第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。答案填在答題紙相應(yīng)位置）1．（3分）已知全集為R，集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，則＝．2．（3分）函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋?．（3分）若冪函數(shù)y＝xa在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．4．（3分）設(shè)一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，則x12+x22＝．5．（3分）已知α：x＜3m﹣1，β：x＜2，若α是β充分條件，則m的取值范圍是．6．（3分）若log2（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是．7．（3分）設(shè)a、b都為正數(shù)，且a+b＝4，則+的最小值為．8．（3分）設(shè)關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0與a2x2+b2x+c2＞0的解集分別為A、B，則不等式組的解集可以用集合A、B的運(yùn)算表示為．9．（3分）已知lg2＝a，10b＝3，試用a、b表示log1225＝．10．（3分）已知函數(shù)y＝x2+2ax（x∈[0，1]）的最小值為﹣2，則實(shí)數(shù)a＝．11．（3分）設(shè)關(guān)于x的方程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|ax+b|（a，b∈R）集為M，關(guān)于x的不等式（x﹣2）（2x﹣3）≥0的解集為N，若集合M＝N，則a?b＝．12．（3分）若函數(shù)y＝的值域?yàn)閇﹣1，1]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）13．（3分）下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是（）A．y＝和y＝（）2 B．y＝1和y＝x0 C．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}） D．y＝logax2和y＝2logax14．（3分）函數(shù)y＝（）x﹣的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，1）15．（3分）在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx冪函數(shù)y＝（x＞0）圖象的關(guān)系可能為（）A． B． C． D．16．（3分）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題．給出下列四個(gè)命題：①M(fèi)的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；③存在x∈P且x∈M；④存在x∈M且x?P；這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)三、解答題（本大題共5小題，共52分。解答要寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜3}，集合B＝{x|＞0}．求集合A∪B．18．（8分）化簡(jiǎn)下列代數(shù)式．（1）|a|+（a＜0）；（2）（0＜a＜10）．19．（10分）甲、乙兩城相距100km，某天然氣公司計(jì)劃在兩地之間建天然氣站P給甲、乙兩城供氣．設(shè)P站距甲城xkm，為保證城市安全，天然氣站距兩城市的距離均不得少于10km．已知建設(shè)費(fèi)用y（萬(wàn)元）甲、乙兩地的供氣距離（km）的平方和成正比（供氣距離指天然氣站到城市的距離），當(dāng)天然氣站P距甲城的距離為40km時(shí)，建設(shè)費(fèi)用為1300萬(wàn)元．（1）把建設(shè)費(fèi)用y（萬(wàn)元）表示成P站與甲城的距離x（km）的函數(shù)，并求定義域；（2）求天然氣供氣站建在距甲城多遠(yuǎn)時(shí)建設(shè)費(fèi)用最小，并求出最小費(fèi)用的值．20．（14分）設(shè)f（x）＝．（1）判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）求證：函數(shù)y＝f（x）在R上是嚴(yán)格增函數(shù)；（3）若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，求t的取值范圍．21．（14分）設(shè)f（x）＝x﹣+2（a∈R）．（1）求不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞1的解集M；（2）若函數(shù)y＝f（x）在（0，+∞）上最小值為﹣a+，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，存在x0∈[，1]，使得|f（x0）|≥m，求實(shí)數(shù)m的最大值．

2020-2021學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。答案填在答題紙相應(yīng)位置）1．（3分）已知全集為R，集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，則＝（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．【分析】利用補(bǔ)集定義直接求解．【解答】解：∵全集為R，集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，∴＝（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查補(bǔ)集的求法，考查補(bǔ)集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（3分）函數(shù)y＝的定義域?yàn)閇1，+∞）．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，即可求出函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x﹣1≥0，即x≥1，故函數(shù)的定義域?yàn)閇1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，根據(jù)根式函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)成立的條件．3．（3分）若冪函數(shù)y＝xa在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，a＞0時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）遞增，a＜0時(shí)，函數(shù)在（﹣∞，0）遞減，故答案為：（﹣∞，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．4．（3分）設(shè)一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，則x12+x22＝42．【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．【解答】解：設(shè)一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，則x1+x2＝6，x1x2＝﹣3，則x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝36+6＝42，即x12+x22＝42，故答案為：42．【點(diǎn)評(píng)】解答本題關(guān)鍵是要熟悉一元二次方程的根與系數(shù)公式，注意靈活利用公式解題．5．（3分）已知α：x＜3m﹣1，β：x＜2，若α是β充分條件，則m的取值范圍是（﹣∞，1]．【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于m的不等式，解出即可．【解答】解：α：x＜3m﹣1，β：x＜2，若α是β充分條件，則（﹣∞，3m﹣1）?