高等數(shù)學(xué)(本科少學(xué)時(shí)類型)第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)○函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí)) ○鄰域(去心鄰域)(★)的極限○數(shù)列極限的證明(★)nx)wnnnx)wn節(jié)函數(shù)的極限○x)x時(shí)函數(shù)極限的證明(★)0x)x000x)x0x)w000x)的無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質(zhì)(★)函數(shù)f(x)無窮小一limf(x)=0○無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論 (★★)(定理三)假設(shè)f(x)為有界函數(shù)，g(x)x(定理四)在自變量的某個(gè)變化過程中，若f(x)為無窮大，則f一1(x)為無窮?。环粗?，若f(x)為無窮小，0【題型示例】計(jì)算：f(x).g(x)(或0x)的)2．limg(x)=0即函數(shù)g(x)是x)x時(shí)的x)x0 (limg(x)=0即函數(shù)g(x)是x)的時(shí)的x)的00運(yùn)算法則○極限的四則運(yùn)算法則(★★)(定理一)加減法則(定理二)乘除法則x)300x)3x2–9【求解示例】解：因?yàn)閤)3，從而可得x–3x–311倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解(詳見第三章第節(jié))：○連續(xù)函數(shù)穿越定理(復(fù)合函數(shù)的極限(定理五)若函數(shù)f(x)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，00x2–9【求解示例】x)3x2–9=limx)3第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限○夾迫準(zhǔn)則(P53)(★★★)x)0x (2) (2)x)0x x)xx-x00○單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則(P57)(★★★)x)w(x)x)w(x)(一般地，○等價(jià)無窮小(★★)1．2(乘除可替，加減不行)x)0x2+3x函數(shù)的連續(xù)性○函數(shù)連續(xù)的定義(★)○間斷點(diǎn)的分類(P67)(★)(跳越間斷點(diǎn)(不等)l可去間斷點(diǎn)(相等)l可去間斷點(diǎn)(相等)(((特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去該怎樣選擇數(shù)a，使得f(x)成為在R上的【求解示例】2．由連續(xù)函數(shù)定義x)0一x)0+第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)○零點(diǎn)定理(★)有一個(gè)根介于a與b之間【證明示例】1．(建立輔助函數(shù))函數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念○高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(P83)(★★)【題型示例】已知函數(shù)f(x)=〈，x共0在x=0處可導(dǎo)，求a，bx>0【求解示例】2．由函數(shù)可導(dǎo)定義 第二節(jié)函數(shù)的和(差)、積與商的求導(dǎo)1．線性組合(定理一)：b2．函數(shù)積的求導(dǎo)法則(定理二)：3．函數(shù)商的求導(dǎo)法則(定理三)：(u)u，v-uv，第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則○反函數(shù)的求導(dǎo)法則(★)【題型示例】求函數(shù)f-1(x)的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得f(x)為直接函數(shù)，其高階導(dǎo)數(shù)○f(n)(x)=f(n-1)(x)，(或第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)○隱函數(shù)的求導(dǎo)(等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)) (★★★)與法線方程,,第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率(不作要求)節(jié)函數(shù)的微分○基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則(★★★)第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理○引理(費(fèi)馬引理)(★)○羅爾定理(★★★)【證明示例】3．∴由羅爾定理知○拉格朗日中值定理(★)【題型示例】證明不等式：當(dāng)x>1時(shí)，【證明示例】1．(建立輔助函數(shù))令函數(shù)f(x)=ex，并且f,(x)=ex；【題型示例】證明不等式：當(dāng)x>0時(shí)，1．(建立輔助函數(shù))令函數(shù)fx間[0,x]上連續(xù)，在開區(qū)間使得等式x)0達(dá)法則○運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟(★★)1．☆等價(jià)無窮小的替換(以簡化運(yùn)算)滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件A．屬于兩大基本不定型(0,w)0w且滿足條件，則進(jìn)行運(yùn)算：、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果B．