第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，那么A∪B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1+2i）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）某中學(xué)高一、高二和高三各年級(jí)人數(shù)見(jiàn)表．采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級(jí)有20人，那么該樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為（）年級(jí)人數(shù)高一550高二500高三450合計(jì)1500A．18 B．22 C．40 D．604．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為（）A． B．9 C． D．275．（4分）已知圓x2+y2＝1截直線y＝k（x+1）（k＞0）所得弦的長(zhǎng)度為1，那么k的值為（）A． B． C．1 D．6．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，那么不等式f（x）≥的解集為（）A．（0，1] B．（0，2] C．[1，4] D．[1，6]7．（4分）“|x|＜|y|”是“l(fā)nx＜lny”成立的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）寬與長(zhǎng)的比為≈0.618的矩形叫做黃金矩形．它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形ABCD中，BC＝﹣1，AB＞BC，那么的值為（）A． B． C．4 D．9．（4分）已知橢圓C1：＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)重合，P為橢圓C1與拋物線C2的公共點(diǎn)，且PF⊥x軸，那么橢圓C1的離心率為（）A． B． C． D．10．（4分）如圖，將線段AB，CD用一條連續(xù)不間斷的曲線y＝f（x）連接在一起，需滿足要求：曲線y＝f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，并且在點(diǎn)B，C處的切線分別為直線AB，CD，那么下列說(shuō)法正確的是（）A．存在曲線y＝ax3+bx2﹣2x+5（a，b∈R）滿足要求 B．存在曲線y＝+c（a，b，c∈R）滿足要求 C．若曲線y＝f1（x）和y＝f2（x）滿足要求，則對(duì)任意滿足要求的曲線y＝g（x），存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得g（x）＝λf1（x）+μf2（x） D．若曲線y＝f1（x）和y＝f2（x）滿足要求，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，μ，當(dāng)λ+μ＝1時(shí)，曲線y＝λf1（x）+μf2（x）滿足要求二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在（1﹣）5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）12．（5分）已知雙曲線C：＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），那么m的值為，C的漸近線方程為．13．（5分）已知{an}為等比數(shù)列，a1＝1，a4＝，那么{an}的公比為，數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜），其中x和f（x）部分對(duì)應(yīng)值如表所示：x0f（x）﹣2﹣2﹣222那么A＝．15．（5分）設(shè)A是非空數(shù)集，若對(duì)任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，則稱A具有性質(zhì)P．給出以下命題：①若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集；②若A1，A2具有性質(zhì)P，且A1∩A2≠?，則A1∩A2具有性質(zhì)P；③若A1，A2具有性質(zhì)P，則A1∪A2具有性質(zhì)P；④若A具有性質(zhì)P，且A≠R，則?RA不具有性質(zhì)P．其中所有真命題的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形BCC1B1是邊長(zhǎng)為1的正方形，AB＝2，M，N分別為AD，A1B1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MA1∥平面ANC；（Ⅱ）求直線CN與平面D1AC所成角的正弦值．17．（13分）在△ABC中，cosC＝，c＝8，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面積．條件①：a＝7；條件②：cosB＝．18．（14分）小明同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）如表所示：語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物第一次879291928593第二次829495889487（Ⅰ）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；（Ⅱ）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（Ⅲ）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如表所示：語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差第一次a1a2a3a4a5a6x1D1第二次b1b2b3b4b5b6x2D2將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為D3.有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若x1＝x2，D1＜D2，則D1≤D3≤D2．你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？（只寫(xiě)“正確”或“不正確”）19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2﹣a2x+1，其中a＞0．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣a，f（﹣a））處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0，m），求m+的最小值．20．（15分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)D（﹣2，0），且焦距為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)T與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線TP與x軸交于點(diǎn)H．