（﹣∞，2），故3m﹣1≤2，解得：m≤1，則m的取值范圍是（﹣∞，1]，故答案為：（﹣∞，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的包含關(guān)系，考查充分必要條件，是一道基礎(chǔ)題．6．（3分）若log2（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是x＞2．【分析】由題意利用數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，求得x的范圍．【解答】解：由log2（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，∴x＞2，故答案為：x＞2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，屬于基礎(chǔ)題．7．（3分）設(shè)a、b都為正數(shù)，且a+b＝4，則+的最小值為1．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：a、b都為正數(shù)，且a+b＝4，則+＝（+）（a+b）＝（2+）＝1，當(dāng)且僅當(dāng)且a+b＝4，即a＝b＝2時(shí)取等號(hào)．故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）設(shè)關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0與a2x2+b2x+c2＞0的解集分別為A、B，則不等式組的解集可以用集合A、B的運(yùn)算表示為（?RA）∩B．【分析】根據(jù)題意可知a1x2+b1x+c1＞0的解集是A，得到a1x2+b1x+c1≤0的解集是?RA，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集為B，然后即可用集合的運(yùn)算表示原不等式組的解集．【解答】解：∵a1x2+b1x+c1＞0的解集是A，∴a1x2+b1x+c1≤0的解集是?RA，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集為B，∴不等式組的解集為（?RA）∩B，故答案為：（?RA）∩B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式組解集的定義及求法，交集和補(bǔ)集的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（3分）已知lg2＝a，10b＝3，試用a、b表示log1225＝．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：log1225＝＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．10．（3分）已知函數(shù)y＝x2+2ax（x∈[0，1]）的最小值為﹣2，則實(shí)數(shù)a＝﹣．【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論對(duì)稱(chēng)軸可得答案．【解答】解：函數(shù)y＝x2+2ax（x∈[0，1]）的最小值為﹣2，配方得：y＝（x+a）2﹣a2，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣a，﹣a2）．①當(dāng)0≤﹣a≤1即﹣1≤a≤0時(shí)，函數(shù)最小值為﹣a2≠﹣2，不合題意；②當(dāng)﹣a＜0即a＞0時(shí)，∵當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值；當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值0，不符合題意；③當(dāng)﹣a＞1即a＜﹣1時(shí)，∵當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值；當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值，∴y有最小值1+2a＝﹣2，解得a＝﹣．綜上實(shí)數(shù)a的值為﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論對(duì)稱(chēng)軸是解答的關(guān)鍵．11．（3分）設(shè)關(guān)于x的方程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|ax+b|（a，b∈R）集為M，關(guān)于x的不等式（x﹣2）（2x﹣3）≥0的解集為N，若集合M＝N，則a?b＝﹣15．【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合N，再利用集合相等的定義，將方程轉(zhuǎn)化為|ax+b|＝|3x﹣5|，即可求出ab的值．【解答】解：不等式（x﹣2）（2x﹣3）≥0的解集為N＝{x|x≤或x≥2}，所以有，所以|ax+b|＝5﹣3x或|ax+b|＝3x﹣5，故|ax+b|＝|3x﹣5|，所以ab＝3×（﹣5）＝﹣15或ab＝（﹣3）×5＝﹣15，故ab＝﹣15．故答案為：﹣15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法、含有絕對(duì)值的方程的根的求解，涉及了集合相等的概念的應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力．12．（3分）若函數(shù)y＝的值域?yàn)閇﹣1，1]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，2]．【分析】可求出﹣1≤x＜0時(shí)，﹣1≤y＜0，然后根據(jù)原函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，1]可得出0≤x≤m時(shí)，0≤|x﹣1|≤1，0≤y≤1，這樣即可求出m的范圍．【解答】解：﹣1≤x＜0時(shí)，1＜1﹣x≤2，，且原函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，1]，∴0≤x≤m時(shí)，0≤|x﹣1|≤1，即0≤x≤2，∴1≤m≤2，∴m的取值范圍為：[1，2]．故答案為：[1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值域的定義及求法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）13．（3分）下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是（）A．y＝和y＝（）2 B．y＝1和y＝x0 C．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}） D．y＝logax2和y＝2logax【分析】可看出選項(xiàng)A，B，D的兩個(gè)函數(shù)的定義域都不相同，從而判斷選項(xiàng)A，B，D的兩個(gè)函數(shù)不相同，從而只能選C．【解答】解：A.的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)閧x|x≥0}，定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不相同；B．y＝1的定義域?yàn)镽，y＝x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，這兩個(gè)函數(shù)不相同；C．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）的定義域都是{0，1}，x＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的y＝0；x＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y＝1，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，這兩個(gè)函數(shù)相同；D.的定義域?yàn)閧x|x≠0}，y＝2logax的定義域?yàn)閧x|x＞0}，定義域不同，這兩個(gè)函數(shù)不相同．