1第零章預(yù)備知識(shí)?0.1向量的線性運(yùn)算?0.1.1向量及其表示向量:速度,加速度,力等等.用一個(gè)有向線段來(lái)表示它.以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記為EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)(圖7.5).還常用小寫的粗體字母a,b,．．．來(lái)記向量.如果兩個(gè)向量的大小相等、方向相同,就稱這兩個(gè)向量是相等的.如圖7.5中,AB和A\B\是相等的向量,記作AB=A\B\.自由向量:能平移至任意起點(diǎn)的向量.相反向量:兩個(gè)向量的大小相等而方向相反.負(fù)向量.向量模及其向量模的表示.?0.1.2向量的線性運(yùn)算如果兩個(gè)向量是相反向量,則其和顯然為零向量,就是顯然,還有從三角形法則容易證明向量的加法滿足交換律,即從圖7.8不難看出,向量的加法滿足結(jié)合律因而可以略去括號(hào)而記c向量的減法與數(shù)量的減法一樣,定義為加法的逆運(yùn)算.向量與數(shù)的乘積.設(shè)有向量a和數(shù)λ,則其乘積表示這樣一個(gè)向量,它的模等于向量a的模a小于零時(shí)與a反向(圖7.9).2由定義可知第零章預(yù)備知識(shí)0a=0.顯然又有向量的線性組合.利用向量與數(shù)的乘積,向量a可以表示為其中a0表示與a同向的單位向量.由此得到0aa即一個(gè)不為零的向量除以它的模后是與它同向的單位向量.向量與數(shù)的乘積具有以下性質(zhì).設(shè)a與b是給定的兩個(gè)向量,而λ及μ是任意常數(shù),則有λ)μa)=μ)λa)=)λμ)a;λ)a＋b)=λa＋λb.?0.1.3向量的共線與共面向量共線,向量共面.(零向量和任一個(gè)向量共線.)向量a,b共線的充分必要條件是,有實(shí)數(shù)λ,使a=λb或b=λa.向量a,b,c共面的充分必要條件是:其中一個(gè)向量可以表成其余二個(gè)向量的線性組合.?0.2坐標(biāo)系這樣就得到一個(gè)直角坐標(biāo)系.如果在坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz上以O(shè)為起點(diǎn)分別取三個(gè)單位向量i,j,k,其方向與軸的正方向相同,這些單位向量稱為坐標(biāo)系Oxyz的基本單位向量.給定向量a,過(guò)向量a的終點(diǎn)A作三平面分別與坐標(biāo)平面平行,且與各坐標(biāo)軸交于點(diǎn)X,Y,Z.易知OX=a1i,OY=a2j,OZ=a3k由向量加法的三角形規(guī)則可得OA=OP＋PA=OX＋XP＋PA=OX＋OY＋?0.2坐標(biāo)系3即a=)a1,a2,a3)=a1i＋a2j＋a3k.它就是a按基本單位向量的分解式.應(yīng)用這個(gè)分解式,向量的加法,減法及向量與數(shù)的乘積就可歸結(jié)為其坐標(biāo)的相應(yīng)運(yùn)算.事實(shí)上,設(shè)a=)a1,a2,a3),b=a=a1i＋a2j＋a3k,b=b1i＋b2j＋b3k.從而得到a±b=)a1±b1)i＋)a2±b2)j＋)a3±b3)k=)a1±b1,a2±b2,a3±b3);λa=λa1i＋λa2j＋λa3k=)λa1,λa2,λa3).EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),OB)所以EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),OB)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)就是說(shuō)向量AB的坐標(biāo)等于終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo).口例0.2.2.設(shè)點(diǎn)P把有向線段EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(一),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)分成定比λ,即有=λ.若已知端點(diǎn)A和Bxyzx,y2,z2),求分點(diǎn)P的坐標(biāo))x,y,z).解由題設(shè)可知AP=λPB若將A,P,B各點(diǎn)與原點(diǎn)O連成向量,則有由此得到EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up10(),OP)=)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up10(),)＋λEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up10(),OB)).EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)=x1i＋y1j＋z1k,EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),OB)=x2i＋y2j＋z2k,EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),OP)=xi＋yj＋zk,代入后給出xi＋yj＋zk=i＋j＋k.比較i,j,k的對(duì)應(yīng)系數(shù)即得xxyy2z1＋λz2x=1＋λ,y=1＋λ,z=1＋λ.4第零章預(yù)備知識(shí)這就是空間線段的定比分點(diǎn)公式.特別地,線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為x1＋x2y1＋y2z1＋z2x=2,y=2,z=2.aaa2,a3)的起點(diǎn)在原點(diǎn),這時(shí)終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是)a1,a2,a3),由空間兩點(diǎn)的距離公式得|a|=OA=′aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),1)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),2)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),3).?0.3向量的內(nèi)積?0.3.1內(nèi)積的定義定義0.3.1.兩個(gè)向量的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)量,它的大小是這兩個(gè)向量的模與其夾角的余弦的乘積.通常用記號(hào)a．b表示向量a與b的內(nèi)積.如果a．b=0稱a與b正交.設(shè)它們的夾角為臺(tái),按定義有?0.3.2內(nèi)積的性質(zhì)1.a與b正交的充分必要條件是a,b之一為零向量或它們是互相垂直的非零向量.2.向量的內(nèi)積滿足交換律bba3.向量的內(nèi)積滿足分配律4.