn)手段，昂理論基礎(chǔ)是峰指數(shù)學(xué)理論溝的支持，從爸最基本的概搶念、定義或橋公理出發(fā)，跑經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推爪理建立起來(lái)求的數(shù)學(xué)公理巖化理論系統(tǒng)蕉，有許多可云利用的定理衛(wèi)、方法和結(jié)古論。實(shí)現(xiàn)手濤段是指計(jì)算公機(jī)的普及為炮數(shù)學(xué)模型的脈應(yīng)用奠定的治物質(zhì)基礎(chǔ)。糞如果說(shuō)，運(yùn)涌用數(shù)學(xué)模型籌是一種科學(xué)泰成功的標(biāo)志療，那么，這茶種科學(xué)的完擊善的方式就醬是運(yùn)用數(shù)學(xué)劇模型。蹦由于現(xiàn)實(shí)世古界的任何事絮物都具有一紗定的數(shù)量關(guān)暖系和空間形尊式，因此，貢原則上說(shuō)，為數(shù)學(xué)模型可鐮以研究任何結(jié)原型。當(dāng)然梳，數(shù)學(xué)模型存的應(yīng)用，也結(jié)受一定條件糠的制約，有波其應(yīng)用的范弄圍。Ros盲enblu概eth和W象iene先(1945紀(jì))曾對(duì)物理位模型的實(shí)用騙性給出充分掏必要條件：屠多1.在不范熟悉或不太環(huán)熟悉的領(lǐng)域越（原型"空橫間"）里的猜一個(gè)現(xiàn)象必床須被（更）撤熟悉的領(lǐng)域狡（模型"空妹間"）里的前一個(gè)現(xiàn)象所黎代替。薄2.模型及化實(shí)驗(yàn)必須州在比原型實(shí)精驗(yàn)更有利的規(guī)條件（包括申費(fèi)用、時(shí)間傳等）下進(jìn)行控。哄這兩個(gè)條件績(jī)對(duì)于數(shù)學(xué)模洽型在經(jīng)濟(jì)中塊的應(yīng)用也是從有啟發(fā)的。即朝數(shù)學(xué)模型在愧經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)揮用是很廣的及，從應(yīng)用的妥目的歸納大校致包括四個(gè)沖方面：賢1.觀察局和預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)頌事物的機(jī)理呀變化和發(fā)展龜趨勢(shì)；升2.規(guī)劃推和設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)膀的現(xiàn)實(shí)與未繭來(lái)；念3.分析幟和控制經(jīng)濟(jì)御的運(yùn)動(dòng)與規(guī)掌模；蝕4.研究頁(yè)和解釋經(jīng)濟(jì)滿(mǎn)現(xiàn)象及規(guī)律妨。廟具體地說(shuō)，竿數(shù)學(xué)模型是碗為了增加經(jīng)逮濟(jì)效益，降捷低經(jīng)濟(jì)消耗光，合理地利閃用現(xiàn)有的資星源等等。經(jīng)慣濟(jì)上需用模痰型的原因還際在于人們往慕往不能或無(wú)營(yíng)法直接駕馭處經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)，溉所以借助數(shù)鞏學(xué)模型是必演然的。財(cái)數(shù)學(xué)模型可伸以用于研究沈許多經(jīng)濟(jì)問(wèn)田題，但這并庸不意味數(shù)學(xué)桂模型可無(wú)條己件地應(yīng)用，胡應(yīng)用數(shù)學(xué)模截型的必要條宗件是：庫(kù)（1）經(jīng)濟(jì)舟原形(EP貨)可以映射肌到數(shù)學(xué)"空沫間"密此條件包括脅：EP的有昌關(guān)概念定義保明確；EP掩的經(jīng)濟(jì)假說(shuō)穗具有一定的騰科學(xué)性；在糠數(shù)學(xué)"空間霧"里存在著瞞與假說(shuō)的數(shù)手量關(guān)系、邏昂輯關(guān)系或混恨合關(guān)系"同就構(gòu)"的數(shù)學(xué)衡關(guān)系式；可哭以通過(guò)必要沿的推導(dǎo)或證拉明得出有意英義的數(shù)學(xué)結(jié)耽構(gòu)；所需要捷的EP信息士必須能夠收抱悉，并可處石理和轉(zhuǎn)化成謎為模型的參帶數(shù)。源（2）數(shù)學(xué)賓模型在數(shù)學(xué)紹"空間"中程可以研究悼此條件包括禿：研究數(shù)學(xué)隆模型的數(shù)學(xué)燃理論與方法鐵是完備的；權(quán)數(shù)學(xué)模型必蓮須滿(mǎn)足一定惰的數(shù)學(xué)性質(zhì)笨（如可解性秋、穩(wěn)定性、穿可計(jì)算性等掉等）；結(jié)果僚必須能從數(shù)械學(xué)上驗(yàn)證其腔正確與否。驅(qū)必要時(shí)，可貨以在計(jì)算機(jī)得上實(shí)現(xiàn)。脹（3）數(shù)學(xué)陸模型及其結(jié)繭果可以映射壩回經(jīng)濟(jì)"空粱間"芽此條件包括據(jù)：數(shù)學(xué)模型妹及其結(jié)果有劇一定的經(jīng)濟(jì)吐解釋?zhuān)梢跃︱?yàn)證經(jīng)濟(jì)假串說(shuō)或可以用歉經(jīng)濟(jì)實(shí)踐檢做驗(yàn)。即數(shù)學(xué)每模型及其結(jié)喜果可以用于究指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)工言作。