☆不屬于兩大基本不定型(轉(zhuǎn)化為基本不定型)⑴0.w型(轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式) 【求解示例】x)0】1x1xx)0x)0L,x)0(|())|,1x)0x)0x)0x)0x)0x)0x2⑷1w型(對(duì)數(shù)求極限法)xx○運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路(★★)⑴通分獲得分式(通常伴有等價(jià)無窮小的替⑵取倒數(shù)獲得分式(將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式⑶取對(duì)數(shù)獲得乘積式(通過對(duì)數(shù)運(yùn)算將指數(shù)第三節(jié)泰勒中值定理(不作要求)第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性○連續(xù)函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)(★★【題型示例】試確定函數(shù)2值值((【證明示例】x=0,x=2〈12lx=1f(2)=5；⑶函數(shù)y=1+3x2-x3在區(qū)間⑷函數(shù)y=1+3x2-x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)為第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值○函數(shù)的極值與最值的關(guān)系(★★★)⑴設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果3x的某個(gè)鄰域U(x)仁D，使得對(duì)MMMf(x)<f(x)，M我們則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)xM,f(xM)處有極大值f(xM)；令x={x,x,x,...,x}MM1M2M3Mnfx閉區(qū)間[a,b]上的最大值M滿足：M1M2M3Mn；⑵設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果3x的某個(gè)鄰域U(x)仁D，使得對(duì)mmmf(x)>f(x)，m處有極小值f(x)；mmmmmmnfx閉區(qū)間[a,b]上的最mmmmn；上的最值【求解示例】fx上連續(xù)，且可導(dǎo)12值值∴f(x)=f(1)=2,f(x)=f(3)=18xmin第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪(不作要求)第七節(jié)曲率(不作要求)第八節(jié)方程的近似解(不作要求)第四章不定積分一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)○原函數(shù)與不定積分的概念(★★)假設(shè)在定義區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)xI時(shí)，有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x).dx成立，則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)如果函數(shù)f(x)在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得F(x)=f(x)，也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù))⑶不定積分的概念(★★)在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶定義區(qū)間I上的不定積分，即表示為： f(x)dx稱為積分表達(dá)式，x則稱為積分變量)x=，a○基本積分表(★★★)則原式可化為t式)(★★★)冗冗冗冗22○22adyf(xdyf(x).dx的逆向應(yīng)用)冗冗2冗冗冗冗22x+1x○第二類換元法(去根式)(★★)j(一次根式)j(一次根式) (dy=f,(x).dx的正向應(yīng)用)求解示例】求解示例】22【題型示例】=jtdta2-x2dx(三角換元)分，則直接計(jì)算出答案(容易表積分法○分部積分法(★★)積分法○分部積分法(★★)則重復(fù)⑵、⑶，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是冪、三、指”【題型示例】求jex.x2冪、三、指”○運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ虎鞘褂梅植糠e分公式：四節(jié)有理函數(shù)的不定積分四節(jié)有理函數(shù)的不定積分○有理函數(shù)(★)設(shè)Pxpxaxmaxm…+a01n P(x)○有理函數(shù)(真分式)不定積分的求解思路(★)成兩個(gè)沒有公因式的多項(xiàng)式的乘積：其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為一次因式(x-a)k；而另一個(gè)多項(xiàng)式可na=-maa(M(M(M(M(M(M由待定系數(shù)法(比較法)求出⑶得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解【題型示例】求jdx(構(gòu)造法)【求解示例】第五節(jié)積分表的使用(不作要求)第五章定積分極其應(yīng)用一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)○定積分的定義(★) (f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被為積分區(qū)間)○定積分的性質(zhì)(★★★)aaaaa⑷(線性性質(zhì))⑸(積分區(qū)間的可加性)a(推論一)若函數(shù)f(x)、函數(shù)g(x)在積分區(qū)間aaaa(推論二)jbf(x)dx三jbf(x)dxaa○積分中值定理(不作要求)微積分基本公式○牛頓-萊布尼茲公式(★★★) (定理三)若果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則○變限積分的導(dǎo)數(shù)公式(★★★)(上x)0x2【求解示例】第三節(jié)定積分的換元法及分部積分法○定積分的換元法(★★★)⑴(第一換元法)【題型示例】求j【求解示例】【求解示例】【求解示例】22第四節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用(暫時(shí)⑵(第二換元法)第五節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用(暫時(shí)第六節(jié)反常積分(不作要求)b