四、彈性力學(xué)平面問題的有限元分析及程序四、彈性力學(xué)平面問題的有限元分析及程序引言常應(yīng)變?nèi)切螁卧匦坞p線性單元平面問題程序(一)平面等參數(shù)單元平面問題程序(二)Wilson非協(xié)調(diào)元桿系問題以結(jié)點(diǎn)作為分割單元的“結(jié)點(diǎn)”是很自然的，但對(duì)于平面問題，待分析物體是連續(xù)的，并不存在實(shí)際結(jié)點(diǎn)。要將物體“拆”成單元，必須用一些假想的線或面作人為地分割。實(shí)際計(jì)算時(shí)，可將連續(xù)體分成多種形狀單元，為討論簡單，現(xiàn)暫時(shí)規(guī)定只用一種單元來分割。平面問題有限單元法可用的單元很多，作為初學(xué)，先介紹兩種最簡單的單元：三角形和矩形。然后再介紹高級(jí)些的單元“等參數(shù)單元”。將物體進(jìn)行分割時(shí)，必須保證相鄰單元具有公共邊界。假定相鄰單元僅在一些點(diǎn)（頂點(diǎn)或頂點(diǎn)加邊中點(diǎn)）相連接。這些點(diǎn)即為“結(jié)點(diǎn)”。4.1引言4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?.2.1面積坐標(biāo)三角形單元中任一點(diǎn)P可用直角坐標(biāo)(x,y)表示。P213yx如圖所示連P1、P2、P3，則可得三個(gè)小三角形。它們和大三角形123的面積比，記作Li（=Pjk/123），稱為面積坐標(biāo)。三個(gè)面積坐標(biāo)顯然L1+L2+L3=1，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。三角形中任一點(diǎn)P的位置可用面積坐標(biāo)L1、L2確定。當(dāng)P點(diǎn)在1時(shí)L2=L3=0，L1=1。余類推?？梢娒娣e坐標(biāo)具有“形函數(shù)”的性質(zhì)。4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?.2.2位移模式由于面積坐標(biāo)有形函數(shù)性質(zhì)，因此根據(jù)試湊法可得P213yx形函數(shù)=Ni=Li=面積坐標(biāo)1)面積坐標(biāo)和直角坐標(biāo)關(guān)系如果結(jié)點(diǎn)i位移為ui、vi，則單元位移模式（位移場）為u=Niui；v=Nivi4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?)矩陣表達(dá)P213yx4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?.2.3單元列式1)微分算子矩陣2)應(yīng)變、應(yīng)力矩陣平面應(yīng)力問題式中平面應(yīng)變時(shí)4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧纱丝梢?，單元?yīng)變、應(yīng)力都是常量。當(dāng)所分析的問題具有初應(yīng)變時(shí)，單元的彈性應(yīng)變?yōu)閇e]=[]-[0]，應(yīng)力為[]=[D][e]。3)單元應(yīng)變能將上述應(yīng)變、應(yīng)力代入4)單元外力勢(shì)能第一項(xiàng)體積力、第二項(xiàng)結(jié)點(diǎn)力、第三項(xiàng)表面力的外力勢(shì)。代入位移后，經(jīng)整理可得4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?)令總勢(shì)能一階變分等于零，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠坍?dāng)有初應(yīng)變時(shí)推導(dǎo)結(jié)果如何？6)單元?jiǎng)偠染仃?、等效荷載矩陣當(dāng)有初應(yīng)變時(shí)結(jié)果如何？具體顯式表達(dá)式見教材P。47式（3,2-39）4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?)關(guān)于等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載可用公式積分計(jì)算，但由于形函數(shù)的圖形是一平面（邊界處為一直線），因此可證明也可按杠桿原理通過靜力等效來求。如P.48圖3-4所示。4.2.4解答的收斂性準(zhǔn)則1)位移模式（也稱位移函數(shù)）必須包含剛體位移。2)位移模式必須包含常應(yīng)變位移。3)位移模式必須保證單元間位移協(xié)調(diào)。1)、2)對(duì)平面問題也即要求具有常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)一次項(xiàng)，這稱作“完備性準(zhǔn)則”。3)稱作“協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則”。既完備又協(xié)調(diào)的單元一定是收斂的。但不等于說非協(xié)調(diào)單元一定不收斂。4.3矩形雙線性單元三角形單元?jiǎng)澐朱`活，能較好擬合邊界復(fù)雜（如曲線邊界）物體計(jì)算。但是，單元應(yīng)變、應(yīng)力是常量，對(duì)一般問題精度較低，要提高精度就的增加結(jié)點(diǎn)、增加未知量，為此討論其他單元。其一為本節(jié)單元。1)自然坐標(biāo)2a