昌如果上述三細(xì)個(gè)條件不能隔滿(mǎn)足時(shí)，不寸宜使用數(shù)學(xué)談模型。糠對(duì)經(jīng)濟(jì)原型視的多種的希按望使評(píng)價(jià)模掙型的準(zhǔn)則也濁是多種多樣予的，人們總順是希望在眾貍多的"可行依的"模型之腹中尋找一個(gè)除最佳的模型泊，一般說(shuō)來(lái)方，合格的數(shù)迎學(xué)模型應(yīng)當(dāng)佩具有下列性沸質(zhì)：匙（1）真實(shí)靜性或現(xiàn)實(shí)性菠：如果一個(gè)謙模型客觀地園反映了原型鐵或子原型的熟量與量的關(guān)誼系，則稱(chēng)此舞模型具有真灑實(shí)性或現(xiàn)實(shí)屯性。殼（2）一般奶性或普遍性膜：如果模型片的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)蓬能夠用于許省多其它原型塞，則稱(chēng)此模帳型為異原模丘型，具有一謊般性或普遍顆性。含（3）簡(jiǎn)潔糖性：如果模卻型能突出原秧型的主要矛稍盾和特征，寇而且忽略、阻舍棄次要的刺矛盾和特征垂，則稱(chēng)模型扮具有簡(jiǎn)潔性簽。呢（4）精確組性：如果模再型能夠在一黑定程度上，狗比較準(zhǔn)確地綿刻劃原型數(shù)蠟量方面的特眨征，則稱(chēng)模病型具有精確勵(lì)性。鵝（5）有效遣性：如果模怎型可以多方河面地從不同根的角度刻劃勸經(jīng)濟(jì)原型或休可以派生出呆較多的信息穿，而且具有射多種功能，劈則稱(chēng)模型具騙有有效性。俗種這些準(zhǔn)則并陸非一定之規(guī)徐，使用時(shí)可際以權(quán)衡利弊距，有所取舍兼。懶模型化與模棒型是密切聯(lián)茶系的，除模哀型化所得到消的模型有上斜述性質(zhì)外，堆模型化本身葉應(yīng)滿(mǎn)足以下止的要求：綿1.可行偷性：可行性廢包括：信息乖可采集、可膚轉(zhuǎn)化、模型楚可構(gòu)造、算捷法可實(shí)現(xiàn)、踐假說(shuō)可驗(yàn)證辰、結(jié)果可解背釋等等。累它2.經(jīng)濟(jì)拔性：模型化耳的過(guò)程中有焦一定的消耗辛，其中包括廢調(diào)查情況、疾收集資料、皇處理信息、堤構(gòu)造模型、樹(shù)計(jì)算、分析抄、驗(yàn)證等等裝過(guò)程中的費(fèi)善用。模型化詠的收益與費(fèi)敬用應(yīng)當(dāng)相稱(chēng)損，經(jīng)濟(jì)性要效求對(duì)模型化眉的規(guī)模和復(fù)消雜程度加以勝控制。述3.實(shí)用低性：經(jīng)濟(jì)數(shù)增學(xué)模型化貴導(dǎo)在有實(shí)用價(jià)械值，這里包企括模型化過(guò)式程所需的時(shí)尚間短、經(jīng)濟(jì)壯實(shí)踐中使用砍方便、可靠?jī)x。炮值得指出，斧模型化的要瞧求對(duì)模型的宮選取也有一群定的參考價(jià)殿值。喬§暗2.3數(shù)帆學(xué)模型的分僅類(lèi)栽下面討論一晉下數(shù)學(xué)模型判的分類(lèi)問(wèn)題伐，這對(duì)于正族確地構(gòu)造模雪型和使用模串型都是有益趁的。下面敘踢述幾種分類(lèi)徒方式。稱(chēng)（一）按模目型的數(shù)學(xué)性吳質(zhì)分類(lèi)忽按數(shù)學(xué)模型淋的性狀大致驟可分為三類(lèi)雄。其一為確淘定性模型，閣其原型具有苗相對(duì)地確定障性或必然性翠，原型的各鑒種關(guān)系相對(duì)宏穩(wěn)定明確，然模型的數(shù)學(xué)印結(jié)構(gòu)多為各械種方程式，知點(diǎn)集映射關(guān)境系式和圖式派。其二為隨織機(jī)性模型，話(huà)其原型具有漢隨機(jī)性或偶泳然性，原型脈的某些關(guān)系背是波動(dòng)的和櫻不肯定的。拾模型的數(shù)學(xué)衡背景理論是揉概率論、隨寄機(jī)過(guò)程、數(shù)己理統(tǒng)計(jì)、多消元分析、和稻鞅論等等。概其三是模糊嬌性模型，其遣原型及其關(guān)艷系具有模糊鑼性或不分明向，其處理方兄式是Fuz沫zy子集理親論、信度理階論、證據(jù)理趴論和Fuz斤zy邏輯等劇等。付按數(shù)學(xué)模型捆的各種變量貓、參量和函棋數(shù)結(jié)構(gòu)的變鑒動(dòng)情況，可餃以把模型分針為連續(xù)型模陡型，非連續(xù)餐性模型和離閃散性模型。瓜連續(xù)性模型正對(duì)于任何量濟(jì)或關(guān)系的微買(mǎi)小攝動(dòng)是相請(qǐng)對(duì)穩(wěn)定的；座非連續(xù)性模返型對(duì)某些量量或關(guān)系的變普化是間斷的妥，有跳躍的膽；離散性模董型則多指其憤變量是可列梢點(diǎn)列構(gòu)成的腰。肅根據(jù)模型的還參量可以分富為固定參數(shù)淚(fixe課d-par脆amete守r)模型和尊自適應(yīng)參數(shù)濫(adap恢tive-閱param不eter)流模型，前者桂在模型化過(guò)沸程中所涉及姿的參數(shù)只需幼給定一次，領(lǐng)而后者則隨稿著原型的變潤(rùn)化而進(jìn)行必杜要的調(diào)整，嗚這時(shí)參數(shù)往建往屬于一個(gè)司參數(shù)集合或嶄空間。嚴(yán)（二）按模族型與時(shí)間的還關(guān)系分類(lèi)：摟遲亦可分為三代類(lèi)。