是否存在常數(shù)λ，使得|AD|?|DH|＝λ（|AD|﹣|DH|）成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．21．（15分）設(shè)n（n≥2）為正整數(shù)，若α＝（x1，x2，…，xn）滿足：①xi∈{0，1，…，n﹣1}，i＝1，2，…，n；②對(duì)于1≤i＜j≤n，均有xi≠xj；則稱a具有性質(zhì)E（n）．對(duì)于a＝（x1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），定義集合T（α，β）＝{t|t＝|xi﹣yi|，i＝1，2，…，n}．（Ⅰ）設(shè)a＝（0，1，2），若β＝（y1，y2，y3）具有性質(zhì)E（3），寫(xiě)出一個(gè)β及相應(yīng)的T（a，β）；（Ⅱ）設(shè)α和β具有性質(zhì)E（6），那么T（α，β）是否可能為{0，1，2，3，4，5}，若可能，寫(xiě)出一組α和β，若不可能，說(shuō)明理由；（Ⅲ）設(shè)α和β具有性質(zhì)E（n），對(duì)于給定的α，求證：滿足T（α，β）＝{0，1，…，n﹣1}的β有偶數(shù)個(gè)．

2021年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，那么A∪B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）【分析】根據(jù)題意，由集合并集的定義直接計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2），B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），則A∪B＝（﹣∞，2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合并集的計(jì)算，注意集合并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1+2i）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出z的代數(shù)形式，從而得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案．【解答】解：復(fù)數(shù)（1+2i）i＝﹣2+i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，1），故復(fù)數(shù)（1+2i）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義的理解，考查了化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）某中學(xué)高一、高二和高三各年級(jí)人數(shù)見(jiàn)表．采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級(jí)有20人，那么該樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為（）年級(jí)人數(shù)高一550高二500高三450合計(jì)1500A．18 B．22 C．40 D．60【分析】先計(jì)算出總體中高二年級(jí)與高三年級(jí)的比例，則有分層抽樣的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可．【解答】解：因?yàn)楦叨昙?jí)與高三年級(jí)的比例為，由于分層抽樣是按比例抽取，故抽取的比例為，因?yàn)楦叨昙?jí)有20人，所以高三年級(jí)為＝18人．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分層抽樣的理解和應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握分層抽樣的特點(diǎn)，即按比例抽取，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為（）A． B．9 C． D．27【分析】由三視圖知該四棱錐底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出四棱錐的體積．【解答】解：由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫(huà)出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為V＝S正方形ABCD?PA＝×32×3＝9．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用三視圖求幾何體的體積，是基礎(chǔ)題．5．（4分）已知圓x2+y2＝1截直線y＝k（x+1）（k＞0）所得弦的長(zhǎng)度為1，那么k的值為（）A． B． C．1 D．【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心（0，0）到直線的距離，再由弦長(zhǎng)公式，即可得解．【解答】解：圓心（0，0）到直線的距離為d＝，由弦長(zhǎng)公式知，1＝2，∴1＝4[1﹣（）2]，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線截圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，那么不等式f（x）≥的解集為（）A．（0，1] B．（0，2] C．[1，4] D．[1，6]【分析】分別畫(huà)出y＝f（x）與y＝的圖象，由圖象可得答案．【解答】解：分別畫(huà)出y＝f（x）與y＝的圖象，如圖所示：由圖象可得，不等式f（x）≥的解集為[1，4]．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象的作法和解不等式，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）“|x|＜|y|”是“l(fā)nx＜lny”成立的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由|x|＜|y|推不出lnx＜lny，由lnx＜lny?0＜x＜y?|x|＜|y|，故“|x|＜|y|”是“l(fā)nx＜lny”成立的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）寬與長(zhǎng)的比為≈0.618的矩形叫做黃金矩形．它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形ABCD中，BC＝﹣1，AB＞BC，那么的值為（）A． B． C．4 D．【分析】由黃金矩形ABCD的定義，可得AB，再由勾股定理和向量數(shù)量積的定義，計(jì)算可得所求值．【解答】解：由黃金矩形的定義，可得AB＝2，BC＝﹣1，在矩形ABCD中，cos∠CAB＝＝＝，則?＝||?||?cos∠CAB＝2××＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查黃金矩形的定義，以及向量數(shù)量積的定義和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）已知橢圓C1：＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)重合，P為橢圓C1與拋物線C2的公共點(diǎn)，且PF⊥x軸，那么橢圓C1的離心率為（）A． B． C． D．