2b

22圖示矩形單元，設(shè)=x/a，=y/b，則轉(zhuǎn)換成正則單元。2)形函數(shù)222341由形函數(shù)的性質(zhì)“本點(diǎn)1，它點(diǎn)零”，利用試湊法可設(shè)：N1=a（1-)(1-）它滿足“它點(diǎn)零條件”。再令本點(diǎn)為1，可得a=1/4，代回可的形函數(shù)N1。同理可得：Ni=1/4(1+0)(1+0)(i=1,2,3,4)。式中0=i；0=

i。

請(qǐng)大家驗(yàn)證Ni是否滿足形函數(shù)性質(zhì)。4.3矩形雙線性單元3)位移模式

u=Niui；v=Nivi?；蛞跃仃嚤硎緸?22341可以用勢(shì)能原理，也可以用虛位移原理。一經(jīng)建立單元位移模式后，剩下的工作和桿系、三角形單元類似，因此這里從略。[d]=[u，v]T單元結(jié)點(diǎn)位移矩陣4)關(guān)于單元列式5)關(guān)于單元特性結(jié)果請(qǐng)看P.53式(3,6-13~15)。6)關(guān)于計(jì)算結(jié)果的整理里茲法已經(jīng)知道：位移結(jié)果比應(yīng)力、內(nèi)力結(jié)果精度高。位移達(dá)到滿意結(jié)果，有幾何方程求應(yīng)變，再由物理方程求應(yīng)力，結(jié)果精度較差。上述三角形單元常應(yīng)力，矩形單元應(yīng)力線性變化，許多工程問題的應(yīng)力是復(fù)雜的。為更好標(biāo)征性，需要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理。常用處理方法有兩種。4.3矩形雙線性單元6-1)繞結(jié)點(diǎn)平均法以交于同一結(jié)點(diǎn)各單元此結(jié)點(diǎn)處某應(yīng)力分量的代數(shù)平均值，作為此結(jié)點(diǎn)該實(shí)際應(yīng)力的近似值。對(duì)于邊界處的結(jié)點(diǎn)，由內(nèi)結(jié)點(diǎn)結(jié)果的外插得到。6-2)兩單元平均法

三角形單元時(shí)，以兩相鄰單元應(yīng)力平均值作為邊中點(diǎn)的應(yīng)力近似值。矩形單元時(shí)，以兩相鄰單元公共邊兩端結(jié)點(diǎn)四個(gè)應(yīng)力的平均值作為邊中點(diǎn)的應(yīng)力近似值。對(duì)于邊界處的結(jié)點(diǎn)，同樣由內(nèi)結(jié)點(diǎn)結(jié)果的外插得到。1)程序功能本程序可用三角形或矩形單元計(jì)算平面應(yīng)力問題。當(dāng)計(jì)算平面應(yīng)變問題時(shí)需要自行轉(zhuǎn)換彈性常數(shù)。本程序?yàn)榱藴p少計(jì)算數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備，對(duì)規(guī)則問題具有做、單元結(jié)點(diǎn)編碼等自動(dòng)生成功能。本程序荷載生成功能較弱，請(qǐng)自行修改。4.4平面問題程序(一)本程序可以用來計(jì)算如墻梁、剪力墻（可以帶孔洞）等結(jié)構(gòu)。2）程序數(shù)據(jù)文件說明2-1）基本數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)位移數(shù)，單元結(jié)點(diǎn)數(shù)，結(jié)點(diǎn)總數(shù)，最大半帶寬，總約束位移碼數(shù)，單元總數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)，規(guī)則標(biāo)志，問題標(biāo)志，彈性常數(shù)及厚度。2-2)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如果不規(guī)則：按結(jié)點(diǎn)號(hào)順序讀入全部結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。如果規(guī)則無孔：孔標(biāo)志,X方向單元數(shù)，Y方向單元數(shù)，X方向單元長度，Y方向單元長度。如果規(guī)則有孔：控制結(jié)點(diǎn)數(shù)，生成結(jié)點(diǎn)類數(shù)。結(jié)點(diǎn)號(hào)，X，Y4.4平面問題程序(一)起點(diǎn)號(hào)，終點(diǎn)號(hào)，生成的點(diǎn)數(shù)，相鄰點(diǎn)號(hào)差值，“相鄰兩點(diǎn)間距”。2-3）讀入結(jié)點(diǎn)荷載值有荷載的結(jié)點(diǎn)數(shù)結(jié)點(diǎn)號(hào)，X方向荷載值，Y方向荷載值。2-4）單元的整體結(jié)點(diǎn)碼如果規(guī)則無孔：不需要輸入如果規(guī)則有孔：待修改如果不規(guī)則：