首先，干若模型的行辣為隨時(shí)間而沾變化而且時(shí)寸間是獨(dú)立的肅變量，則稱(chēng)閃為動(dòng)態(tài)模型輔，其原型和拐時(shí)間關(guān)系密伍切（有時(shí)也眾稱(chēng)隨階段變戒化的模型為拼動(dòng)態(tài)模型）競(jìng)。其次，若投模型的行為競(jìng)不隨時(shí)間而謹(jǐn)變化（時(shí)間曬可以是參量商），則稱(chēng)之雪為穩(wěn)態(tài)模型蠢。其原型對(duì)無(wú)時(shí)間的變化我相對(duì)穩(wěn)定。倉(cāng)另外，若一里非穩(wěn)態(tài)的原樂(lè)型用一系列雀靜態(tài)模型來(lái)丈表示，則稱(chēng)膊此系列模型爹為擬穩(wěn)態(tài)模磨型。其原型環(huán)是動(dòng)態(tài)的，杏而這一系列習(xí)模型中每一莖個(gè)模型是穩(wěn)偉態(tài)的。如果債細(xì)分，動(dòng)態(tài)隙模型還可分?jǐn)U瞬時(shí)模型(證insta虜ntane媽ous)和兩記憶模型(頁(yè)memor循y)。前者激在任意給定雖的瞬刻的行素為只取決于挽此刻的環(huán)境犁或因素；而劫后者在任意像給定的瞬刻科的性態(tài)可能返依賴(lài)此刻之抽前的一段時(shí)屈間的歷史環(huán)乒境或因素。屋記憶模型還帳可以分為兩亞種：其一，籠獨(dú)立于此刻南自身的行為粱而此刻之前盈的一段固定災(zāi)的有限時(shí)間臂稱(chēng)為定時(shí)距宅(time籮inva麥riant晶)模型，其國(guó)二，在現(xiàn)在過(guò)任一瞬間的貼記憶范圍，克直到過(guò)去的毅一個(gè)固定的擔(dān)瞬間稱(chēng)為變拼時(shí)距模型，澤這引出所謂監(jiān)因果性分類(lèi)貸，即若模型扭在一瞬間的宜行為取決于柿過(guò)去和現(xiàn)在尊，則為因果問(wèn)模型，若其龜還取決于未阿來(lái)則為非因居果模型。此撕外，動(dòng)態(tài)模室型還可分為醋周期性模型顛和非周期性籃模型，隨時(shí)犧間總是作為養(yǎng)節(jié)奏有規(guī)律擔(dān)的變化的模疤型稱(chēng)為周期堆性模型，否誤則稱(chēng)為非周襯期性模型。蝦應(yīng)當(dāng)指出，匙按步驟、階懶段而變化（中與時(shí)間長(zhǎng)度冠無(wú)關(guān)）的模泡型有時(shí)也稱(chēng)伍為動(dòng)態(tài)模型景。在經(jīng)濟(jì)中基動(dòng)態(tài)模型是皂一類(lèi)應(yīng)用廣膛泛的模型，必尤其在宏觀親方面。墻（三）按模次型的經(jīng)濟(jì)背止景分類(lèi)贈(zèng)按原型背景凳分類(lèi)，可以送分為宇觀經(jīng)柔濟(jì)模型、宏消觀經(jīng)濟(jì)模型觀、中觀經(jīng)濟(jì)找模型和微觀錫經(jīng)濟(jì)模型。擱它們的原型旋背景分別是貪世界、國(guó)家酬、地區(qū)和企捎業(yè)（這種分惑類(lèi)尚有異議鴨）。發(fā)按學(xué)科分類(lèi)愧大致有運(yùn)籌他學(xué)模型、經(jīng)這濟(jì)控制論模慎型、計(jì)量經(jīng)蒼濟(jì)學(xué)模型和努數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)御模型。這模早型都有其獨(dú)云特的數(shù)學(xué)理捐論和方法，萄而且可以再漆細(xì)分。面按模型化問(wèn)蟻題的類(lèi)型分概類(lèi)，可以分巷為模擬模型促、統(tǒng)計(jì)模型讓、優(yōu)化模型床和結(jié)構(gòu)模型廢。模擬模型嘗和統(tǒng)計(jì)模型幻重在科學(xué)地葡觀察、預(yù)測(cè)燭；優(yōu)化模型攤重在配置、陳統(tǒng)籌和最佳黃控制；結(jié)構(gòu)勇模型重在對(duì)祥原型的邏輯爽化、分析、瘦推理和解釋釘假說(shuō)。放（四）按模未型的數(shù)學(xué)機(jī)稻理分類(lèi)億大致可分為夠：溪①宏數(shù)學(xué)規(guī)劃類(lèi)橋模型：包括冤線(xiàn)性規(guī)劃模柔型、非線(xiàn)性證規(guī)劃模型和代動(dòng)態(tài)規(guī)劃模貝型等等；憤②于統(tǒng)計(jì)回歸類(lèi)瞧模型：包括律時(shí)間序列模這型、多元分爹析模型等等悄；溝（五）按模幼型化目的分效類(lèi)侄大致可分為透：觀察和解房釋模型、計(jì)蕩劃和設(shè)計(jì)模猛型、計(jì)劃和奸設(shè)計(jì)的優(yōu)化宮模型、機(jī)理梁過(guò)程分析模娃型、控制模獨(dú)型和研究模慕型。援此外，還有那一些其它的燃分類(lèi)方式，即而且分類(lèi)不久是絕對(duì)的。曉但是，識(shí)別帝模型的類(lèi)別悟無(wú)論對(duì)構(gòu)造薯模型還是使洽用模型都是宅十分必要的遷。消§粒2.4模捏型化過(guò)程童許多人曾給用出過(guò)數(shù)學(xué)模退型化的步驟沈，但很少有柄人詳細(xì)地說(shuō)扮明這個(gè)過(guò)程罰。本節(jié)試圖葛詳盡地闡述裕模型化程序然，給讀者一競(jìng)個(gè)較清楚的樓輪廓。我們耐首先給出模蹲型化流程圖痛。繡模型化流程全圖圖2.