向量的內(nèi)積與數(shù)的乘積滿足結(jié)合律?0.3.3直角坐標(biāo)系下內(nèi)積的計(jì)算設(shè)給定兩個(gè)向量a=a1i＋a2j＋a3k,b=b1i＋b2j＋b3k,則有?0.3向量的內(nèi)積5因?yàn)閕,j,k是互相垂直的單位向量,所以從而得到abababab.這就是說(shuō),兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.特別當(dāng)a=b時(shí),有222222|a|=′aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),1)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),2)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),3這與7.2.3中導(dǎo)出的向量模的計(jì)算公式完全一致.cos臺(tái)=|a||b|=′aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),1)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),2cos臺(tái)=|a||b|=′aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),1)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),2)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),3)′bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),1)＋bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),2)＋bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(2),3).所以有三角形不等式例0.3.1.證明Cauchy不等式)a1b1＋a2b2＋a3b3)2s)aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)))bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)＋bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)＋bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)).ababab|a|2=aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),1)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),2)＋aEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3),|b|2=bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),1)＋bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),1)＋bEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3).把它寫成坐標(biāo)的形式,即得欲證的不等式.口b6?0.4.1外積的定義第零章預(yù)備知識(shí)?0.4向量的外積定義0.4.1.兩個(gè)向量a與b的外積是向量c,它滿足:這就是說(shuō),向量c的模在數(shù)值上等于以向量a與b為鄰邊的平行四邊形的面(2)向量c垂直于向量a與b所決定的平面,并且a,b,c構(gòu)成右手系統(tǒng).b?0.4.2外積的性質(zhì)外積具有以下性質(zhì).1.如果兩個(gè)向量共線,則它們的外積必是零向量;反之,如果兩個(gè)向量的外積為零向量,則這兩個(gè)向量共線.2.當(dāng)因子的次序互換時(shí),外積要改變符號(hào),就是所以兩個(gè)向量的外積不滿足交換律.口3.向量的外積與數(shù)的乘積滿足結(jié)合律abab).從性質(zhì)3又可推出外積與數(shù)的乘積另外一些形式的結(jié)合律a)λb)=λ)a×b),)λa)×)μb)=λμ)a×b).4.向量的外積滿足分配律由此又可推出外積的分配律的另一形式?0.4向量的外積7?0.4.3直角坐標(biāo)系下外積的計(jì)算利用外積的這些運(yùn)算性質(zhì),就可以導(dǎo)出外積的坐標(biāo)表示式.設(shè)給定兩個(gè)向量a=a1i＋a2j＋a3k,b=b1i＋b2j＋b3k,則有a×b=)a1i＋a2j＋a3k)×)b1i＋b2j＋b3k)＋a2b1)j×i)＋a2b2)j×j)＋a2b3)j×k)因?yàn)閕,j,k是互相垂直的基本單位向量,所以i×i=0,j×j=0,k×k=0;ijji=k,j×k=一k×j=i,于是得到abababiababjababk它可以利用三階行列式寫成EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(),)解設(shè)所求三角形的面積為S,則由外積的定義可知S=2|AB×AC|.但EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(),)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(2),4)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(2),4)8第零章預(yù)備知識(shí)所以S=′162＋)一12)2＋)一4)2=2^26.?0.5向量的混合積?0.5.1混合積的定義定義0.5.1.設(shè)給定三個(gè)向量a,b,c,)a×b)．c稱為a,b,c的混合積.它是一個(gè)數(shù)量.量以a,b,c為棱的平行六面體的體積V等于以a,b為邊的平行四邊形的面積S乘以高h(yuǎn),即V=Sh.但由外積的定義可知S=|a×b|.其中φ為銳角時(shí)ε=1,否則取ε=一1,因而推得其中ε=1或ε=一1使所得的體積為正數(shù),所以當(dāng)a,b,c組成右手系統(tǒng)時(shí)取ε=1,而組成左手系統(tǒng)就取ε=一1.