第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1．（5分）若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A．5 B．﹣3 C．3 D．3或﹣32．（5分）兩條平行線4x+3y+3＝0與8x+6y﹣9＝0的距離為（）A． B． C． D．3．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝1﹣（n≥2），則a2021等于（）A．﹣1 B．﹣ C． D．24．（5分）經(jīng)過點P（2，3），并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，則的值為（）A． B． C． D．26．（5分）若直線l的方向向量是（1，sinθ），則直線l的傾斜角α的范圍是（）A．[0，π） B． C． D．7．（5分）1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理“講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到200這200個數(shù)中，能被4除余2，且被6除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則這個新數(shù)列各項之和為（）A．1666 B．1676 C．1757 D．26468．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點A（0，4），B（2，0），若在圓M：x2+y2+2x+4y+5＝m上存在點P，使得∠APB為直角，則實數(shù)m的最大值是（）A．15 B．25 C．35 D．45二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）若數(shù)列{an}的前4項依次為2，0，2，0，則數(shù)列{an}的通項公式可能是（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）設(shè)直線l過點P（1，2），點M（2，3）和N（4，﹣5）到l的距離相等，則直線l的方程可以為（）A．4x﹣y﹣2＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．3x﹣2y+1＝0 D．3x+2y﹣7＝0（多選）11．（5分）等差數(shù)列{an}的首項為正數(shù)，其前n項和為Sn.現(xiàn)有下列命題，其中是真命題的有（）A．若Sn有最大值，則數(shù)列{an}的公差小于0 B．若a6+a13＝0，則使Sn＞0的最大的n為18 C．若a9＞0，a9+a10＜0，則{Sn}中S9最大 D．若a9＞0，a9+a10＜0，則數(shù)列{|an|}中的最小項是第9項（多選）12．（5分）已知圓O：x2+y2＝1，點P在直線l：2x+y﹣3＝0上，過P作圓O的兩條切線，A，B是切點，下列命題中正確的結(jié)論有（）A．圓O上不存在到直線l的距離為1的點 B．切線長PA的最小值為 C．直線l上存在點P，使∠APB＝60° D．四邊形PAOB面積的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，an+1﹣an＝n，則a10＝．14．（5分）在直線l：x﹣2y﹣8＝0上一點P到點A（﹣2，0），B（2，4）兩點距離之和最小，則點P的坐標(biāo)為．15．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，設(shè)點P的軌跡為C，則軌跡C的方程為；若軌跡C上有且只有四個點到直線l：y＝﹣x+m的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是．16．（5分）數(shù)列{an}滿足a1+2a2+22a3+?+2n﹣1an＝（n+1）n（n﹣1），若對任意λ＞0，所有的正整數(shù)n都有λ2﹣kλ+2＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知△ABC的頂點A（1，2），邊AB上的中線為x+3y＝0，邊AC上的高BH所在直線為2x﹣3y﹣4＝0．（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．18．（12分）去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．記從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{bn}．（1）求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；（2）為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請求出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．（參考數(shù)據(jù)1.054≈1.215，1.055≈1.276，1.056≈1.340）19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足：an+1＝3an+2，a1＝a．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）當(dāng)a＝2時，記bn＝log3（an+1），求數(shù)列的前n項和．20．（12分）已知直線（1﹣a）x+（1+a）y+3a﹣3＝0（a∈R）．（1）求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點P；（2）經(jīng)過點P有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x﹣y﹣2＝0與l2：x+y+3＝0之間的線段恰被P平分，求直線l的方程．21．（12分）已知數(shù)列{an}的首項為2，前n項和為Sn，且an+1＝Sn+2（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，求證：＜3．22．（12分）如圖，已知圓O：x2+y2＝4與x軸交于A，B兩點（A在B的左方），直線l：x﹣my﹣4＝0．（1）若直線l與圓O相切，求直線l的方程；（2）若m＝0，點C為直線l上一動點（不在x軸上），直線CA，CB與圓的另一交點分別為P，Q．證明：直線PQ經(jīng)過定點，并求出定點坐標(biāo)．