貢1擇§活深模型化方毒向的表述和追經(jīng)濟(jì)原型的前機(jī)理分析胸一、模型化醫(yī)方向的表述螞申模型化過(guò)程抄始于對(duì)模型勵(lì)化方向的表反述，當(dāng)你懷令著通過(guò)模型不化研究原型款的愿望，進(jìn)是入模型化過(guò)榴程，起初的丹模型化設(shè)想杏可能是模糊戲的，不完整窯的，隨著模勿型化的深入治和反復(fù)，不環(huán)斷地修正、墾調(diào)整，模型醒化的方向就姨會(huì)逐漸明確糟。在此階段章，應(yīng)盡可能例地表述整個(gè)腰模型化過(guò)程巾和注意模型壁化的可行性蓋、經(jīng)濟(jì)性和您實(shí)用性?？蓜潘膫€(gè)方面來(lái)懲表述：貪（1）表述灰模型化的目咸的噸包括模型化芒的動(dòng)機(jī)和模棋型的用途等救等，不同的藝目的決定著宇模型化不同凝的方向，如懸用于理論研稱(chēng)究和實(shí)際應(yīng)芬用的模型化白會(huì)有很大的盤(pán)區(qū)別，由此寬引出模型的棄性質(zhì)、類(lèi)型冒、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則螞等一系列的塔區(qū)別，它是省模型化沿正天確方向進(jìn)行孫的必要條件法。轉(zhuǎn)（2）表述梨對(duì)模型的期污望飲表述包括對(duì)牢模型解決問(wèn)娘題的程度、插范圍以及模漫型性質(zhì)的表羞述，它是模萍型化目的的穿深化。匪（3）表述爺經(jīng)濟(jì)原型的搏輪廓憐表述包括原濃型的橫向與徑縱向，原型訪(fǎng)的內(nèi)涵與外狗延，原型的醋內(nèi)部、邊界象和外界等主條面的表述，判它是進(jìn)一步熊明確原型定宏義的前題。虜氏（4）表述正可行的模型昏"空間"勝表述主要指性建模型者所由熟悉的模型煌的類(lèi)型，雖爹然我們尚不成知確定何種拴模型，但通佩過(guò)掌握已知堡的條件成為組可行的模型霞類(lèi)型，這時(shí)貿(mào)類(lèi)比分析和濃考慮異原同渡模往往是有石益的。當(dāng)然貌將來(lái)構(gòu)造出通的模型可能咳并不在第一均次列出的候死選之列，模億型化過(guò)程是捧一個(gè)反饋型念的創(chuàng)造性過(guò)字程。偏上述四方面睡的表述不是我一次完成的庫(kù)，在模型化萬(wàn)過(guò)程中，可懂以修正、補(bǔ)疤充或簡(jiǎn)化，噴它們是調(diào)查補(bǔ)和分析原型育的前題。柴二、經(jīng)濟(jì)原縫型的機(jī)理分峽析暫經(jīng)濟(jì)活動(dòng)通波過(guò)抽象和提濁煉而形成了抗經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，差它和客觀經(jīng)皇濟(jì)現(xiàn)象有所輝不同。如果袖我們以一個(gè)荷經(jīng)濟(jì)問(wèn)題為量原型，那么蠟其經(jīng)濟(jì)背景距就是原型的艘原型。具體弦原型具體分謝析是模型化特的靈魂，對(duì)朵原型的機(jī)理薄分析的方式讓可以是多種肉多樣的，我挎?zhèn)冊(cè)诖藦?qiáng)調(diào)別的是以定性薯為主，定量份為輔的原則耗，采用將對(duì)綢象化整為零河、把復(fù)雜事挎物分解為若軍干要素，對(duì)項(xiàng)局部或要素?fù)徇M(jìn)行研究和之認(rèn)識(shí)的一種值手段，一般雹說(shuō)來(lái)，原型斬機(jī)理分析包互括以下三個(gè)謠步驟：觀（1）分析去原型的外部序及邊界的機(jī)隱理捕其中包括分細(xì)析原型外部才和邊界的狀純況，它們中屬哪些因素對(duì)沫原型的存在隆和發(fā)展的影脅響較大，它搖們是怎樣發(fā)遠(yuǎn)生作用的等甘等。承（2）分析熔原型的內(nèi)部欣機(jī)理燒其中包括分送析原型的可蓄分性，子原定型的結(jié)構(gòu)和斥相互依存關(guān)撇系，原型元殿的特性、作舞用、存在和字變異的條件楊等等。殲（3）綜合障分析楊綜合分析包恐括對(duì)原型的鈔內(nèi)部、外部舊和邊界的相忌依關(guān)系，原巡型存在和消岡亡的條件、贏發(fā)展和變化鬧的形式和趨半勢(shì)，以及原揭型的本質(zhì)與毛特征和遵從睡的規(guī)律等方掉向的分析，厘它是我們進(jìn)繞行簡(jiǎn)化和抽臟象的關(guān)鍵。礦違分析使經(jīng)濟(jì)廚原型的各種籃屬性和本質(zhì)侍清晰地呈現(xiàn)塌在我們的面碑前，而綜合坊則把經(jīng)濟(jì)原君型的各個(gè)部遇分、側(cè)面、速因素統(tǒng)一起鞏來(lái)加以考慮志。鐵綜合是建立襲于分析的基遙礎(chǔ)之上，運(yùn)羽用正確的社渴會(huì)經(jīng)濟(jì)科學(xué)者理論和概念會(huì)，對(duì)原型的喪各個(gè)子原型票和各種要素懼的理解統(tǒng)一室為對(duì)原型的悼整體認(rèn)識(shí)。走這種認(rèn)識(shí)將雙引導(dǎo)人們對(duì)瘡原型進(jìn)行合咳理的抽象和弄作出科學(xué)的授假說(shuō)。陜§宏閑模型化假疑說(shuō)和模型的尸構(gòu)造涉一、模型化椅假說(shuō)望假說(shuō)是自然概科學(xué)和社會(huì)堅(jiān)科學(xué)發(fā)展的職描述形式，險(xiǎn)是通向客觀棋真理的必由做之路，它在韻模型化過(guò)程避中也是最為書(shū)關(guān)鍵的一步信。嚴(yán)格地說(shuō)普，模型化假監(jiān)說(shuō)是由經(jīng)濟(jì)杰假說(shuō)到數(shù)學(xué)苗假設(shè)的過(guò)程誘。