按單元類型讀入單元整體位移碼。2-5)讀入全部零位移約束的位移碼。如果問題類型不等于零2-6）讀入第二種材料的彈性常數(shù)，厚度，首單元號(hào)，終單元號(hào)，循環(huán)步長。如果問題類型等于零沒有第六組4.4平面問題程序(一)2-7）一算例數(shù)據(jù)2,4,441,46,22,400,2,0,0,6.93e4,0.3,2.0e-2120,20,0.05,0.121421,0.0,0.05422,0.0,0.1423,0.0,0.1424,0.0,0.1425,0.0,0.1426,0.0,0.1427,0.0,0.1428,0.0,0.1429,0.0,0.1430,0.0,0.1431,0.0,0.1432,0.0,0.1結(jié)433,0.0,0.1點(diǎn)434,0.0,0.1荷435,0.0,0.1載436,0.0,0.1數(shù)437,0.0,0.1據(jù)438,0.0,0.1439,0.0,0.1440,0.0,0.1441,0.0,0.05運(yùn)行程序查看計(jì)算結(jié)果1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,424.5平面等參數(shù)單元三角形和矩形單元是最簡單的單元形式，前已提及，由于位移模式是線性和雙線性的，精度較低。對(duì)于曲線邊界問題，還有以直邊代替曲邊的離散誤差。為此，介紹本節(jié)等參數(shù)單元族。首先以四結(jié)點(diǎn)等參元為例進(jìn)行介紹，然后再介紹其他等參元。222341x

y

1234母單元4.5.1單元描述為克服矩形單元不能擬合曲線邊界，用圖示任意四邊形單元，但在直角坐標(biāo)下要描繪屬于單元的點(diǎn)比較困難。自然坐標(biāo)下的圖示單元（母單元）形狀都是規(guī)則圖形，考慮到母單元形函數(shù)性質(zhì)，并設(shè)i點(diǎn)的坐標(biāo)為：(xi,yi)，則由x=Nixi

；y=Niyi可以描繪子單元形狀。為什麼？子單元（等參元）4.5平面等參數(shù)單元x

y

1234母單元利用上述轉(zhuǎn)換公式可看出：1)母單元正交坐標(biāo)線映射后成為圖示子單元斜角坐標(biāo)線。仍為直線。2)子單元有兩套坐標(biāo)系：整體x,y坐標(biāo)，和局部,坐標(biāo)。3),坐標(biāo)又是母單元正交坐標(biāo)。4)根據(jù)子單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)情況，規(guī)則母單元可映射出任意四邊形單元。5)相鄰單元映射后仍然連續(xù)。子單元（等參元）2223414.5.2單元位移模式設(shè)i點(diǎn)的位移為：(ui,vi)，則單元位移場為u=Niui