2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1．（5分）若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A．5 B．﹣3 C．3 D．3或﹣3【分析】利用等比數(shù)列的通項公式求解．【解答】解：∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴a1＝1，a5＝9，∴，故9＝1×q4，解得q＝±，b＝1×q2＝3．故選：C．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）兩條平行線4x+3y+3＝0與8x+6y﹣9＝0的距離為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線間的距離公式求解即可．【解答】解：可將直線8x+6y﹣9＝0化為4x+3y﹣＝0，所以兩條平行直線間的距離為＝，故選：D．【點評】本題考查兩條平行間的距離，考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝1﹣（n≥2），則a2021等于（）A．﹣1 B．﹣ C． D．2【分析】由已知條件分別求出數(shù)列的前4項，從而得到數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，由此能求出a2021．【解答】解：∵數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝1﹣（n≥2），∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，∵2021＝3×673+2，∴a2021＝a2＝．故選：C．【點評】本題考查數(shù)列的第2021項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列．4．（5分）經(jīng)過點P（2，3），并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】對直線是否經(jīng)過原點分類討論，結(jié)合截距式即可得出．【解答】解：直線經(jīng)過原點時滿足條件，此時直線方程為：y＝x，即3x﹣2y＝0；直線不經(jīng)過原點時滿足條件，設(shè)直線方程為：x﹣y＝a，把點P（2，3）代入可得：2﹣3＝a，解得a＝﹣1．∴直線方程為：x﹣y＝﹣1，即x﹣y+1＝0．綜上可得滿足條件的直線的條數(shù)為2．故選：B．【點評】本題考查了截距式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，則的值為（）A． B． C． D．2【分析】利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵，∴＝3，化為：a1＝d≠0，則＝＝＝，故選：C．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）若直線l的方向向量是（1，sinθ），則直線l的傾斜角α的范圍是（）A．[0，π） B． C． D．【分析】根據(jù)直線的斜率k＝sinθ，求出k的取值范圍，求出α的取值范圍即可．【解答】解：若直線l的方向向量是（1，sinθ），則直線l的斜率k＝sinθ，則﹣1≤k≤1，則．故選：D．【點評】本題考查了求直線的斜率，傾斜角問題，是基礎(chǔ)題．7．（5分）1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理“講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到200這200個數(shù)中，能被4除余2，且被6除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則這個新數(shù)列各項之和為（）A．1666 B．1676 C．1757 D．2646【分析】將問題轉(zhuǎn)化為an﹣2既是4的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)，也即是12的倍數(shù)，從而得到an的表達(dá)式，利用等差數(shù)列前n項和公式即可求解．【解答】解：由題意可知數(shù)列{an﹣2}即是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)，因此數(shù)列{an}是以2為首項，以12為公差的等差數(shù)列，an＝2+12（n﹣1）＝12n﹣10，因此a17＝194，a18＝206，設(shè)新數(shù)列的前n項和Sn，則，故選：A．【點評】本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，主要考查了數(shù)列通項公式的求解以及等差數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．8．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點A（0，4），B（2，0），若在圓M：x2+y2+2x+4y+5＝m上存在點P，使得∠APB為直角，則實數(shù)m的最大值是（）A．15 B．25 C．35 D．