及所謂經(jīng)濟(jì)假槍說(shuō)指依據(jù)客建觀經(jīng)濟(jì)事實(shí)矛和普遍規(guī)律姐，結(jié)合一定燈的經(jīng)濟(jì)概念凍、原理和科陽(yáng)學(xué)知識(shí)，對(duì)裳于經(jīng)濟(jì)原型慧及其本質(zhì)和波規(guī)律所作的辭推斷或解釋彎，由于社會(huì)碗經(jīng)濟(jì)的機(jī)制虛復(fù)雜，因果棋關(guān)系不甚分飾明，假說(shuō)是僚經(jīng)濟(jì)研究中勤常用的方式箱，如西方的斑各種經(jīng)濟(jì)學(xué)丟流派的理論邀實(shí)為不同的叉假說(shuō)，經(jīng)實(shí)耐踐檢驗(yàn)是正星確的假說(shuō)，該就形成了理棉論，作為經(jīng)送濟(jì)假說(shuō)往往罰有三個(gè)性質(zhì)內(nèi)：三一、似然性垃。人們常常潛感到假說(shuō)與場(chǎng)人們的直觀立的想象差異商不大，但都能不能斷定其倦真?zhèn)危欢?dān)、推斷性。碌由于造成一左個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)材現(xiàn)象產(chǎn)生的魔原因很多，溪假說(shuō)往往是銹憑著構(gòu)模者郵的推測(cè)或判農(nóng)斷，找出在則冥冥中牽引垂的魁首；眠三、簡(jiǎn)明性斬。假說(shuō)不再乏是原型本身更，它簡(jiǎn)化了勝原型的復(fù)雜擇程度，抽象泰出最本質(zhì)的他東西，對(duì)原招型的結(jié)構(gòu)，燃趨勢(shì)和規(guī)律領(lǐng)做出了較明舒確的規(guī)定。肆剩關(guān)于經(jīng)濟(jì)假劑說(shuō)的范圍大尖致應(yīng)有兩方離面：?。?）對(duì)原剖型有關(guān)的經(jīng)講濟(jì)概念的假骨說(shuō)，一般說(shuō)建來(lái)，一個(gè)經(jīng)敞濟(jì)概念往往咸有多種解釋隊(duì)，這與模型爭(zhēng)化不利，因威此，在假說(shuō)圍中應(yīng)明確一抵切有關(guān)的經(jīng)他濟(jì)概念前后已一致，以統(tǒng)括一口徑。此高外，假說(shuō)時(shí)晨，要注意盡錦量使用量綱樣或可定量化堵的經(jīng)濟(jì)概念襪。求（2）對(duì)原膛型的經(jīng)濟(jì)規(guī)閑律的假說(shuō)，汗由于原型及因原型中子原式型和原型元蓋的邏輯關(guān)系溝和變異形式威可能很繁瑣究，所以必須畫(huà)選擇其關(guān)鍵測(cè)的邏輯關(guān)系激，普遍性的售變異形式加瘋以假說(shuō)，排藝除一切不明嚼確的或小概牲率的情況，埋假說(shuō)原型在時(shí)一定的條件舌下，遵從某碑種規(guī)律。格在經(jīng)濟(jì)假說(shuō)晉中應(yīng)注意承闊上啟下，考宮慮經(jīng)濟(jì)假說(shuō)僻的合理性。封所謂合理性釋包括：假說(shuō)優(yōu)中有關(guān)的信瞇息是否可以賺獲得，是否肺可靠，能否狼定量化；經(jīng)弄濟(jì)假說(shuō)是否忠有適當(dāng)?shù)囊琅c據(jù)，能否檢杰驗(yàn)，是否符張合原型的客六觀背景，經(jīng)旬濟(jì)假說(shuō)是否眠為數(shù)學(xué)假設(shè)稠奠定了足夠吉堅(jiān)實(shí)的研究甜基礎(chǔ)，等等雨。在運(yùn)用經(jīng)版濟(jì)假說(shuō)時(shí)，順要充分發(fā)揮視主觀能動(dòng)性疼，依據(jù)科學(xué)擾原理而不拘駁泥其間，勇廁于提出自己送的假說(shuō)；根蛛據(jù)客觀事實(shí)疼，利用創(chuàng)造敢性思維，對(duì)醉未知的事物朱進(jìn)行推斷；劉正視現(xiàn)實(shí)，盈以無(wú)私的態(tài)索度接受實(shí)踐爭(zhēng)的檢驗(yàn)，不范斷地修正或雷放棄經(jīng)濟(jì)假押說(shuō)中的不妥喜之處。襪數(shù)學(xué)假設(shè)是樹(shù)經(jīng)濟(jì)假說(shuō)的云精確化。它圍是用數(shù)學(xué)術(shù)崖語(yǔ)考慮前述蝴一切過(guò)程。規(guī)對(duì)經(jīng)濟(jì)假?lài)谡f(shuō)中所使用插的基本經(jīng)濟(jì)粘概念或經(jīng)濟(jì)復(fù)量作出數(shù)學(xué)柏假設(shè)。一般單將要研究的種量設(shè)為變量悔，將影響模沸型但非我們滴所要研究的蘆量設(shè)為參量渾。此外，根厭據(jù)具體原型餃及經(jīng)濟(jì)假說(shuō)港，對(duì)變量和洽參量的數(shù)學(xué)糕性質(zhì)，定義集域以及變量方間的相互關(guān)賄系等等，給建予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)邁學(xué)定義。在合數(shù)學(xué)假設(shè)中駛，既要盡力劑與經(jīng)濟(jì)原型撤吻合，又要傅有所創(chuàng)造和跟抽象，即要盾滿(mǎn)足經(jīng)濟(jì)假怪說(shuō)的描述，恐又要兼顧模甚型的可構(gòu)造梁性。因此，鉗數(shù)學(xué)假設(shè)是姐十分關(guān)鍵。楚最后，假設(shè)皆中還要考慮感如何將實(shí)際說(shuō)的經(jīng)濟(jì)信息熄轉(zhuǎn)化成模型鵝的參數(shù)問(wèn)題夜，關(guān)于這一綢點(diǎn)本文下面窄還要論述。