；v=Nivi。和矩形單元一樣，可用矩陣表示為：4.5平面等參數(shù)單元x

y

1234母單元4.5.3坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系222341由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的規(guī)則可得用矩陣表示則為：

引入記號(hào)稱作雅可比矩陣其逆矩陣為：4.5.4其他等參元母單元形函數(shù)1)八結(jié)點(diǎn)等參元（矩形族）x

y

12345678子單元（等參元）2223416785用試湊法N1可設(shè)為：N1=a(1-)(1-)(1++)；它能自動(dòng)滿足它點(diǎn)為零。本點(diǎn)為1得：a=-1/4同理可得角結(jié)點(diǎn)Ni通式為：Ni=-1/4(1+0)(1+0)(1-0

-0)(i=1,2,3,4).式中0=I;0=

i.用試湊法N5可設(shè)為：N5=a(1-2)(1-)；它能自動(dòng)滿足它點(diǎn)為零。本點(diǎn)為1得：a=1/2同理可得邊中點(diǎn)Ni通式為：N5,7=1/2(1-2)(1+0)N6,8=1/2(1-2)(1+0)映射后子單元可以是曲邊單元4.歉5平面等有參數(shù)單祝元2)六結(jié)畢點(diǎn)(三角形膨族)單元如恢圖所示31211456L1=L2=母單元子單元312456xy設(shè)N1=a(-1賄/2囑)；它滿諷足它常點(diǎn)為紙零條躺件，懸為使刮本點(diǎn)煎為1，可找得a=2。同理可生得Ni=Li(2Li-1)楊(i=1,2部,3)設(shè)N4=aL1L3；它滿足爬它點(diǎn)為儀零條件時(shí)，為使吹本點(diǎn)為1，可藝得a=4。由此撓可得N4=4L1L3N5=4L2L1N6=4L3L2映射后子單元壯可以是曲邊販單元4.5平面滑等參類數(shù)單米元3)常用的疊兩族單宜元矩形段：四亭、八帝、十軍二結(jié)軟點(diǎn)等伐參元拌。三角舅形：無六、猾十結(jié)甜點(diǎn)等齊參元帝。問題遙：試疲建立抓十、罷十二霉結(jié)點(diǎn)侮母單刷元形壯函數(shù)瓣。各種單甘元分別喚包含坐少標(biāo)幾次步完整多些項(xiàng)式？能否快給出曠建立驗(yàn)兩族巖形函過數(shù)的上一般歐方法們？4.復(fù)5.口5單元撤描述你和位疼移模訊式1)單元傲描述2)位移模遇式結(jié)點(diǎn)數(shù)4.勝5平面?zhèn)傻葏㈩~數(shù)單肉元4.5套.6等參互元單億元分巷析記微銹分符扶號(hào):記1)應(yīng)變?yōu)木仃?.5平面等秩參數(shù)單耍元2)應(yīng)力篇矩陣3)單元包應(yīng)變鄙能4)單元講外力敘勢(shì)能5)dA、ds的計(jì)算為用辣虛位粒移原溝理推專導(dǎo)單涼元?jiǎng)偤佣确绞吵蹋~必須松解決dA、ds的計(jì)委算。母單刃元規(guī)洋則微欄元體dd映射后則變成圖速示（曲財(cái)邊）四持邊形。x