45【分析】根據(jù)題意將所求問題轉(zhuǎn)化為兩個圓有交點的問題解決．【解答】解：以A（0，4），B（2，0）兩點為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，設(shè)圓心為N，所以N（1，2），半徑為，若在圓M：x2+y2+2x+4y+5＝m上存在點P，使得∠APB為直角，則圓M與圓N有公共點，又圓M：x2+y2+2x+4y+5＝m，所以M（﹣1，﹣2），半徑為（m＞0），所以MN＝2，故|﹣|≤2≤+，解得5≤m≤45，所以m的最大值為45，故選：D．【點評】本題考查了圓的方程，圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）若數(shù)列{an}的前4項依次為2，0，2，0，則數(shù)列{an}的通項公式可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中數(shù)列的前4項，驗證即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，該數(shù)列的前4項為2，0，2，0，符合題意；對于B，該數(shù)列的前4項為2，0，2，0，符合題意；對于C，an＝2|sin|，該數(shù)列的前4項為2，0，2，0，符合題意；對于D，該數(shù)列的前4項為2，1，2，1，不符合題意；故選：ABC．【點評】本題考查數(shù)列的表示方法，注意數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）設(shè)直線l過點P（1，2），點M（2，3）和N（4，﹣5）到l的距離相等，則直線l的方程可以為（）A．4x﹣y﹣2＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．3x﹣2y+1＝0 D．3x+2y﹣7＝0【分析】可知當(dāng)直線平行于直線MN時，或過MN的中點時滿足題意，分別求其斜率可得方程．【解答】解：當(dāng)直線平行于直線MN時，或過MN的中點時滿足題意，當(dāng)直線平行于直線MN時，所求直線的斜率為k＝＝﹣4，故直線方程為y﹣2＝﹣4（x﹣1），即2x+y﹣6＝0；當(dāng)直線過MN的中點（3，﹣1）時，斜率為k＝＝﹣，故直線方程為y﹣2＝﹣（x﹣1），即3x+2y﹣7＝0；所求的直線方程為：3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0．故選：BD．【點評】本題考查直線方程的求解，分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）等差數(shù)列{an}的首項為正數(shù)，其前n項和為Sn.現(xiàn)有下列命題，其中是真命題的有（）A．若Sn有最大值，則數(shù)列{an}的公差小于0 B．若a6+a13＝0，則使Sn＞0的最大的n為18 C．若a9＞0，a9+a10＜0，則{Sn}中S9最大 D．若a9＞0，a9+a10＜0，則數(shù)列{|an|}中的最小項是第9項【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)對4個選項依次判斷即可．【解答】解：對于選項A，∵Sn有最大值，∴等差數(shù)列{an}一定有負(fù)數(shù)項，∴等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故公差小于0，故正確；對于選項B，∵a6+a13＝a9+a10＝0，且a1＞0，∴a9＞0，a10＜0，∴S17＝17a9＞0，S18＝×18＝0，故則使Sn＞0的最大的n為17，故錯誤；對于選項C，∵a9＞0，a9+a10＜0，∴a9＞0，a10＜0，故{Sn}中S9最大，故正確；對于選項D，∵a9＞0，a9+a10＜0，∴a9＞0，|a9|＝a9＜﹣a10＝|a10|，故數(shù)列{|an|}中的最小項是第9項，故正確；故選：ACD．【點評】本題考查了等差數(shù)列的公式及性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）12．（5分）已知圓O：x2+y2＝1，點P在直線l：2x+y﹣3＝0上，過P作圓O的兩條切線，A，B是切點，下列命題中正確的結(jié)論有（）A．圓O上不存在到直線l的距離為1的點 B．切線長PA的最小值為 C．直線l上存在點P，使∠APB＝60° D．四邊形PAOB面積的最小值為【分析】求出點O到直線l的距離與r+1比較大小，即可判斷選項A，求出PO的最小值，然后由勾股定理即可求出PA的最小值，即可判斷選項B，當(dāng)OP⊥l時，∠APB取得最大值，求出此時∠APB是否大于60°，即可判斷選項C，當(dāng)PA最小時，四邊形PAOB的面積最小，求解即可判斷選項D．【解答】解：對于A，圓O：x2+y2＝1，則圓心O（0，0），半徑r＝1，所以點O到直線l：2x+y﹣3＝0的距離為＝，則圓O上存在到直線l的距離為1的點，故選項A錯誤；對于B，切線長PA＝，所以當(dāng)PO最小時，切線長PA最小，因為PO的最小值為d＝，所以PA的最小值為＝，故選項B正確；對于C，當(dāng)OP⊥l時，∠APB取得最大值，在Rt△APO中，sin∠APO＝，所以∠APO＞30°，則∠APB＝2∠APO＞60°，所以直線l上存在點P，使∠APB＝60°，故選項C正確；對于D，當(dāng)PA最小時，Rt△AOP的面積最小，則四邊形PAOB的面積最小，所以四邊形PAOB面積的最小值為＝，故選項D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查了圓的方程的運用，直線與圓位置關(guān)系的運用，點到直線距離公式的運用以及切線長的求解，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，an+1﹣an＝n，則a10＝46．【分析】利用累加法求得數(shù)列{an}的通項公式，將n＝10代入，即可求得a10．