浮興二、數(shù)學(xué)模戀型的構(gòu)造與么推導(dǎo)拜構(gòu)造數(shù)學(xué)模怕型就是針對(duì)貪關(guān)于原型的粥特征規(guī)律和寸基本量的模疲型化假說(shuō)，投結(jié)合數(shù)學(xué)概撫念與方法，映建立各經(jīng)濟(jì)蔽因素之間的車(chē)描述關(guān)系的辣數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。簽構(gòu)造數(shù)學(xué)模館型是一種創(chuàng)矮造性的活動(dòng)買(mǎi)，沒(méi)有固定贈(zèng)模式，構(gòu)模躬的思維方法種一般有四類(lèi)護(hù)：侮（1）直接鬼分析。當(dāng)模行型化假說(shuō)十滅分清楚，各踩因素間的數(shù)捏量關(guān)系和邏廁輯關(guān)系比較燭簡(jiǎn)單，可以漢直接地進(jìn)行問(wèn)推理分析，放構(gòu)造模型或菠使用標(biāo)準(zhǔn)模慎型。鉗（2）比擬怎思考。當(dāng)問(wèn)婆題的機(jī)理和褲假說(shuō)不甚分爪明時(shí)，類(lèi)比粘具有共性的鋤事物；思考犧它們的構(gòu)模脫方式，運(yùn)用疤直覺(jué)、想象憂(yōu)和靈感，在授不同形式的雁事物間建立指起同構(gòu)或同口態(tài)關(guān)系。輪膊（3）啟發(fā)伐性思考。啟恨發(fā)性思考是嬌從一般到特齡殊的思維方城式。它運(yùn)用令已有的理論剃和原型方面沙的知識(shí)，探早討應(yīng)用于構(gòu)曉模的可能性棄。理論聯(lián)系透實(shí)際是其特豐征。?。?）理想夾實(shí)驗(yàn)法。當(dāng)寬模型化假說(shuō)催較為復(fù)雜時(shí)窮，這是一種綢假想實(shí)驗(yàn)，新此過(guò)程往往叢和模型化假價(jià)說(shuō)關(guān)系密切貢，是運(yùn)用邏尋輯思維時(shí)設(shè)找想的情況進(jìn)槐行分析，和籃運(yùn)用數(shù)學(xué)工治具進(jìn)行理論賴(lài)上的推導(dǎo)地幕過(guò)程。果構(gòu)造模型是灘一個(gè)創(chuàng)造性簡(jiǎn)的過(guò)程，因咸此沒(méi)有固定熄的模式，下熟面就構(gòu)模方鼓法作一簡(jiǎn)單灘的綜述：貴（1）數(shù)據(jù)書(shū)分析法鏈對(duì)結(jié)構(gòu)尚不怖清楚或結(jié)構(gòu)畝已定但參數(shù)籌未定的模型碰，可采用此留法。其特征跳是利用數(shù)據(jù)增作多元分析排。如相關(guān)分撈析、聚類(lèi)分澡析或回歸分盜析等，最后答推斷出數(shù)量轉(zhuǎn)之間的結(jié)構(gòu)肯關(guān)系。奏（2）量綱畜分析法(d警imens斧ional晚anal湯ysis)榮挽此法原于物飛理學(xué)。它的府理論依據(jù)是食P定理(P棉-theo慢rem)和敵相似定理(盡Lawo聚fsim固ilitu轉(zhuǎn)de)其大零意為物理量謙都帶有量綱竟，當(dāng)度量基蜓本單位改變健時(shí)，物理定獅律仍然不變辯。我們把它凈平移到經(jīng)濟(jì)鷹學(xué)中，有量迅綱的經(jīng)濟(jì)量接之間的數(shù)量浩規(guī)律不隨量鐵綱的變化而忌變化。協(xié)（3）幾何險(xiǎn)直觀法侄這是經(jīng)濟(jì)中補(bǔ)最常用的方由法之一。圖弄形傳遞的信從息以描述為榴主。根據(jù)幾渴何直觀構(gòu)造甘相應(yīng)的或推餐廣的模型，孫以及其應(yīng)有票的性狀是有山效的。屋（4）標(biāo)準(zhǔn)著問(wèn)題法眼由于客觀事采物的同一性池，許多不同晴的原型可以羨抽象為標(biāo)準(zhǔn)穴問(wèn)題，這些漂標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題與振確定的模型憲相對(duì)應(yīng)。找央到原型的標(biāo)圍準(zhǔn)問(wèn)題也就托是找到了模慈型。遇（5）數(shù)學(xué)酒分析法系利用特定的至數(shù)學(xué)理論和臘方法（如數(shù)膊學(xué)分析、代慎數(shù)、拓樸概館率、統(tǒng)計(jì)、燒微分方程等環(huán)）構(gòu)造相應(yīng)棄的模型，這狐種方法要求槐構(gòu)模對(duì)該數(shù)部學(xué)分支的分司析方法和理衰論有一定的技了解。釋?zhuān)?）計(jì)算倒機(jī)模擬法戴根據(jù)原型分日析，設(shè)計(jì)出竭結(jié)構(gòu)邏輯圖豈，然后利用念某種計(jì)算機(jī)躲模擬語(yǔ)言，魚(yú)進(jìn)行模型設(shè)蠅計(jì)。佛至于模型的機(jī)推導(dǎo)過(guò)程則控主要是依據(jù)逼數(shù)學(xué)理論和炕方法進(jìn)行的輸，以運(yùn)用數(shù)灘學(xué)技巧為主尋。蠻§館米數(shù)學(xué)模型甚數(shù)學(xué)性質(zhì)和爆經(jīng)濟(jì)背景研吩究缸利用數(shù)學(xué)理冤論和方法研害究已構(gòu)造好卡的數(shù)學(xué)模型輛，是模型化以中必不可少澤的。由于數(shù)琴學(xué)理論的抽青象性可能會(huì)咸得出一些意購(gòu)想不到的結(jié)爭(zhēng)論，對(duì)這些娃結(jié)論應(yīng)與適熟當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)背發(fā)景分析和研涼究，下面我效們就經(jīng)濟(jì)中尚四類(lèi)常見(jiàn)的慮模式指出它智們各自主要笑研究的方面優(yōu)。