有理數(shù)的乘方基礎知識基本技能1.有理數(shù)乘方的概念(1)乘方的意義：一般地，,個相同的因數(shù)a相乘：mXuX阪…乂口，記作出,即IK：；、--：.=an，這種求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an讀作a的n次方(或a的n次冪).(2)乘方的表示方法(3)學習乘方的意義，需要注意的幾個方面：①注意乘方的雙重含義乘方指的是求幾個相同因數(shù)的積的運算，其結(jié)果叫做冪.由此不難發(fā)現(xiàn)，乘方具有雙重含義：一是乘方表示一種運算；二是乘方表示一種特殊的乘法運算的結(jié)果.如25中，25可以看成一種運算，表示有5個2相乘，即25=2x2x2x2x2,這時，25應讀作2的五次方；另一方面，25又可看成5個2相乘的結(jié)果，即2x2x2x2x2=25,這時25卻讀作2的5次冪；②注意乘方底數(shù)的書寫格式乘方的書寫一定要規(guī)范，不然會引起誤會.當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，一定要記住添上括號，以體現(xiàn)底數(shù)是負數(shù)或分數(shù)的整體性.如(一3)x(—3)x(—3)x(一3)應記作(一3)4,不能記作一34.(—3)4與―34表示的意義和結(jié)果完全不同.前者表示4個一3相乘，結(jié)果為81；后者為4個3相乘的積的相反數(shù)，結(jié)果為一81.555555 5再如4x555555 5再如4x4x4x4x4X4應記作Q4y4c46,不能記作56;③一個數(shù)可以看成這個數(shù)本身的一次方，如3就是31,a就是a1,只是指數(shù)1通常省略不寫；④an與一an的區(qū)別：i.an表示n個a相乘，底數(shù)是a，指數(shù)是n，讀作：a的n次方.ii.一an表示n個a乘積的相反數(shù)，底數(shù)是a，指數(shù)是n，讀作：a的n次方的相反數(shù).如：(一3)3底數(shù)是一3，指數(shù)是3，讀作一3的3次方，表示3個一3相乘，(—3)3=(—3)x(—3)x(—3)=—27.—33底數(shù)是3,指數(shù)是3,讀作3的3次方的相反數(shù).—33=一(3x3x3)=—27.所以(一3)3與一33的結(jié)果雖然都是一27,但表示的含義并不同.⑤注意乘方運算的轉(zhuǎn)化.計算乘方運算的結(jié)果時，應將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算來完成.如計算(一5)3時，應將它轉(zhuǎn)化為計算(一5)x(—5)x(—5)的積；再如計算時，應將它轉(zhuǎn)化為計算2*2*2*2的積.乙乙乙乙【例1】把下列各式寫成乘方的形式,并指出底數(shù),指數(shù)各是什么(1)(—x(—x(—x(—x(—；2222(2)5x5x5x5；(3)axaxax…xa(2011個a).分析：以上三題都是相同因數(shù)相乘，可用乘方的形式表示，相同因數(shù)為底數(shù)，相同因數(shù)的個數(shù)為指數(shù)，指數(shù)寫在右上角．解：(1)(—x(—x(—x(—x(—=(-5；2222 2)(2)5x5x5x5=?4；(3)axaxax…xa(2011個a)=a2011.警誤區(qū)書寫乘方的注意事項當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，寫成乘方的形式時，底數(shù)一定要加上括號，如(1)，(2)兩題．2．乘方運算的符號法則(1)有理數(shù)乘方的符號法則：①正數(shù)的任何次冪是正數(shù)；②負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負數(shù)；③0的任何次冪等于0；1的任何次冪等于1.(2)根據(jù)乘方的符號法則和乘方運算的轉(zhuǎn)化,關(guān)于乘方有如下幾個性質(zhì)：①0的任何正整數(shù)次冪都是0;互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶次冪相等，奇次冪互為相反數(shù).如0n=0(n是正整數(shù))；(-4)6=46；(—4)3=—43.②進行乘方運算時與其他運算一樣，先要確定符號，再計算出絕對值，同時還應注意(一a)2n=a2n，(-a)2n+1=-a2n+1(〃是正整數(shù))，由乘方的法則我們還知道：a2nN0,即任何有理數(shù)的偶次冪是非負數(shù).談重點決定乘方結(jié)果的符號的因素有理數(shù)乘方結(jié)果的符號取決于：一底數(shù)的符號，二指數(shù)的奇偶．【例2】利用有理數(shù)乘方運算的符號法則計算：(1)(—3)2；(2);(3)]—4)；(4)(—1)11；(5)(—1)2；(6)(—1)2n；(7)(—1)2n—1.分析：根據(jù)有理數(shù)乘方的符號法則：(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，(1)(3)(5)(6)是負數(shù)的偶次冪，結(jié)果為正；(4)(7)是負數(shù)的奇次冪，結(jié)果為負．解：(1)(—3)2=3x3=9;(2)=xx=；4)_4444_256344)_4444_25634=3x3x3x3=-81;(4)(—1)11=—1;(5)(—1)2=1；(6)(—1)2n=1；(7)(—1)2n—1=—1.