【解答】解：由an+1﹣an＝n，則a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，???an﹣an﹣1＝n﹣1，以上各式相加，得，故，所以a10＝46，故答案為：46．【點評】本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查累加法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）在直線l：x﹣2y﹣8＝0上一點P到點A（﹣2，0），B（2，4）兩點距離之和最小，則點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）．【分析】求出A關(guān)于直線l：x﹣2y﹣8＝0的對稱點為C，則P為直線BC與直線l的交點時，滿足條件，進(jìn)而得到答案．【解答】解：A（﹣2，0），B（2，4）兩點在直線直線l：x﹣2y﹣8＝0同側(cè)，在直線l：x﹣2y﹣8＝0上一點P到點A（﹣2，0），B（2，4）兩點距離之和最小，設(shè)點A（﹣2，0）關(guān)于直線l：x﹣2y﹣8＝0的對稱點為C（a，b），則，解得a＝2，b＝﹣8，∴C（2，﹣8），直線BC方程為x＝2，直線BC與直線l的交點為（2，﹣3），∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故答案為：（2，﹣3）．【點評】本題考查點的坐標(biāo)的求法，考查對稱、兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，設(shè)點P的軌跡為C，則軌跡C的方程為（x+1）2+y2＝4；若軌跡C上有且只有四個點到直線l：y＝﹣x+m的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是．【分析】設(shè)動點P（x，y），利用兩點間距離公式結(jié)合題意，列式化簡即可得到軌跡方程；確定軌跡C的圓心和半徑，求出圓心到直線的距離d，分析可得d＜1時符合題意，列式求解即可．【解答】解：設(shè)動點P（x，y），因為動點P到兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，所以|PA|2＝4|PO|2，則（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），整理可得，（x+1）2+y2＝4，故軌跡C的方程為（x+1）2+y2＝4；軌跡C是以C（﹣1，0）為圓心，半徑r＝2的圓，則圓心C到直線y＝﹣x+m的距離為，因為圓的半徑為2，則當(dāng)d＝1時，圓上恰有3個點到直線的距離為1，若圓C上有且只有四個點到直線l：y＝﹣x+m的距離為1，則＜1，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為．故答案為：（x+1）2+y2＝4；．【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，主要考查了定義法求解軌跡方程，直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線距離公式的運用，要掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題．16．（5分）數(shù)列{an}滿足a1+2a2+22a3+?+2n﹣1an＝（n+1）n（n﹣1），若對任意λ＞0，所有的正整數(shù)n都有λ2﹣kλ+2＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是．【分析】先由題設(shè)求得an，然后利用數(shù)列的單調(diào)性求得其最大值，把對任意λ＞0，所有的正整數(shù)n都有λ2﹣kλ+2＞an成立轉(zhuǎn)化為對任意λ＞0恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案．【解答】解：由a1+2a2+22a3+?+2n﹣1an＝（n+1）n（n﹣1），當(dāng)n≥2時，a1+2a2+22a3+?+2n﹣2an﹣1＝n（n﹣1）（n﹣2），兩式相減可得：，所以，由a1＝0，顯然成立，設(shè)，所以，當(dāng)0＜n≤3時，an+1﹣an＞0，當(dāng)n≥4時，an+1﹣an＜0，因此，0＜n≤3，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，當(dāng)n≥4時，數(shù)列{an}單調(diào)遞減，由，，所以當(dāng)n＝3或n＝4時，數(shù)列{an}取最大值，且最大值為，對任意λ＞0，所有的正整數(shù)n都有λ2﹣kλ+2＞an成立，可得，因此，，即對任意λ＞0恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取最小值，則，所以實數(shù)k的取值范圍是，故答案為：．【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法、數(shù)列的單調(diào)性在求數(shù)列的項的最值中的應(yīng)用及基本不等式在處理不等式恒成立問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知△ABC的頂點A（1，2），邊AB上的中線為x+3y＝0，邊AC上的高BH所在直線為2x﹣3y﹣4＝0．（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）設(shè)出B點的坐標(biāo)，及A，B中點坐標(biāo)，再聯(lián)立BH的方程即可求出B點，先求出AC的方程，再聯(lián)立AB邊上的中線方程，即可求出C點，（2）由兩點間的距離公式和點到直線的距離公式即可求面積．