截一、概念性怖模式碑基本概念模紗式是最簡(jiǎn)單康的研究模式滿(mǎn)，對(duì)于數(shù)學(xué)歡模型中的基懇本量以研究伍其單調(diào)性、丙凸凹性、連議續(xù)性、可微情性、周期性歉或運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定愉性等數(shù)學(xué)性泉質(zhì)為主，同筋時(shí)研究這些劫數(shù)學(xué)性質(zhì)的建經(jīng)濟(jì)背景。蒼例如導(dǎo)數(shù)可表能和邊際、漫變動(dòng)率、彈旦性等概念有礦關(guān)；凸性可夜能與下降且獲遞增或上升姻且遞減等概挽念有關(guān)，而刪周期性則可桿能與季節(jié)性樂(lè)波動(dòng)或經(jīng)濟(jì)儀循環(huán)等概念駝?dòng)嘘P(guān)。另外痛，對(duì)基本概蟲(chóng)念模型引出捆的特殊的數(shù)讀學(xué)性質(zhì)，應(yīng)揉用到經(jīng)濟(jì)上反去接受檢驗(yàn)榆。突二、指標(biāo)性邀模式餡指標(biāo)模式是楚經(jīng)濟(jì)中應(yīng)有同最廣泛的模骨式。對(duì)數(shù)學(xué)唇模型設(shè)計(jì)有幼關(guān)指標(biāo)并進(jìn)恒行指標(biāo)驗(yàn)證知是研究數(shù)學(xué)剃模型的背景免的手段。由艇于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)球應(yīng)具有的特節(jié)點(diǎn)是不僅具給有一定的經(jīng)演濟(jì)解釋?zhuān)R且與一定的垃運(yùn)算規(guī)則相旦聯(lián)系，例如撫率、比、指鹿數(shù)常和商的伙運(yùn)算有關(guān)；黎累計(jì)、總和街常與求和或趙積分運(yùn)算有推關(guān)。指標(biāo)的句經(jīng)濟(jì)解釋一孩般是清楚的配，只是對(duì)構(gòu)規(guī)成指標(biāo)的諸掩因素的作用吉和影響應(yīng)予逃以研究。分憤析各因素對(duì)怎指標(biāo)的影響只可以更科學(xué)敗地設(shè)計(jì)和控島制指標(biāo)，避添免盲目依賴(lài)腳指標(biāo)而導(dǎo)致懲謬誤。士三、方程類(lèi)久模式食這類(lèi)模型本紹質(zhì)是可以利烏用其數(shù)學(xué)結(jié)橫構(gòu)去尋找滿(mǎn)豈足某些性質(zhì)緣的數(shù)值解或接函數(shù)解。方休程本身則表詳示某種經(jīng)濟(jì)差行為，一般限說(shuō)來(lái)，需要我研究的數(shù)學(xué)襯性質(zhì)有模型兼對(duì)參數(shù)穩(wěn)定氧性，解的存鋒在性、唯一篩性，可構(gòu)造嫌性或可計(jì)算矩性，以及解究的穩(wěn)定性等走等。此外，討對(duì)上述性質(zhì)式成立或不成載立的條件，敢也應(yīng)予以數(shù)姓學(xué)證明及經(jīng)頌濟(jì)解釋。參初四、最優(yōu)化陽(yáng)類(lèi)模式姥優(yōu)化類(lèi)模式艦與方程類(lèi)相棋似，除上述煉內(nèi)容外，值砍得注意的是膝最優(yōu)化模型擋一般存在著稈對(duì)偶模型，皂其原型與原煤?jiǎn)栴}的原型茫相對(duì)偶，研棋究模型的對(duì)痕偶性質(zhì)對(duì)深年化原型的研勞究也是必要囑的。醬§甘縮解模算法脈的研制及公餡式化去概念模型和休指標(biāo)模型的梢算法一般是棟不難的，方叮程類(lèi)和優(yōu)化尺類(lèi)模型則以驟求解為算法親的重點(diǎn)。解迅模算法就是善根據(jù)已有的龍數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)宵模型，計(jì)算?；蚪獬鑫粗獪y(cè)或待定的數(shù)嚼值解或函數(shù)女解的方法，鴨公式化則指培把算法的具跡體步驟用嚴(yán)鋤謹(jǐn)?shù)?、?biāo)準(zhǔn)狀的、可直接董計(jì)算的數(shù)學(xué)渠公式表示出屬來(lái)，研制解夏模算法大致弄分以下幾步奏：穩(wěn)（1）研究拍考查數(shù)學(xué)模府型及相關(guān)的首算法欣一般說(shuō)來(lái)，灘一類(lèi)數(shù)學(xué)模墾型總有與之悼相應(yīng)的一類(lèi)掩算法，考查燙數(shù)學(xué)模型的新類(lèi)型和結(jié)構(gòu)增，選擇和利串用已知算法澆，可以避免擠重復(fù)勞動(dòng)，販處理大規(guī)模蛋問(wèn)題時(shí)，可攝以結(jié)合計(jì)算柱機(jī)程序化分俯析和選擇算通法，先把整手個(gè)計(jì)算或求腰解過(guò)程分解統(tǒng)成若干子塊天，把具有共閥性的子塊放炕在一起統(tǒng)一朽考慮相應(yīng)的耕算法。帆（2）具體存研制算法場(chǎng)垃完全套用已巡有算法的情濁況是不多見(jiàn)滾的，具體研疤制算法過(guò)程雅中，大致包燈括有關(guān)數(shù)學(xué)犯模型的條件浮修正，數(shù)學(xué)久模型結(jié)構(gòu)的顧變換或近似腰，舊算法的水改進(jìn)、移植續(xù)、新算法的陽(yáng)研制；符號(hào)泳的諧調(diào)一致惕以及子算法患的邏輯關(guān)系核的統(tǒng)一。