基本岫 吧虻療上.—…3．有理數(shù)乘方的運算有理數(shù)乘方運算的思路：確定冪的符號；確定冪的絕對值．有理數(shù)的乘方是一種特殊的乘法運算——因數(shù)相同的乘法運算，冪是乘方運算的結(jié)果．因此有理數(shù)的乘方運算可以轉(zhuǎn)化為乘法來運算，先根據(jù)有理數(shù)乘方的符號法則確定冪的符號，再根據(jù)乘方的意義把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，來運算冪的絕對值，最后得出冪的結(jié)果．例如計算(—5)3，先確定冪的符號為“—”號，再計算53=125，即(—5)3=—125；再如，計算(一2)x32時，先算32=9,再算(一2)x9=—18.正確理解有理數(shù)乘方的意義是進行乘方運算的前提，千萬不能把底數(shù)與指數(shù)直接相乘．在進行有理數(shù)的乘方運算時要辨別清楚底數(shù)和指數(shù)，以及符號問題，避免出錯．【例3T】計算：(1)一33；(2)(—2)2；(3)(—3x2)3；(4)—(—2)3.分析：運算時，先確定符號，再計算乘方．(1)負號在冪的前面，結(jié)果是負數(shù)；(2)負數(shù)的偶次冪，結(jié)果是正數(shù)；(3)先計算底數(shù)一3x2=—6,再計算(—6)3；(4)先計算(－2)3，其結(jié)果是負數(shù)，再加上前面的負號，最后結(jié)果是正數(shù)．解：(1)—33=—(3x3x3)=—27;(2)(—2)2=4；(3)(—3x2)3=(—6)3=—216；(4)—(—2)3=—(—8)=8.警誤區(qū)勿把底數(shù)乘指數(shù)在進行乘方運算時，一定要避免出現(xiàn)把底數(shù)與指數(shù)直接相乘的運算錯誤.如一33=—(3x3)=—9,這是由于沒有理解乘方的意義導致的．【例3—2】計算(一10x412的值.分析：直接求(—10和412比較麻煩，但仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)(—10=，表示10個相乘，而412表示12個4相乘，這就提醒我們利用乘法的交換律和結(jié)合律，比較容易求出結(jié)果．解：(一10x412=10x412=[10x410]x42=x4)10x42=1x16=16.4.有理數(shù)乘方運算的應用有理數(shù)的乘方運算在現(xiàn)實生活中有廣泛的應用，給生活中經(jīng)常出現(xiàn)的大數(shù)的讀寫帶來了極大的方便．現(xiàn)代高科技技術(shù)離不開數(shù)學技術(shù)，數(shù)學也是一門神奇的藝術(shù)，它那神奇的力量常常讓人感到意外和驚奇！比如，一層樓高約3米，一張紙的厚度只有0.1毫米，0.1毫米與3米相比幾乎可以忽略不計，如果我們將紙對折、再對折，如此這樣對折20次后，其厚度將比30層樓房還要高，這就是有理數(shù)乘方的神奇魔力，在現(xiàn)實生活中有著很廣泛的應用．數(shù)學是一門規(guī)律性很強的學科，只要掌握了它的規(guī)律，很多問題都可以迎刃而解了，乘方的規(guī)律也不例外．同學們要認真思考，仔細觀察找到有理數(shù)乘方應用的規(guī)律．【例4】“蘭州拉面”在學校門口開了一個連鎖店，今天開張，做拉面的張師傅站在門口進行廣告宣傳，當眾拉起了拉面．他精湛的拉面技術(shù)贏得了圍觀顧客的陣陣喝彩，吃面的人更是絡繹不絕．張師傅先是用一根直徑約13厘米的粗面條，把兩頭捏起來拉長，然后再把兩頭捏起來拉長，不斷地這樣，張師傅共拉了10次，在他手里出現(xiàn)了一根根直徑約0.1毫米的細面條．算一算：張師傅拉10次共拉出了多少根細面條若拉n次呢（請把探索的結(jié)果填入下表中）次數(shù)12345610n面條根數(shù)分析：第一次拉出21=2根，第二次拉出22=4根，第三次拉出23=8根,所以第n次拉出2n根.解：拉面的根數(shù)與拉面的次數(shù)n有關(guān)系，拉面的根數(shù)=2n.次數(shù)12345610n面條根數(shù)2481632642102n思維拓展創(chuàng)新應用5．與乘方相關(guān)的探究題探究題是近幾年中考中的亮點，滲透多個知識點，形式多樣．解題時，一般遵循從特殊到一般的探究思路，先準確計算幾個特例的結(jié)果，再通過對這些結(jié)果的分析、歸納得到一個較一般的結(jié)論，最后再應用這個結(jié)論解決問題．由于乘方是一種新運算，它是一種特殊的乘法，特殊在因數(shù)相同，是同學們新接觸的運算，所以解決問題時要注意，當?shù)讛?shù)是分數(shù)或負數(shù)時，寫成冪時底數(shù)要加括號．與有理數(shù)的乘方有關(guān)的探究題主要有以下幾種：（1）個位數(shù)字是幾，在中考中經(jīng)常涉及到，例如3n的個位數(shù)字是3,9,7,1,3,9,7,1,…依次循環(huán)；（2）拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、握手的次數(shù)、繩子的長度、細胞分裂的個數(shù)等，都利用2〃或[2)n求解.【例5—1】有一張厚度是0.1毫米的紙，將它對折1次后，厚度為2x0.1毫米．(1)對折2次后，厚度為多少毫米(2)對折20次后，厚度為多少毫米分析：此題的關(guān)鍵是將紙的層數(shù)化為冪的形式，找出對應關(guān)系．根據(jù)問題容易得到當對折兩次后厚度為4x=22x0.1毫米，對折3次后厚度變?yōu)?x=23x0