混合積為零的幾何意義:三個(gè)向量共面.?0.5.2直角坐標(biāo)系下混合積的計(jì)算cEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up1(),)所以EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(a),b)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(2),2)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(a),b)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(3),3)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(a),b)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(1),1)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(a),b)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(3),3)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(a),b)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(1),1)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(a),b)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(2),2)或用三階行列式表示為?0.6復(fù)數(shù)9該四面體的體積.解容易看出,所求四面體的體積V是以AB,AC,AD為鄰邊的平行六面體的體積的六分之一,故EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)而EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)所以EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),B)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),A)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(),)于是得到V=1.3434=6.?0.6復(fù)數(shù)?0.6.1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù):a＋ib,)a,b∈R)稱為復(fù)數(shù),a稱為實(shí)部,b稱為虛部.復(fù)數(shù)的加法:)a＋ib)＋)c＋id)=)a＋c)＋i)b＋d)的減法:)a＋ib)一)c＋id)=)a一c)＋i)b一d)復(fù)數(shù)的乘法:)a＋ib))c＋id)=)ac一bd)＋i)ad＋bc)復(fù)數(shù)的除法:=＋ibcEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(),2)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(a),d)d2復(fù)數(shù)的共軛:z=a一ib稱為z=a＋ib的共軛,記為z?0.6.2復(fù)數(shù)的向量表示設(shè)平面中建立了直角坐標(biāo)系OXY.復(fù)數(shù)z=a＋ib唯一對(duì)應(yīng)了一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì))a,b),而有序?qū)崝?shù)對(duì))a,b)對(duì)應(yīng)了平面中的一個(gè)點(diǎn)Z.點(diǎn)Z又決定了一個(gè)向量EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),OZ).因此復(fù)數(shù)與向量是一一對(duì)應(yīng)的.復(fù)數(shù)的加法與對(duì)應(yīng)向量的加法是一致的.?0.6.3復(fù)數(shù)的三角表示設(shè)復(fù)數(shù)z=a＋ib對(duì)應(yīng)的向量為EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),OZ).向量EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),OZ)的長(zhǎng)度r稱為復(fù)數(shù)的模,因此r=^a2＋b2.以O(shè)X軸正向?yàn)槭歼?向量EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),OZ)為終邊的角臺(tái)稱為復(fù)數(shù)z的幅角.一個(gè)復(fù)數(shù)的幅角有無(wú)限多個(gè),相差2π的整數(shù)倍.其中滿足0s臺(tái)<2π的幅角臺(tái)稱為幅角主值,記作argz.10第零章預(yù)備知識(shí)因此復(fù)數(shù)可以表示為稱為復(fù)數(shù)的三角形式.乘法公式:由此可得第一章空間解析幾何§1.1直線與平面§1.1.1直線的方程OBPAOBPl——\在向量空間中，過(guò)任意不同兩點(diǎn)A,B可作一條直線I。對(duì)于直線l上任意點(diǎn)P,由于向量AP//AB,故有實(shí)數(shù)t使得A一=t-ABo于是得到等式OP=OA+1-AB (1.1)當(dāng)t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，等式(1.1)給出直線l上的所有點(diǎn)。等式(1.1)稱為直線l的參數(shù)方程，非零向量A一稱為直線l的方向向量，而t稱為參數(shù)。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a"2,a3),A一的坐標(biāo)為(**,%),點(diǎn)P的坐標(biāo)為于是直線l的參數(shù)方程可寫成坐標(biāo)形式x=ai+u\t(1.2)y=a2+U21z=a3+Ugt從方程(1.2)中消去參數(shù)t,則可得到直線l的點(diǎn)向式方程(1.2)(1.3)x—aiy—a2 z—a3(1.3)U] U2 U3§1.1.2點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A,方向向量u,P為空間中任意一點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為B。于是，點(diǎn)P到直線l的距離TOC\o"1-5"\h\z.——. ,-p. ,-一 u-AP.luxAPl / 、|BP|= |AP|sin0 =|AP u| = . . (1.4)u-u |u|

§1.1.3兩直線的位置關(guān)系向量空間中的任意兩條直線11和12,它們可能共面(平行、相交、重合)或異面。設(shè)11過(guò)點(diǎn)&01皿,《3),方向向量U=(U1,U2,U3);12過(guò)點(diǎn)B(bi,&2,&3)，方向向量V=(vi,V2,V3)o兩條直線的點(diǎn)向式方程分別為“X-aiy-a2z-a.x-biy-赤z-&3Ui U2 U3 Vi V2 V311與12共面的充分必要條件是U,v,AB共面，即uxv-aB=0 (1.5)11和12的方向向量U和V所夾的銳角或直角稱為兩直線11和12的夾角。設(shè)點(diǎn)分別在11和12上，并且直線CD與11,12都垂直，直線CD稱為兩直線11和12的公垂直線，公垂線段CD的長(zhǎng)度|CD|稱為兩直線11和12的距離。當(dāng)11和12平行時(shí)，11和12的距離就等于點(diǎn)B到11的距離叵料O當(dāng)11和12不平行時(shí)，因?yàn)镃D垂直于11和12,所以CD//UxV,CD^A一在uxV方向上的投影，i^n， luxv-A一1 (16)|CD|= |uxv| (1句§1.1.4平面的方程n