吵（3）算法白的估價(jià)齡估價(jià)算法大摩致有以下幾茫個(gè)方面，算粗法的復(fù)雜性駕、收斂性和煌程序化的水吐平；精確度鬼或誤差量的獲可控性水平答；簡(jiǎn)易性和呆實(shí)用性水平讀；以及解決俊同類(lèi)問(wèn)題的莫能力和擴(kuò)展御的潛力等等爹。綱一般說(shuō)來(lái)，護(hù)選擇算法的亭標(biāo)準(zhǔn)是計(jì)算測(cè)誤差小、方疊法簡(jiǎn)單、計(jì)傘算時(shí)間短和腰經(jīng)濟(jì)耗費(fèi)低稻。應(yīng)當(dāng)指出粱算法的估價(jià)幣標(biāo)準(zhǔn)也是選喉?yè)袼惴ǖ臉?biāo)朵準(zhǔn)，只不過(guò)季我們事先不烘知道罷了。蘆至于公式化騰則主要是為盼程序化作準(zhǔn)喇備的，相當(dāng)良于把模型和還算法用基本滴的、初等的勇數(shù)學(xué)語(yǔ)言加擇以描述，它躁是算法實(shí)現(xiàn)流的一部分。氏掙§談蛋程序設(shè)計(jì)碑和支持系統(tǒng)他的開(kāi)發(fā)西計(jì)算機(jī)是人腐腦和手的延校拓，它使數(shù)尚學(xué)模型的實(shí)諷際應(yīng)用成為躍可能，如果沙數(shù)學(xué)模型的真規(guī)模較大，勒復(fù)雜程度較菊高，使用率斑也高，或要撥求迅速得出除結(jié)果，則可咳考慮使用計(jì)巨算機(jī)，大致嬌需要經(jīng)過(guò)以杰下過(guò)程：愉（1）公式脹化數(shù)學(xué)模型印和所選用的蹄算法廳由于計(jì)算機(jī)芒畢竟只能按渾人們事先約版定的方式進(jìn)粥行演算，許男多數(shù)學(xué)符號(hào)它不能直接輸咽入，因此必考須把所有需師要計(jì)算機(jī)處盛理的內(nèi)容進(jìn)東行公式化。種值（2）構(gòu)造通一整套程序娃框架迫計(jì)算機(jī)程序病往往是牽一仿發(fā)而動(dòng)全身臥，故構(gòu)造框如架時(shí)力求嚴(yán)簽謹(jǐn)、精細(xì)和純完整、子框腸架之間的接扶口要邏輯分庫(kù)明，設(shè)計(jì)一啞個(gè)好的框架候是成功的關(guān)催鍵。苗（3）根據(jù)思具體情況，強(qiáng)選擇計(jì)算機(jī)鐵的類(lèi)型、編忘程序的語(yǔ)言窄，以及適應(yīng)醬的操作系統(tǒng)箭。挑（4）設(shè)計(jì)悔較細(xì)致的框嫂圖，編制程練序和部分調(diào)棗試。惕（5）設(shè)計(jì)戒信息處理支謙持系統(tǒng)提其中包括：殼多種信息輸翁入形式，統(tǒng)訓(xùn)計(jì)預(yù)測(cè)方法躬支持系統(tǒng)，旺文件支持系曠統(tǒng)，關(guān)系數(shù)表?yè)?jù)庫(kù)支持系嘉統(tǒng)，以及信喂息直接轉(zhuǎn)化行模型參數(shù)系晉統(tǒng)等等。植（6）程序熊的輸入調(diào)試傲與檢測(cè)務(wù)調(diào)試方法有妹：將大程序塔分為子塊調(diào)倦試，最后再爹聯(lián)接的分塊宅調(diào)試法；有祖加入顯示程弟序尾隨運(yùn)算異過(guò)程的跟蹤蛇法，有虛擬誕數(shù)據(jù)的逆向?qū)艺{(diào)試法等等跳。經(jīng)常有這罵樣的情況，籌程序已可以鑒使用，但仍戰(zhàn)有錯(cuò)誤。拔羅（7）程序各的維護(hù)和功倡能的完善化頁(yè)恰第三章經(jīng)第濟(jì)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)允模型脫商模型化過(guò)程跨的第一步是夠收集原型的黎有關(guān)信息，哲而信息的收字集涉及到抽剃樣調(diào)查的指煙標(biāo)設(shè)計(jì)和信刻息的分類(lèi)處亭理問(wèn)題。本崇章主要討論射模型化信息糕的收集與統(tǒng)名計(jì)處理方法升。巨§移3.1模他型化信息的滲收集方法另信息是表現(xiàn)垮事物運(yùn)動(dòng)狀剝態(tài)以及和其溉他事物相互熊作用的一種殺形式。收集剩有關(guān)原型的獸信息則是模影型化中必不鐵可少的一環(huán)拘。收集信息域是為了實(shí)現(xiàn)冤模型化目的喇，是一種有槐意識(shí)的活動(dòng)鋼。一般來(lái)說(shuō)壤，模型化信血息有五類(lèi)：盛衛(wèi)（1）先決車(chē)信息：即有廣關(guān)模型化所腸需的準(zhǔn)備性妹信息。如模辭型化的簡(jiǎn)單作設(shè)想，原始供概念、框架皆、草圖、有論關(guān)的經(jīng)濟(jì)理組論、事實(shí)、句和一般規(guī)律宣，以及必要團(tuán)的數(shù)學(xué)知識(shí)揭等方面的信賤息。敞（2）外界款環(huán)境信息：甚即有關(guān)原型撿外延的信息化。其中包括卡定義明確的溉原型界限，仍原型外部對(duì)就原型的影響母、作用，以掘及它們之間僅的相互作用側(cè)。懇（3）內(nèi)部戶(hù)結(jié)構(gòu)信息：滔即原型體系艦內(nèi)部的結(jié)構(gòu)姥信息。其包低括原型的組蘆成方式，原小型元和子原純型存在的形正式、功能及氣相依關(guān)系等惑等。伸（4）原型頂性狀信息：繳即原型作為掌一個(gè)整體的栽性態(tài)狀況方豈面的信息。朝其包括原型猜存在的目的掏、形式、行產(chǎn)為、性狀、城特征以及發(fā)建展趨勢(shì)和變?cè)V異、消亡的抬條件等。