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義，判斷兩函數(shù)是否相同的方法：看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（3分）函數(shù)y＝（）x﹣的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，1）【分析】本題先判斷函數(shù)y＝（）x﹣的單調(diào)性，然后代入x＝，x＝，算出結(jié)果與0比較大小即可得到零點(diǎn)所在的區(qū)間．【解答】解：由題意，定義域?yàn)镽，y＝（）x﹣在（0，+∞）上同為單調(diào)遞減函數(shù)，f（）＝﹣＜0，f（）＝＞0．∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用能力，以及零點(diǎn)定理的具體應(yīng)用．本題屬中檔題．15．（3分）在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx冪函數(shù)y＝（x＞0）圖象的關(guān)系可能為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，二次函數(shù)y＝ax2+bx開(kāi)口向上，則a＞0，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＞0，冪函數(shù)y＝中，＜0，為減函數(shù)，符合題意，對(duì)于B，二次函數(shù)y＝ax2+bx開(kāi)口向下，則a＜0，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＞0，冪函數(shù)y＝中，＜0，為減函數(shù)，不符合題意，對(duì)于C，二次函數(shù)y＝ax2+bx開(kāi)口向上，則a＞0，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝﹣1，冪函數(shù)y＝中，＝2，為增函數(shù)，且其增加越來(lái)越快，不符合題意，對(duì)于D，二次函數(shù)y＝ax2+bx開(kāi)口向下，則a＜0，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＞﹣，冪函數(shù)y＝中，0＜＜1，為增函數(shù)，且其增加越來(lái)越慢，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖象的分析，涉及二次函數(shù)和冪函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（3分）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題．給出下列四個(gè)命題：①M(fèi)的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；③存在x∈P且x∈M；④存在x∈M且x?P；這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)題意，由子集的定義分析M、P元素的關(guān)系分析4個(gè)命題是否正確，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題．則其否定為真，則非空集合M的元素不都是集合P的元素，據(jù)此分析4個(gè)命題：①M(fèi)的元素不都是P的元素，正確，②M的部分元素可以為P的元素，不正確，③可能M的元素都不是P的元素，存在x∈P且x∈M，不正確，④存在x∈M且x?P，正確，其中正確的命題有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，涉及子集的概念，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共5小題，共52分。解答要寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜3}，集合B＝{x|＞0}．求集合A∪B．【分析】可求出集合A，B，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵，∴A∪B＝（﹣1，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法的定義，絕對(duì)值不等式和分式不等式的解法，并集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（8分）化簡(jiǎn)下列代數(shù)式．（1）|a|+（a＜0）；（2）（0＜a＜10）．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝|a|+|a3|+a＝﹣a﹣a3+a＝﹣a3；（2）原式＝＝＝＝1﹣lga．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．19．（10分）甲、乙兩城相距100km，某天然氣公司計(jì)劃在兩地之間建天然氣站P給甲、乙兩城供氣．設(shè)P站距甲城xkm，為保證城市安全，天然氣站距兩城市的距離均不得少于10km．已知建設(shè)費(fèi)用y（萬(wàn)元）甲、乙兩地的供氣距離（km）的平方和成正比（供氣距離指天然氣站到城市的距離），當(dāng)天然氣站P距甲城的距離為40km時(shí)，建設(shè)費(fèi)用為1300萬(wàn)元．（1）把建設(shè)費(fèi)用y（萬(wàn)元）表示成P站與甲城的距離x（km）的函數(shù)，并求定義域；（2）求天然氣供氣站建在距甲城多遠(yuǎn)時(shí)建設(shè)費(fèi)用最小，并求出最小費(fèi)用的值．【分析】（1）設(shè)比例系數(shù)為k，則y＝k[x2+（100﹣x）2]，由題意當(dāng)x＝40時(shí)y＝1300，可求出k的值，再根據(jù)然氣站距兩城市的距離均不得少于10km求出x的取值范圍即可．（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）設(shè)比例系數(shù)為k，則y＝k[x2+（100﹣x）2]，∵，∴10≤x≤90，又當(dāng)x＝40時(shí)，y＝1300，∴1300＝k[402+602]，解得k＝，∴y＝[x2+（100﹣x）2]＝（10≤x≤90）．（2）由（1）可得y＝＝（x﹣50）2+1250，∴當(dāng)x＝50時(shí)，y有最小值為1250萬(wàn)元，所以天然氣供氣站建在距甲城50km時(shí)建設(shè)費(fèi)用最小，最小費(fèi)用的值為1250萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．20．（14分）設(shè)f（x）＝．（1）判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）求證：函數(shù)y＝f（x）在R上是嚴(yán)格增函數(shù)；（3）若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，求t的取值范圍．【分析】（1）先檢驗(yàn)f（﹣x）與f（x）的關(guān)系即可判斷，（2）任取x1＜x2，然后利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷，（3）結(jié)合奇偶性及單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：（1）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)閒（x）＝，所以f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），故f（x）為奇函數(shù)，（2）證明：任取x1＜x2，f（x）＝＝1﹣，則f（x1）﹣f（x2）＝＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）單調(diào)遞增，（3）由f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0得f（1﹣t2）＜﹣f（1﹣t）＝f（t﹣1），故1﹣t2＜t﹣1，∴t2+t﹣2＞0，解得，t＞1或t＜﹣2，所以t的范圍{t|t＞1或t＜﹣2}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．21．（14分）設(shè)f（x）＝x﹣+2（a∈R）．（1）求不等式f（x）