在向量空間中，過(guò)任意一點(diǎn)M有唯一的平面n與給定的非零向量n垂直。對(duì)于平面n上任意點(diǎn)P,都有M一丄n,即TOC\o"1-5"\h\zMP-n=0 (1.7)反之，滿足等式(1.7)的點(diǎn)P一定在平面n上。等式(1.7)稱為平面n的點(diǎn)法式方程，非零向量n稱為平面n的法向量。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(mi,m2,m3),n的坐標(biāo)為(n"2,n3)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),于是方程(1.7)可寫成坐標(biāo)形式ni(x-mi)+”2(y-m2)+?3(z-m3)=0 (1.8)將方程(1.8)展開(kāi)合并，又可得平面n的一般方程Ax+By+Cz+D=0 (1.9)其中A=ni,B=?2,C=?3,D=-(mini+m2?2+m3“3)?！?.1.5點(diǎn)到平面的距離設(shè)平面n的一般方程為Ax+By+Cz+D=0,法向量n=(A,B,C),M(xo,yo,zo)為平面n上任意一點(diǎn)，P(x,y,z)為空間中任意一點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)P作平面n的垂線，垂足為Q。點(diǎn)P到平面n的距離iQj-pl=ln.MP1=|A(x—xo)+B(y—yo)+C(z—zo)|屋I——國(guó)—— ,A2+B2+C因?yàn)辄c(diǎn)Q在平面n上，所以Axo+Byo+Czo+D=0,由此得(1.10)\Qp\=|Ax+By+Cz+D|

1 ,A2+B2+C2(1.10)§1.1.6兩平面的位置關(guān)系向量空間中的任意兩個(gè)平面ni和旳，它們可能平行、相交或重合。

設(shè)兩平面的一般方程分別為:Aix+Biy+ + =0,n:A2x+B2y+C2z+D=0ni的法向量ni=(Ai,Bi,Ci)和旳的法向量攻=(A2,B2,C2)所夾的銳角或直角們稱為兩平面ni和n的夾角。當(dāng)ni和n2共線時(shí)，兩平面平行或重合。若A1=醫(yī)=C1=D1則兩平面平行，若A=簣=C1=D則兩平面重合。此時(shí)，平行平面ni和旳的距離就等于n2上任意一點(diǎn)到平面ni的距離。當(dāng)ni和n2不共線時(shí)，兩平面相交于一條直線1。方程組(L11)JAix十Biy十Ciz+Di=0(L11)[A2X+B?y+C2Z+D2=0也稱為直線1的一般方程。通過(guò)一條直線可以作無(wú)限多個(gè)平面，因此總是可以表示成為兩個(gè)平面的交線。由已知直線的點(diǎn)向式方程(1.3)(假設(shè)*=0),可以很容易地寫出直線的一般方程U2X—uiy+(uia2—的一般方程oU3X—Uiz+(uia3—U3^i)=0由直線的一般方程(1.11)求直線的點(diǎn)向式方程，則應(yīng)當(dāng)首先求出方程組(1.11)的一個(gè)解即直線上的一個(gè)點(diǎn)(⑶皿仙)和直線的方向向量u=niX8,然后代入到點(diǎn)向式方程(1.3)中?！?.2.3中介紹了求兩條異面直線li和I2的距離的方法，現(xiàn)在給出求li和I2的公垂線1的方法。設(shè)直線li和I2的方向分別為u和v,貝ljuXv為1的方向向量，li和1張成的平面ni具有法向量(uXv)Xu,I2和1張成的平面力2具有法向量(uXv)XVo于是可以先求出ni和n2的方程，1正是ni和力2的交線。當(dāng)然，也可以先求出1在1i,12上的垂足，然后求出1的方程。§1.1.7直線和平面的位置關(guān)系向量空間中的任意一條直線1和一個(gè)平面n它們可能平行、相交或直線在平面上。U2U3Ui設(shè)l的方向向量U=(ui,U2,U3)和力的法向量n=(A,B,C)所夾的銳角或直角為則軒=2-?=arcsin與帶稱為直線l和平面n的夾角。當(dāng)u和n不垂直時(shí)，l和n有唯一的交點(diǎn)，可通過(guò)解線性方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)u和n垂直時(shí)，若Aai+Ba-2+Ca，3+D=0,則l和n有公共點(diǎn)(a「a2,a3),l在n上；若Aa1+Ba2+Ca3+D=0,則l和n平行?！?.2空間曲線與曲面§1.2.1曲線和曲面的方程P(t)=(x(t),y(t),z(t)) (1.12)表示一條空間曲線，(1.12)稱為該曲線的參數(shù)方程；P(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)) (1.13)表示一個(gè)曲面，(1.13)稱為該曲面的參數(shù)方程；滿足/(x,y,z)=0 (1.14)的點(diǎn)(x,y,z)的集合形成一個(gè)曲面，(1.14)稱為該曲面的一般方程；滿足(1.15)"(x,y,z)=0(1.15)[g(x，y，z)=0的點(diǎn)(x,y,z)的集合則是兩個(gè)曲面f(x,y,z)=0和g(x,y,z)=0的交線，(1.15)稱為該曲線的一般方程。§1.2.2§1.2.2柱面由一族平行直線形成的曲面叫柱面，這些直線叫做柱面的母線。柱面上與每條母線都相交的一條曲線叫做柱面的一條準(zhǔn)線。過(guò)準(zhǔn)線上的各點(diǎn)作平行于母線方向的直線，或者將一條母線沿著準(zhǔn)線作平行移動(dòng)，又或者將一條準(zhǔn)線沿著母線作平行移動(dòng)，都可以得到柱面。一般地，設(shè)母線的方向U=(**,%),準(zhǔn)線的參數(shù)方程p(t)=(P1(t),P2(t),P3(t))，則柱面具有參數(shù)方程P(s,t)=su+p(t) (1.16)§1.2.3錐面由一族經(jīng)過(guò)給定點(diǎn)的直線形成的曲面叫錐面，這些直線叫做錐面的母線，那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)。錐面上與每條母線都相交的但不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的一條曲線叫做錐面的一條準(zhǔn)線。把準(zhǔn)線上的各點(diǎn)與頂點(diǎn)用直線聯(lián)結(jié)起來(lái)，就可以得到錐面。一般地，設(shè)頂點(diǎn)&。"2仙)，準(zhǔn)線的參數(shù)方程p(t)=(pl(t),p2(t),P3(t)),則錐面具有參數(shù)方程P(s,t)=(1—s)A+sp(t) (1.17)設(shè)f(x,y,z)是一個(gè)齊次多項(xiàng)式，如果f(x,y,z)=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(tx,ty,tz)=0o因此，f(x,y,z)=0在空間中表示一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面。它與任意不過(guò)原點(diǎn)的平面的交線都是它的一條準(zhǔn)線。§1.2.4旋轉(zhuǎn)面由空間中的一條曲線Y繞著一條直線l旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，Y叫做旋轉(zhuǎn)面的子午線，l叫做旋轉(zhuǎn)面的軸。