【分析】由題意知，a2﹣b2＝①，不妨取點(diǎn)P在第一象限，得其坐標(biāo)，并代入橢圓C1的方程，可得②，結(jié)合①②與離心率e＝，可得解．【解答】解：由題意知，F(xiàn)（，0），a2﹣b2＝＝①，∵PF⊥x軸，∴把x＝代入y2＝2px得，y＝±p，不妨取點(diǎn)P在第一象限，則P（，p），將其代入橢圓C1的方程，有②，由①②解得a2＝b2，∴離心率e＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與拋物線的幾何性質(zhì)，橢圓離心率的求法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（4分）如圖，將線段AB，CD用一條連續(xù)不間斷的曲線y＝f（x）連接在一起，需滿足要求：曲線y＝f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，并且在點(diǎn)B，C處的切線分別為直線AB，CD，那么下列說(shuō)法正確的是（）A．存在曲線y＝ax3+bx2﹣2x+5（a，b∈R）滿足要求 B．存在曲線y＝+c（a，b，c∈R）滿足要求 C．若曲線y＝f1（x）和y＝f2（x）滿足要求，則對(duì)任意滿足要求的曲線y＝g（x），存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得g（x）＝λf1（x）+μf2（x） D．若曲線y＝f1（x）和y＝f2（x）滿足要求，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，μ，當(dāng)λ+μ＝1時(shí)，曲線y＝λf1（x）+μf2（x）滿足要求【分析】利用題中給出的圖形，分析可知y＝f（x）需滿足f（1）＝3，f'（1）＝﹣1，f（2）＝1，f'（2）＝，然后依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．【解答】解：由圖象可知A（0，4），B（1，3），C（2，1），D（4，0），所以直線AB的方程為y＝﹣x+4，直線CD的方程為，所以y＝f（x）需滿足f（1）＝3，f'（1）＝﹣1，f（2）＝1，f'（2）＝，對(duì)于A，由f（1）＝3，f（2）＝1可知，a＝b＝0，所以y＝﹣2x+5，故點(diǎn)B，C處的切線不符合，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三角函數(shù)可以用振幅進(jìn)行判斷，若成立，由于﹣2≤sinax+cosbx≤2，所以c必為2，因?yàn)閥＝的振幅至多為1，所以sina+cosb＝2，sin2a+cos2b＝﹣2，所以①，②，b＝2k3π③，2b＝（2k4+1）π④，ki∈Z，i＝1，2，3，4，顯然①與②矛盾，③與④矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)λ＝0，μ＝1時(shí)，y＝f1（x）和y＝f2（x）的次數(shù)低于g（x），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒i（1）＝3，fi（2）＝1，f'i（1）＝﹣1，f'i'（2）＝﹣，i＝1，2，所以對(duì)于g（x）＝λf1（x）+μf2（x），g（1）＝λf1（1）+μf2（2）＝3（λ+μ）＝3，g（2）＝λf1（2）+μf2（2）＝λ+μ＝1，g'（x）＝λf1'（x）+μf2'（x），所以g'（1）＝λf1'（1）+μf2'（1）＝﹣（λ+μ）＝﹣1，g'（2）＝λf1'（2）+μf2'（2）＝（λ+μ）＝，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查額導(dǎo)數(shù)的理解和應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)f（x）應(yīng)該滿足的條件，考查了邏輯推理能力與識(shí)圖能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在（1﹣）5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為5．（用數(shù)字作答）【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為2，由此即可求解．【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)＝C，令＝2，則r＝4，所以x2項(xiàng)的系數(shù)為C＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知雙曲線C：＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），那么m的值為4，C的漸近線方程為y＝±2x．【分析】利用雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求解m，然后求解雙曲線方程，得到漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線C：＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），可得2﹣＝1，解得m＝4，雙曲線方程為：＝1，所以它的漸近線方程為：y＝±2x．故答案為：4；y＝±2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．13．（5分）已知{an}為等比數(shù)列，a1＝1，a4＝，那么{an}的公比為，數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為31．【分析】根據(jù)題意，設(shè){an}的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q3＝＝，解可得q的值，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{}是首項(xiàng)＝1，公比為＝2的等比數(shù)列，據(jù)此計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè){an}的公比為q，若a1＝1，a4＝，則q3＝＝，則q＝，則數(shù)列{}是首項(xiàng)＝1，公比為＝2的等比數(shù)列，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為＝31，故答案為：，31．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜），其中x和f（x）部分對(duì)應(yīng)值如表所示：x0f（x）﹣2﹣2﹣222那么A＝4．【分析】結(jié)合已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入后結(jié)合同角平方關(guān)系可求A．