【解答】（1）設(shè)B（a，b），則點B在直線BH上，代入得2a﹣3b﹣4＝0，①點A，B的中點為D（，），點D在AB中線上，即，②聯(lián)立①②解得a＝﹣1，b＝﹣2，所以B（﹣1，﹣2），由題意kAC?kBH＝﹣1，所以kAC＝﹣，所以AC所在的直線方程為3x+2y﹣7＝0，③又點C在中線x+3y＝0，④聯(lián)立③④解得x＝3，y＝﹣1，所以C（3，﹣1），（2）|AC|＝，點B到直線AC的距離為d＝，所以S△ABC＝，故△ABC的面積為7．【點評】本題考查直線方程的求法，點到直線的距離公式，屬于中檔題．18．（12分）去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．記從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{bn}．（1）求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；（2）為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請求出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．（參考數(shù)據(jù)1.054≈1.215，1.055≈1.276，1.056≈1.340）【分析】（1）由題意，分析得到數(shù)列{an}是以20（1+5%）為首項，1+5%為公比的等比數(shù)列，由此求解即可；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式列式求解即可．【解答】解：（1）由題意，從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{bn}，所以數(shù)列{an}是以20（1+5%）為首項，1+5%為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是以6+1.5＝7.5為首項，1.5為公差的等差數(shù)列，則，bn＝6+1.5n；（2）設(shè)今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn，則Sn＝（a1﹣b1）+???+（an﹣bn）＝（a1+a2+???+an）﹣（b1+b2+???+bn）＝（20×1.05+20×1.052+???+20×1.05n）﹣（7.5+9+???+6+1.5n）＝＝，當(dāng)n＝5時，Sn≈63.5，所以今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸．【點評】本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立符合條件的函數(shù)模型，分析清楚問題的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此類問題求解的一般步驟是：建立函數(shù)模型，進(jìn)行函數(shù)計算，得出結(jié)果，再將結(jié)果反饋到實際問題中指導(dǎo)解決問題，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足：an+1＝3an+2，a1＝a．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）當(dāng)a＝2時，記bn＝log3（an+1），求數(shù)列的前n項和．【分析】（1）由已知遞推式構(gòu)造an+1+1＝3（an+1），可得數(shù)列{an+1}是首項為a+1，公比為3的等比數(shù)列，計算可求得an；（2）求出bn＝n，利用裂項求和法即可求得數(shù)列的前n項和．【解答】解：（1）因為an+1＝3an+2，所以an+1+1＝3（an+1），又a1+1＝a+1，所以數(shù)列{an+1}是首項為a+1，公比為3的等比數(shù)列，所以an+1＝（a+1）?3n﹣1，所以an＝（a+1）?3n﹣1﹣1．（2）當(dāng)a＝2時，bn＝log3（an+1）＝log3（3?3n﹣1﹣1+1）＝n，＝＝﹣，所以數(shù)列的前n項和為（1﹣）+（﹣）+…（﹣）＝1﹣＝．【點評】本題主要考查數(shù)列的求和，數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的通項公式，裂項求和法的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．20．（12分）已知直線（1﹣a）x+（1+a）y+3a﹣3＝0（a∈R）．（1）求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點P；（2）經(jīng)過點P有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x﹣y﹣2＝0與l2：x+y+3＝0之間的線段恰被P平分，求直線l的方程．【分析】設(shè)出A與B兩點的坐標(biāo)，因為P為線段AB的中點，利用中點坐標(biāo)公式即可列出兩點坐標(biāo)的兩個關(guān)系式，然后把A的坐標(biāo)代入直線11，把B的坐標(biāo)代入直線12，又得到兩點坐標(biāo)的兩個關(guān)系式，把四個關(guān)系式聯(lián)立即可求出A的坐標(biāo)，然后由A和P的坐標(biāo)，利用兩點式即可寫出直線的方程．【解答】解：（1）證明：將直線l的方程改寫為（﹣x+y+3）a+（x+y﹣3）＝0，令﹣x+y+3＝0，且x+y﹣3＝0，兩式聯(lián)立，解得x＝3，y＝0，所以直線過定點P（3，0）；（2）如圖，設(shè)直線l夾在直線l1，l2之間的部分是AB，且AB被P（3，0）平分，設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），則有x1+x2＝6，y1+y2＝0，又A，B兩點分別在直線l1，l2上，所以2x1﹣y1﹣2＝0，x2+y2+3＝0，由以上四個式子解得x1＝，y1＝，即A（，），所以直線AB的方程為8x﹣y﹣24＝0．【點評】