§1.3二次曲面簡(jiǎn)介一般方程為三元二次多項(xiàng)式，具有形式ailx2+ai2xy+ai3xz+啞寸+a23yz+a33z2+aix+a2y+a3z+a=0的曲面稱為二次曲面。常見(jiàn)的二次曲面有2221.橢球面%+%+%=1(a>(a>0,b>0,c>0)2.單葉雙曲面%+*—C2=1(a>0,b>0,c>0)2223.雙葉雙曲面x2—告—J=1(a>0,b>0,c>0)a2 b2 c2x2 y2 z24..二次錐面—2+-y2 2=0(a>0,b>0,c>0)

2 2橢圓拋物面z=%+巻(a>0,b>0)22雙曲拋物面z=X2-局(a>0,b>0)雙曲拋物直俗稱馬鞍面，可以被看作是Oyz平面上的拋物線z=-%沿著Oxz平面上的拋物線z=X平行滑動(dòng)而成。22橢圓柱面—2+%=1(a>0,b>0)T2 y2雙曲柱面—2— =1(—>0,b>0)19.拋物柱面y2=2px(p>0)

第二章線性方程組(SystemsofLinearEquations)n個(gè)變量x1,···,xn,m個(gè)方程的線性方程組:a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1 〈a21x1+a..22x2+···+a2nxn=b2(am1x1+am2x2+···+amnxn=bm若將x1=c1,···,xn=cn代入上述方程等式都成立,則稱(c1···cn)為該方程組的一組解(solution)幾個(gè)基本問(wèn)題?方程組是否存在解?如果有解,有幾個(gè)解??如何求方程組的解??解的公式表示?解的幾何結(jié)構(gòu)(如一個(gè)二元一次方程表示一條平面直線)§2.1Gauss消元法基本思想:將方程組三角化,再回代求解例2.13x1+2x2?x3=6〈x1+3x2+2x3=9(2x1?x2+3x3=3①x1+3x2+2x3=9②→〈2x1?x2+3x3=3③(3x1+2x2?x3=6④x1+3x2+2x3=9⑤→〈?7x2?x3=?15⑥(?7x2?7x3=?21⑦⑧⑨x1+3x2+2x3=9o●〈?7x2?x3=?15o●(6x3=6例2.2x1+2x2+3x3+4x42x1+4x2?3x3?192x1+4x2?3x3?19x4(3x1+6x2?3x3?24x4=?3=1=6=7x1+3x2=7〈?7x2=14(x3=1x1=1?→〈x2=2(x3=1x1+2x2+3x3+4x4=?3?9x3?29x4=12?9x3?29x4=12(?11x3?36x4=162 ( (→〈x1 ( ((令→三個(gè)基本變換+3x3+4x4=?3?3x3?9x4=4 (x1=1?2t1+5t2,,,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(,),,)3→EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(,),,)3,(x4=t2(1)交換兩個(gè)方程;Oi?Oj(2)某個(gè)方程乘一個(gè)非零常數(shù)c×Oi(3)某方程乘一非零常數(shù)加到另一個(gè)方程c×Oi+Oj定理2.1三個(gè)基本變換將方程組變?yōu)橥夥匠探M因此不會(huì)產(chǎn)生增根§2.2Gauss消元的矩陣表示解方程組的時(shí)候,變?cè)粎⑴c運(yùn)算因此可以省去變?cè)匦驴紤]例2.1x1x2x31\32?16)\1329)\1329)\1329)I1329'?I2?133'?I0?7?1?15'?I0?7?1?15'(2?133)(32?16)(0?7?7?21)(0066)于是例2.1種的線性方程組等價(jià)于,,,,(3x1+2x2?x3=6?7x2?72x3=?216x3=6兩個(gè)進(jìn)一步的例子3重新考慮例2.2例2.3:無(wú)解實(shí)例§2.3一般線性方程組的1.算法描述2.最終形式 (經(jīng)經(jīng)x1+2x2+3x3+4x4=?3經(jīng)經(jīng)經(jīng)經(jīng)經(jīng)(3x1+6x2?3x3?24x4=7 (3x1?2x2+5x3+4x4=2經(jīng)經(jīng)〈6x1?7x2+4x3+3x4=3經(jīng)經(jīng)(9x1?9x2+9x3+7x4=?1Gauss消元解法\c11···c1,j21IIIIIIIII(c2j2···c2,j31cr,jr00cncncrn00d2Id2IIEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(I),I)IdrEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(I),I)IIdmdm定理2.2線性方程組的解如下情形1di0,i∈{r+1,···,m},方程組無(wú)解情形2di=0,i=r+1,···,m且r=n,方程有唯一解情形3di=0,i=r+1,···,m,r<n,方程有無(wú)窮多解xj1,···,xjr為非獨(dú)立未知數(shù),其余為獨(dú)立未知數(shù)(共有n?r個(gè)),記為t1,···,tnr.則方程的通解可以寫成t1,···,tnr的線性組合對(duì)于齊次方程,只有情形23發(fā)生推論2.1齊次線性方程組有非零解充要條件為r<n,只有零解條件為?r=n.推論2.2若m<n,則齊次線性方程組一定有非零解4回頭看本章開(kāi)頭提出的幾個(gè)基本問(wèn)題:(1)解的存在性與唯一性問(wèn)題已解決;(2)求解問(wèn)題已解決;我們還需繼續(xù)研究方程的公式解及解的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)于n=3的情形,由于每個(gè)方程表示三維空間中的一個(gè)平面,因此方程組的解將是一些平面的交集,因此解集可以是一個(gè)平面,一條直線一個(gè)點(diǎn)或空集這里,r是決定解集的一個(gè)非常變更的量!幾個(gè)新的問(wèn)題1.如何從原方程組判別解的存在性唯一性及多解?2.如何從原方程組直接確定r?3.r是否唯一?4.解集的大小與r有何關(guān)系?5.直接從原方程獲得解析(公式)解為研究方程組的解析(公式)解,我們將引入行列式的概念為研究方程組的解得屬性(存在性,唯一性等),我們引入矩陣的運(yùn)算(特別是乘法運(yùn)算).為研究線性方程組的解集的結(jié)構(gòu),我們將引入線性空間的概念線性方程組????????↓行列式↓?????????↓矩陣?????????↓線性空間課堂作業(yè)1.求下列線性方程組的通解: 2.λ為何值時(shí),下列線性方程組有解?并求解:2x1?x2+x3+x4=1〈x1+2x2?x3+4x4=2(x1+7x2?4x3+11x4=λ3*.是否存在數(shù)域F使R?F?C?