【解答】解：由題意得f（0）＝Asinφ＝﹣2，f（﹣）＝﹣Acosφ＝﹣2，所以A2（sin2φ+cos2φ）＝16，因?yàn)锳＞0，所以A＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由函數(shù)圖像上的點(diǎn)求解函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)A是非空數(shù)集，若對(duì)任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，則稱A具有性質(zhì)P．給出以下命題：①若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集；②若A1，A2具有性質(zhì)P，且A1∩A2≠?，則A1∩A2具有性質(zhì)P；③若A1，A2具有性質(zhì)P，則A1∪A2具有性質(zhì)P；④若A具有性質(zhì)P，且A≠R，則?RA不具有性質(zhì)P．其中所有真命題的序號(hào)是①②④．【分析】根據(jù)已知中的性質(zhì)P，逐一分析給定四個(gè)命題的真假，可得答案．【解答】解：①若A具有性質(zhì)P，可令A(yù)＝{0}，顯然A滿足性質(zhì)P，且A為有限集，故①正確；②A1∩A2≠?，若A1，A2的交集中若有一個(gè)x存在，則就會(huì)有與之相關(guān)的其它數(shù)值存在，因?yàn)锳1，A2具有性質(zhì)P，所以②正確；③若A1＝{所有偶數(shù)}，A2＝{所有自然數(shù)}，顯然A1，A2具有性質(zhì)P，則元素﹣2，1在集合A1∪A2中，﹣2+1＝﹣1，顯然﹣1?A1∪A2，所以A1∪A2不具有性質(zhì)P，故③錯(cuò)誤；④假設(shè)?RA具有性質(zhì)P，即對(duì)?x，y∈?RA，都有x+y∈?RA，xy∈?RA，當(dāng)A＝{所有偶數(shù)}時(shí)，則1，3∈?RA，1+3＝4?∈?RA，故假設(shè)不成立，即?RA不具有性質(zhì)P，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，新定義，集合的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形BCC1B1是邊長(zhǎng)為1的正方形，AB＝2，M，N分別為AD，A1B1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MA1∥平面ANC；（Ⅱ）求直線CN與平面D1AC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON，先證明OM∥CD，OM＝CD，再證明NA1∥CD，NA1＝CD，從而證明MA1∥ON，利用線面平行的判定定理證明即可；（Ⅱ）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面D1AC的法向量，由向量的夾角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）證明：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON，因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥CD，OM＝CD，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因?yàn)镹是A1B1的中點(diǎn)，所以NA1∥CD，NA1＝CD，所以NA1∥OM且NA1＝OM，所以四邊形NOMA1是平行四邊形，所以MA1∥ON，又因?yàn)镸A1?平面ANC，ON?平面ANC，所以MA1∥平面ANC；（Ⅱ）解：在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C（1，0，0），A（0，2，0），D1（1，2，1），N（0，1，1），所以，設(shè)平面D1AC的法向量為，則有，即，令y＝1，則x＝2，z＝﹣2，故，所以＝，故直線CN與平面D1AC所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的證明以及線面角的求解，在求解空間角的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題進(jìn)行研究，屬于中檔題．17．（13分）在△ABC中，cosC＝，c＝8，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面積．條件①：a＝7；條件②：cosB＝．【分析】選條件①：（Ⅰ）利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；（Ⅱ）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理和三角形的面積求出結(jié)果；選條件②時(shí)，（Ⅰ）利用三角函數(shù)的角的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；（Ⅱ）利用三角函數(shù)的角的變換和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：選條件①：（Ⅰ）a＝7時(shí)，cosC＝，c＝8，利用c2＝a2+b2﹣2abcosC，整理得b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或﹣3（負(fù)值舍去），故：b＝5．（Ⅱ）由于cosC＝，0＜C＜π，所以sinC＝，利用正弦定理，所以，解得sinA＝，由于c＞a，所以A＝，則．選條件②時(shí)，（Ⅰ）cosB＝，所以，cosC＝，所以sinC＝，由正弦定理，整理得，解得b＝5，（Ⅱ）cosB＝，所以，cosC＝，所以sinC＝，所以cosA＝﹣cos（B+C）＝＝，由于A∈（0，π），所以A＝．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）小明同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）如表所示：語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物第一次879291928593第二次829495889487（Ⅰ）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；（Ⅱ）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（Ⅲ）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如表所示：語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差第一次a1a2a3a4a5a6x1D1第二次b1b2b3b4b5b6x2D2將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為D3.有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若x1＝x2，D1＜D2，則D1≤D3≤D2．你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？