y

123456784.龍5平面匪等參宿數(shù)單漁元如圖霜示，越此微怎面積守為x

y

12345678坐標(biāo)腿的積上分上推下限沙均為-1，1。沿邊線炕的積分湖（=1為例）一般怒情況馬見P.猶72式(3,首6-2嗎3)。4.骨5平面等場參數(shù)單豪元有了司上述選結(jié)果獵，經(jīng)拴虛位規(guī)移原川理或哲勢(shì)能蔑原理湊即可糞推得吹式(3,榮6-2栽4)~蠅(3,滿6-2發(fā)6)單元以剛度殿和等宏效荷倚載結(jié)跡果。4.科5.欣7數(shù)值積腐分三角文形和庭矩形乏單元擾可以若寫出吉?jiǎng)偠雀屣@式朋表達(dá)姿式，聚但對(duì)索于等馬參元梨，由稼于兩世套坐宣標(biāo)的豬轉(zhuǎn)換棕，導(dǎo)若致剛杠度、嚷荷載燃的被想積表予達(dá)式禽十分澆復(fù)雜疏，一撕般不拐可能宜積出雹顯式鑼結(jié)果籮。只封能用械數(shù)值駝積分娃由程啦序來扔得到傲。目前常逝用的是哥高斯積策分（矩艙形族）拉和哈默均爾積分侵（三角文形族）燦。它們愈的積分叫點(diǎn)位置合、加權(quán)拴系數(shù)等墾見表3-1、3-全2（P.7沿4~7項(xiàng)6)。其積分慢公式見養(yǎng)式（3,6蝴-40）、（3,6戒-41）。4.5平面等知參數(shù)單借元4.垃5.懷8作等參崖元分析夢(mèng)時(shí)應(yīng)注聽意的問蛋題等參圣元分模析中再要用de叨t[J]-1，可見針雅可惠比行叨列式井等于香零將宮導(dǎo)致江剛度宜矩陣桃等無午法積滿分，棒使分蒸析失再效。爪因此寒要避佛免以那下可錦能使det[J]=0的情瞞況：1)子單鉗元邊磚界不乒能過侍于扭裕曲。2)矩形姐子單叮元不吉能退惠化成獎(jiǎng)三角達(dá)形。3)子單元倒角頂處劉單元邊掉線切線熔角角不迫能等于18市00。上述趨情況偶如P.8敘1圖3-3亦9示意。此外,子單碗元邊慰界上只結(jié)點(diǎn)秤應(yīng)盡掠可能芳是或吵接近掌等分梁點(diǎn)，營避免嬌產(chǎn)生曾奇異籌單元帽?？赡芮楦蹧r下應(yīng)自采用直竹邊子單腿元，這重樣可使武雅可比沖矩陣簡劃單，提莊高計(jì)算革效率。4.5平面冒等參匆數(shù)單艙元4.5犁.9離散化封時(shí)應(yīng)注奧意的問沫題除對(duì)六等參族元應(yīng)杠注意科上述毒問題纖外，噸任何塔有限襪元分場析都憤還應(yīng)渣注意蛋以下欣幾點(diǎn)篇：1)相互晌鄰接慚的單建元大歌小應(yīng)客盡可漢能均謝勻。2)單元?jiǎng)e最大叨尺寸沾與最肯小尺住寸之萍比應(yīng)群盡可肉能接課近一晉，最饒多不級(jí)應(yīng)大肌于二爭。3)應(yīng)合園理編命碼，鵝使單撲元結(jié)姨點(diǎn)間籌的整揪體編槳號(hào)差李值最繡小。4)應(yīng)盡蛇可能習(xí)使各真界點(diǎn)籮的單古元數(shù)詳目相奔同,如P.僻82圖3,6震-42左圖示雞意.4.6平面銜問題擋程序(二)應(yīng)用滿本程笑序時(shí),數(shù)據(jù)題文件喝的準(zhǔn)控備見P.紅21便7。運(yùn)行程甚序查看計(jì)焦算結(jié)果4.7Wi控ls芹on非協(xié)毛調(diào)單意元至今為蕩止所介屬紹的單癢元都是姻能保證名收斂的曉協(xié)調(diào)單黑元。單丟元計(jì)算范結(jié)果的虧精度，傳取決于歷位移模功式中坐雅標(biāo)完全朵多項(xiàng)式殺的次數(shù)破。為改投進(jìn)精度Wi悔ls落on提出非弓協(xié)調(diào)的然單元，霜簡單介四紹如下戒。在矩形犯雙線性拋單元基蘆礎(chǔ)上，擋增加一作位移修班正項(xiàng)：顯然豬在四靠個(gè)結(jié)案點(diǎn)處撥修正恰項(xiàng)等俊于零觸，因棒此它利只影時(shí)響單州元內(nèi)歌部位叮移，獻(xiàn)可見[a]e是單元靜內(nèi)部位擇移參數(shù)曲。所求馬得的結(jié)刊