第三章矩陣與行列式?3.1矩陣的概念對(duì)任意正整數(shù)m和n)由m·n個(gè)數(shù)或不定元排成的m行n列的表╱a11a12...a2n、EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(),)a21a22...a2nEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(ì),ì)ì(3.1)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(),)...EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)(am1am2...amn．稱為一個(gè)m·n矩陣。表中的每個(gè)數(shù)或不定元稱為矩陣的元素。排在第i行第j列的元素aij稱為矩陣的第(i,j)元素:當(dāng)i=j時(shí))aii也稱為矩陣的對(duì)角元。矩陣(3.1)通常記為(aij)m×n。兩個(gè)矩陣相等)當(dāng)且僅當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)都相等)且每個(gè)位置上的元素都相等。下面介紹幾種常見(jiàn)的矩陣名稱?！駈·n矩陣稱為n階方陣?！裨囟际?的矩陣稱為零矩陣)通常記為O?！駥?duì)角元是1其它元素都是0的方陣稱為單位陣)通常記為I?！駥?duì)角元是a其它元素都是0的方陣稱為數(shù)量陣)通常記為aI?！袢舴疥嘇=(aij)n×n滿足aij=0對(duì)所有ij成立)A稱為對(duì)角陣)通常記為A=diag(a11,...,ann)?！袢艟仃嘇=(aij)m×n滿足aij=0對(duì)所有i>j成立)則A稱為上三角陣。●若矩陣A=(aij)m×n滿足aij=0對(duì)所有i<j成立)則A稱為下三角陣。●若方陣A=(aij)n×n滿足aij=aji對(duì)所有i,j成立)則A稱為對(duì)稱陣。●若方陣A=(aij)n×n滿足aij=.aji對(duì)所有i,j成立)則A稱為反對(duì)稱陣?！袢舴疥嘇=(aij)n×n的每行、每列都恰有一個(gè)元素等于1且其他元素都等于0)則A稱為置換陣。●若矩陣A的元素都取自某個(gè)數(shù)域F)則A稱為數(shù)域F上的矩陣。特別)若A的元素都是復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、有理數(shù)、整數(shù)、多項(xiàng)式、…)則A分別稱為復(fù)矩陣、實(shí)矩陣、有理數(shù)矩陣、整數(shù)矩陣、多項(xiàng)式矩陣、…。?3.2矩陣的運(yùn)算?3.2.1加法和數(shù)乘設(shè)矩陣A=(aij)m×n和B=(bij)m×n)λ是一個(gè)數(shù)或不定元)則aba12+b12×××a1n+b1n、A+B=．ìEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),)a21+b21a22+b22×××a2n+b2nEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(ì),ì)A+B=．ì(3.2)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(ì),ì)am1+am1+bm1am2+bm2×××amn+bmn和EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(),)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(ì),ì).3)λA=．.3)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(),)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(ì),ì)分別定義了矩陣的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算)記為A+B=(aij+bij)m×n,λA=(λaij)m×n類似地)可以定義矩陣的減法運(yùn)算和負(fù)矩陣A.B=(aij.bij)m×n,.A=(.aij)m×n按照定義)只有大小相同的矩陣才可以相加減。定理3.1.矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算具有下列性質(zhì),(1)A+B=B+A:(2)(A+B)+C=A+(B+C):(3)A+O=O+A=A:(4)A+(.A)=(.A)+A=O:(5)(λ+μ)A=λA+μA:(6)λ(A+B)=λA+λB:(7)(λμ)A=λ(μA):(8)1A=A。因此)數(shù)域F上的所有m·n矩陣構(gòu)成F上的一個(gè)線性空間)記為Fm×n。設(shè)Eij為(i,j)位置元素等于1)其它位置元素等于0的m·n矩陣)則每個(gè)矩陣A=(aij)m×n都可以唯一地表示成A=么aijEij的形式。于是)Fm×n的i,j維數(shù)等于mn)且{Eij\1<i<m,1<j<nI是Fm×n的一組基。?3.2.2矩陣的乘法并非任意兩個(gè)矩陣A與B都可以相乘)只有當(dāng)A的列數(shù)等于B的行數(shù)時(shí))A與B才可以相乘。設(shè)A=(aij)m×n)B=(bij)n×p)定義A與B的乘積AB=(cij)m×p)其中ncij=ìaikbkj=ai1b1j+ai2b2j+×××+ainbnj(3.4)k=1即cij等于A的第i行與B的第j列相應(yīng)元素的乘積的和。(1)即使A與B是同階方陣)AB與BA也不一定相等。(2)兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。(3)在A的左邊乘上對(duì)角陣相當(dāng)于將A的各行分別乘上一個(gè)數(shù))在A的右邊乘上對(duì)角陣相當(dāng)于將A的各列分別乘上一個(gè)數(shù)。特別)用數(shù)量陣λI與A相乘的效果等于矩陣的數(shù)乘λA。更特別)IA=AI=A)OA=AO=O。定理3.2.矩陣的乘法運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)(AB)C=A(BC):(2)λ(AB)=(λA)B=A(λB):(3)A(B+C)=AB+AC:(4)(B+C)A=BA+CA。其中A,B,C是使運(yùn)算有意義的矩陣)λ是數(shù)或不定元。通過(guò)矩陣的乘法)可以定義任意方陣A的正整數(shù)次幕\」\」k另外)對(duì)任意方陣A包括零方陣)規(guī)定A0=I。有了方陣的各次幕)就可以將方陣帶入多項(xiàng)式求值。設(shè)多項(xiàng)式f(x)=c0+c1x+×××+ckxk)定義fA=c0I+c1A+×××+ckAk(3.5)?3.2.3初等變換通過(guò)對(duì)線性方程組實(shí)施初等變換)可以消去方程組中的某些變?cè)?將方程組化為階梯形。對(duì)于矩陣)也可以進(jìn)行同樣的操作,●交換某兩行(列)的位置:●用某個(gè)非零數(shù)乘以某行(列):●某行(列)的若干倍加到另一行(列)。以上三種對(duì)矩陣的行的操作稱為矩陣的初等行變換)三種對(duì)矩陣的列的操作稱為矩陣的初等列變換)這六種操作統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。對(duì)單位方陣施行初等變換)得到的方陣稱為初等方陣?！