（只寫(xiě)“正確”或“不正確”）【分析】（Ⅰ）由表中的數(shù)據(jù)可得，小明同學(xué)第一次測(cè)試的6科中，由4科成績(jī)大于90分，利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）首先確定X的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解期望即可；（Ⅲ）通過(guò)方差含義進(jìn)行分析即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件“從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，該科成績(jī)大于90分”為事件A，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在小明同學(xué)第一次測(cè)試的6科中，由4科成績(jī)大于90分，所以P（A）＝＝；（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為：X012P故X的數(shù)學(xué)期望為E（X）＝＝；（Ⅲ）不正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解，數(shù)學(xué)期望公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2﹣a2x+1，其中a＞0．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣a，f（﹣a））處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0，m），求m+的最小值．【分析】（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，從而可求得m＝3a3+1，令g（a）＝m+＝3a3+1+，a＞0，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x3﹣x2﹣x+1，f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，可得x＜﹣或x＞1，令f′（x）＜0，可得﹣＜x＜1，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，1）．（Ⅱ）f′（x）＝3x2﹣2ax﹣a2，f′（﹣a）＝3a2+2a2﹣a2＝4a2，f（﹣a）＝﹣a3﹣a3+a3+1＝﹣a3+1，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣a，f（﹣a））處的切線方程為y﹣（﹣a3+1）＝4a2（x+a），即y＝4a2x+3a3+1，令x＝0，可得m＝3a3+1，所以m+＝3a3+1+，令g（a）＝3a3+1+，a＞0，則g′（a）＝9a2﹣＝，令g′（a）＞0，可得a＞，令g′（a）＜0，可得0＜a＜，所以g（a）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（a）min＝g（）＝+1，即m+的最小值為+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20．（15分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)D（﹣2，0），且焦距為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)T與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線TP與x軸交于點(diǎn)H．是否存在常數(shù)λ，使得|AD|?|DH|＝λ（|AD|﹣|DH|）成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（Ⅰ）橢圓C過(guò)點(diǎn)D（﹣2，0），且焦距為2，列方程組，解得a，b，c，即可得出答案．（Ⅱ）“存在常數(shù)λ，使得|AD|?|DH|＝λ（|AD|﹣|DH|）成立“等價(jià)于“存在常數(shù)λ，使得2（+2）＝λ（2﹣﹣2）成立”，即“存在常數(shù)λ，使得2x1x2+6（x1+x2）+16＝﹣λ[x1x2+2（x1+x2）]成立”，聯(lián)立直線與橢圓的相交問(wèn)題，結(jié)合韋達(dá)定理可得x1+x2，x1x2，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，解得a2＝4，b2＝1，所以橢圓C的方程為+y2＝1．（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)辄c(diǎn)T與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，所以T（x2，﹣y2），所以直線PT的斜率為k1＝，直線PT的方程為y﹣y1＝（x﹣x1），令y＝0，解得xH＝，所以|DH|＝+2，因?yàn)閨AD|＝2，“存在常數(shù)λ，使得|AD|?|DH|＝λ（|AD|﹣|DH|）成立“等價(jià)于“存在常數(shù)λ，使得2（+2）＝λ（2﹣﹣2）成立”，化簡(jiǎn)得2（x2y1+x1y2+2y1+2y2）＝﹣λ（x2y1+x1y2），設(shè)直線l方程為y＝k（x+4），k≠0，即“存在常數(shù)λ，使得2x1x2+6（x1+x2）+16＝﹣λ[x1x2+2（x1+x2）]成立”，由，得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣4＝0，Δ＝（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）＞0，解得k2＜，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以2x1x2+6（x1+x2）+16＝﹣+16＝，x1x2+2（x1+x2）＝﹣＝，所以＝﹣λ（）成立，只需λ＝2，所以存在常數(shù)λ，使得|AD|?|DH|＝λ（|AD|﹣|DH|）成立，λ＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（15分）設(shè)n（n≥2）為正整數(shù)，若α＝（x1，x2，…，xn）滿足：①xi∈{0，1，…，n﹣1}，i＝1，2，…，n；②對(duì)于1≤i＜j≤n，均有xi≠xj；則稱a具有性質(zhì)E（n）．對(duì)于a＝（x1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），定義集合T（α，β）＝{t|t＝|xi﹣yi|，i＝1，2，…，n}．（Ⅰ）設(shè)a＝（0，1，2），若β＝（y1，y2，y3）具有性質(zhì)E（3），寫(xiě)出一個(gè)β及相應(yīng)的T（a，β）；（Ⅱ）設(shè)α和β具有性質(zhì)E（6），那么T（α，β）是否可能為{0，1，2，3，4，5}，若可能，寫(xiě)出一組α和β，若不可能，說(shuō)明理由；（Ⅲ）設(shè)α和β具有性質(zhì)E（n），對(duì)于給定的α，求證：滿足T（α，β）＝{0，1，…，n﹣1}的β有偶數(shù)個(gè)．【分析】（1）本題屬于新定義類型題，可根據(jù)題意舉例進(jìn)行直接進(jìn)行求解；（2）利用反證法進(jìn)行求解即可，（3）利用反證法和合情推理進(jìn)行求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，令β＝（0，1，2），即y1＝0，y2＝1，y3＝2