窠粨Q單位陣的第i,j行)或交換第i,j列)得到Sij=EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(),)(0110、ìììììììEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(ì),ì)-第ììììEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(ì),ì)-第j行ìEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)1．.6)●用數(shù)λ乘以單位陣的第i行)或用數(shù)λ乘以第i列)得到、EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(),)...EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(),)1EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(ì),ì)Pi(λ)=λ-第i行(3.7)ì(1．●將單位陣的第j行的λ倍加到第i行)或?qū)⒌趇列的λ倍加到第j列)得到、EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up9(),)1λEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up9(ì),ì)-第i行Tij(λ)=EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(),)...EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(ì),ì)(3.8)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(),EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(),)1EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(ì),ì)-第j行EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(),)...EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)(．定理3.3.對(duì)矩陣作初等行變換)相當(dāng)于在矩陣的左邊乘上一個(gè)初等方陣:對(duì)矩陣作初等列變換)相當(dāng)于在矩陣的右邊乘上一個(gè)初等方陣。?3.2.4矩陣的分塊在矩陣運(yùn)算過(guò)程中)如果總是把矩陣的所有元素都寫出來(lái))這將是一個(gè)非常繁瑣的工作)有時(shí)既無(wú)必要也不可能。一個(gè)自然的方式是把m·n矩陣╱a11a12...a1n、-β1EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(),)a21a22 a2nEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(ì),ì)-β2A=．ìEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(),) EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(ì),ì)(am1am2...amn．-βmtttα1α2...αn視作n個(gè)列向量按行排在一起)或m個(gè)行向量按列排在一起。記為╱β1、A=Jα1α2...αn、或A=β..2βm(βm一般地)可以將矩陣同時(shí)按行按列分成若干塊。╱A11A12...A1s、A=(Aij)r×s=A2..1A2..2..s(3.9)(Ar1Ar2...Ars．稱為分塊矩陣)每個(gè)Aij稱為A的子塊。更一般地)由A的若干行I={i1,i2,...,irI和若干列J={j1,j2,...,jsI上的元素組成的r·s矩陣稱為A的子矩陣)通常記為A(I,J)。設(shè)矩陣╱B11B12...B1s、B=(Bij)r×s=Br1Br1Br2...Brs與A有著相同的矩陣大小和分塊方式)λ是一個(gè)數(shù)或不定元。易見(jiàn)╱A11+B11A12+B12...A1s+B1s、A+B=(Aij+Bij)r×s=...．A+B=(Aij+Bij)r×s=...(Ar1+Br1Ar2+Br2...Ars+Brs．╱λA11λA12λA=(λAij)rλA=(λAij)r×s=(λAr1λAr2對(duì)于分塊矩陣的乘法)也有類似的結(jié)論。λA1s、λA2sEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(ì),ì)ìEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)λArs．定理3.4.設(shè)m·n矩陣A和n·p矩陣B被分塊成為A=(Aij)r×s,B=(Bij)s×t)其中每個(gè)Aik的列數(shù)與每個(gè)Bkj的行數(shù)相同。則有AB=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(s),么)AikBkj?3.2.5共軛、轉(zhuǎn)置和跡當(dāng)A是復(fù)矩陣的時(shí)候)將A的每個(gè)元素?fù)Q成它的共輒復(fù)數(shù))得到的矩陣A=(aij)m×n=a2..1a2..2..n(3.10)稱為A的共軛矩陣。映射A一A稱為共軛運(yùn)算。 定理3.5.矩陣的共輒運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)A=A(2)A+B=A+B(3)λA=λA(4)AB=AB(5)AT=AT)其中A,B是使運(yùn)算有意義的復(fù)矩陣)λ是復(fù)數(shù)或不定元。將矩陣A=(aij)m×n的行列互換)得到的矩陣AT=(AT=(aji)n×m=(a1n am1、am2EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(ì),ì)ìEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)amn．1)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。映射A一AT稱為轉(zhuǎn)置運(yùn)算。定理3.6.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(λA)T=λAT(4)(AB)T=BTAT)其中A,B是使運(yùn)算有意義的矩陣)λ是數(shù)或不定元。矩陣A的對(duì)角元之和)稱為A的跡)記作tr(A)。定理3.7.矩陣的跡具有以下性質(zhì),(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(λA)=λtr(A)(3)tr(AB)=tr(BA))其中A,B是使運(yùn)算有意義的矩陣)λ是數(shù)或不定元。?3.3行列式2階行列式?2=|EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(1),2)的幾何涵義是以α=(a1,a2),β=(b1,b2)為鄰邊的平行四邊形的有向面積:▲β′′′EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(),/) EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(/),′/)∵O3階行列式的幾何涵義是以α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),γ=(c1,c2,c3)為棱的平行六面體的有向體積。α對(duì)于一般正整數(shù)n)我們也希望能夠計(jì)算n維向量α1,α2,...,αn張成的n維平行多面體的"有向體積"?n。這就是n階行列式)記為?n=det(α1,α2,...,αn)。?3.3.1行列式的定義n,β1,β2,...,βn是任意n維向量)x,y是任意常數(shù)。滿足下面性質(zhì)(1)、(2)、(3)的函數(shù)det(α1,α2,...,αn)稱為n階行列式,(1)det(α1,α2,...,αn)對(duì)于每個(gè)變量αi都是線性的。detxiyβi,...)=xdet(...,αi,...)+ydet(...,βi,...)(2)如果α1,α2,...,αn中存在兩個(gè)向量相等)則函數(shù)值為0。tii(3)單位正方體的"有向體積"等于1。設(shè)e1,e2,...,en是單位坐標(biāo)向量)則有由性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2))我們還可以得到(4)將α1,α2,...,αn中某兩個(gè)向量互換位置)行列式變?yōu)橄喾磾?shù)。(5)將α1,α2,...,αn中某個(gè)向量乘以λ)行列式為原來(lái)的λ倍。deti(6)將α1,α2,...,αn中某個(gè)向量的λ倍加到另一個(gè)向量上)行列式不變。detiijdeti,...,αj,...)?3.3.2排列的奇偶性將自然數(shù)1,2,...,n按照任意順序排成的一個(gè)有序數(shù)組s=(s1s2...sn)稱為一個(gè)n元排列。排列(12...n)稱為標(biāo)準(zhǔn)排列。n元排列共有n!個(gè))所有n元排列的集合通常記為Sn。對(duì)于任意一個(gè)排列s=(s1s2...sn))有可能出現(xiàn)i<j且si>sj的情形。這樣的一對(duì)數(shù)(sisj)稱為一個(gè)逆序。所有逆序的個(gè)數(shù)稱為逆序數(shù))通常記為τ(s)。當(dāng)τ(s)為偶數(shù)時(shí))s稱為偶排列:當(dāng)τ(s)為奇數(shù)時(shí))s稱為奇排列。交換一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置)其它數(shù)保持不動(dòng))這稱為一次對(duì)換。定理3.8.一次對(duì)換改變排列的奇偶性。定理3.9.任意排列s可經(jīng)過(guò)τ(s)次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列。?3.3.3方陣的行列式設(shè)αi=(a1i,a2i,...,ani)是n階方陣A=(aij)n×n的第i個(gè)列向量(i=1,2,...,n))我們有det(α1,...,αn)=det/ai1ei,ai2ei,...,ainei\=zai11ai22...ainndet(ei1,ei2,...,ein)1≤i1,i2,...,in≤n=z(.1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn(3.12)(i1i2...in)eSn同理)設(shè)βi=(ai1,ai2,...,ain)是A的第i個(gè)行向量(i=1,2,...,n))我們有(j=1j=1j=1．det(β1,...,βn)=det╱EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(n),ì)a1jej,EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(n),ì)a2jej,...,EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(n),ì)anjej、(j=1j=1j=1．=ìa1j1a2j2×××anjndet(ej1,ej2,...,ejn)1≤j1,j2,...,jn≤n=ì(.1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2×××anjn(3.13)(j1j2...jn)eSnainndetndet1,...,αn)(3.14)稱為方陣A的行列式)記作det(A)或者a1aa2aa1na21aa22aa2nEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up1(),)an1an2ann許多教科書也將(3.12)式或者(3.13)式作為n階行列式的定義。由此)我們得到行列式的另一個(gè)性質(zhì)(7)將方陣轉(zhuǎn)置)行列式不變。det(A)=det(AT)利用(3.12)式或者(3.13)式)可得上三角方陣的行列式類似地)|EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up35(),a)1..r0.0EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up34(1),1)a1na2n=a11a22×××annanna1,r+1ar,r+1ar+1,r+1an,r+1a1nar,nar+1,nann5)6)a11ar1EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up18(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up17(r),r)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up14(r),a)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up14(),n)更一般地)對(duì)準(zhǔn)上三角形的分塊矩陣)有A11OOEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up22(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up22(),)?3.3.4行列式的計(jì)算計(jì)算行列式的最基本的方法是利用行列式的定義和性質(zhì)(1)_(7))通過(guò)初等變換)將一般方陣的行列式化為上(下)三角方陣的行列式。EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(),)5.114.4.5.2.55.3.1計(jì)算行列式的另一個(gè)基本的方法是利用行列式的展開(kāi)定理)將高階行列式化為低階行列式。刪去n階方陣A=(aij)n×n的第i行和第j列之后)剩下的n.1階方陣的行列式Mij)稱為aij的余子式)Aij=(.1)i+jMij稱為aij的代數(shù)余子式。A的所有代數(shù)余子式排列成的n階方陣A*=(AA*=(Aji)n×n=(A1n稱為A的伴隨方陣。定理3.11(按一列或一行展開(kāi)行列式).n(1)det(A)=么aijAij)Aj=1,2,...,n。i=1n(2)det(A)=么aijAij)Ai=1,2,...,n。j=1定理3.12.A*A=AA*=det(A)I。 An1、An2EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(ì),ì)ìEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(ì),ì)Ann．8)例3.13.計(jì)算例3.13.計(jì)算n階行列式?n=2100121