2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)（新教材）第八章

立體幾何初步（公式、定理、結(jié)論圖表）1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．3．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長(zhǎng)度相等且相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓4.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線．(2)在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，擋住的線要畫(huà)成虛線．(3)三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬．5．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．6．多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．7．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l三者關(guān)系S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(→,\s\up14(r′＝r))S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up14(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl8.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR39．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．(4)公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．10．空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．11．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)a?α有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒(méi)有公共點(diǎn)直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β沒(méi)有公共點(diǎn)兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝a12．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b13.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b14．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．(2)判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(3)推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．(4)直線和平面垂直的性質(zhì)：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．②直線垂直于平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線．③垂直于同一條直線的兩平面平行．15．直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.(3)直線和平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°.16．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍是0°≤θ≤180°.17．平面與平面垂直(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α<常用結(jié)論>1．特殊的四棱柱2．球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面是圓面；(2)球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝eq\r(R2－d2).3．按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．4．正四面體的表面積與體積棱長(zhǎng)為a的正四面體，其表面積為eq\r(3)a2，體積為eq\f(\r(2),12)a3.5．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，棱長(zhǎng)為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑R內(nèi)＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R外＝eq\f(\r(6),4)a.6．異面直線的判定定理經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線．7．等角定理的引申(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等．(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．8．唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．9.線、面平行的性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(8)垂直于同一平面的兩條直線平行．10．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．11．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．12．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．13．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．14．過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．<解題方法與技巧>一、空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可典例1：下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線D[A錯(cuò)誤．如圖1所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．圖1圖2B錯(cuò)誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．C錯(cuò)誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．]二、識(shí)別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．典例2：(1)如圖是一個(gè)正方體，A，B，C為三個(gè)頂點(diǎn)，D是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A-BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()ABCD(2)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()(1)A(2)A[(1)正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見(jiàn)，故為虛線，易知選A.(2)由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖形．]三、由三視圖確定幾何體的步驟典例3:(1)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(2)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17)B．2eq\r(5)C．3 D．2(1)C(2)B[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C.(2)先畫(huà)出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖1所示．圖1圖2圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖2所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.]四、由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法解決此類(lèi)問(wèn)題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)．典例4：如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()ABCDA[由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.]五、空間幾何體的直觀圖1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線．2．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形；(2)S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．典例5：(1)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq\r(2)，AB＝3，以AB所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′的面積為()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D．2eq\r(2)(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形(1)C(2)C[(1)法一(作圖求解)：如圖，取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，y軸交DC于點(diǎn)E，O，E在斜二測(cè)畫(huà)法中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，E′，過(guò)E′作E′F′⊥x′軸，垂足為F′，因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2)，故選C.法二(公式法)：由題中數(shù)據(jù)得等腰梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)×(1＋3)×1＝2.由S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，得S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),2)，故選C.(2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，由題意得OA綊BC，故四邊形OABC是菱形，故選C.]六、求解幾何體表面積的類(lèi)型及求法求多面體的表面積先求各個(gè)面的面積，再相加即可求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積典例6：(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π(2)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π(1)A(2)B[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A.(2)因?yàn)檫^(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.]七、求體積的常用方法直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算割補(bǔ)法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算等體積法選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換典例7：(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3(2)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為．(1)A(2)eq\f(1,3)[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1，高為3的半個(gè)圓錐和三棱錐S-ABC組成的，如圖，三棱錐的高為3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1.故選A.(2)四棱錐A1-BB1D1D的底面BB1D1D為矩形，其面積S＝1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又四棱錐的高為點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離，即h＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).]八、空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．典例8：(1)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)(1)B(2)C[(1)如圖，E是AC中點(diǎn)，M是△ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因?yàn)镾△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，BM＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)eq\r(AB2－AE2)＝2eq\r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2，所以當(dāng)D，O，M三點(diǎn)共線且DM＝OD＋OM時(shí)，三棱錐D-ABC的體積取得最大值，且最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故選B.(2)如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.因?yàn)锳B＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up20(2)＋62)＝eq\f(13,2)，故選C.]九、共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題的證明方法(1)證明點(diǎn)共線問(wèn)題：①公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；②同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．(2)證明線共點(diǎn)問(wèn)題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．(3)證明點(diǎn)、直線共面問(wèn)題：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．典例9：(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：①E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；②CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．(1)B[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)矛盾；②中若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故②錯(cuò)誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯(cuò)誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不共面，故④錯(cuò)誤．](2)[證明]①如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．十、空間兩條直線的位置關(guān)系典例10：(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a?平面α，b?平面β，α∩β＝c，給出下列命題：①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；③若a∥b，則必有a∥c.其中真命題有．(填序號(hào))(2)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(填上所有正確答案的序號(hào))．①②③④(1)①③(2)②④[(1)對(duì)于①，若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，從而a∥b，這與a與b是異面直線矛盾，故①正確．對(duì)于②，a與b可能異面垂直，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，從而a∥c，故③正確．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．]十一、平移法求異面直線所成角的步驟平移平移的方法一般有三種類(lèi)型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移(一作)證明證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角(二證)計(jì)算在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之(三計(jì)算)取舍因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角(四取舍)典例11：(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)(2)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)(1)C(2)A[(1)如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.(2)如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(1,2)，故選A.]十二、判定線面平行的四種方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．典例12：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.[證明](1)連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E為AD中點(diǎn)，所以BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FH∥PD，因?yàn)镕H?平面PAD，PD?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥AD，因?yàn)镺H?平面PAD，AD?平面PAD.所以O(shè)H∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.又因?yàn)镚H?平面OHF，所以GH∥平面PAD.十三、判定平面與平面平行的四種方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．注意：謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化典例13：已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ABC為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分別為DB，DC的中點(diǎn)．(1)求證：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱錐A-ECB的體積．[解](1)證明：取BC中點(diǎn)H，連接AH，∵△ABC為等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可證EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN?平面ABC，AH?平面ABC，∴EN∥平面ABC，又M，N分別為BD，DC中點(diǎn)，∴MN∥BC，∵M(jìn)N?平面ABC，BC?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又MN∩EN＝N，∴平面EMN∥平面ABC.(2)連接DH，取CH中點(diǎn)G，連接NG，則NG∥DH，由(1)知EN∥平面ABC，所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等，又△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH?平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴DH＝eq\r(3)，又N為CD中點(diǎn)，∴NG＝eq\f(\r(3),2)，又AC＝AB＝3，BC＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·|AH|＝2eq\r(2)，∴VE-ABC＝VN-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·|NG|＝eq\f(\r(6),3).十四、證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．典例14：如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M為棱BC的中點(diǎn)，BB1＝3，AB1＝eq\r(10)，∠CBB1＝60°.(1)求證：AM⊥平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積．[解](1)證明：如圖，連接B1M，因?yàn)榈酌鍭BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且M為棱BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC，且AM＝eq\r(3)，因?yàn)锽B1＝3，∠CBB1＝60°，BM＝1，所以B1M2＝12＋32－2×1×3×cos60°＝7，所以B1M＝eq\r(7).又因?yàn)锳B1＝eq\r(10)，所以AM2＋B1M2＝10＝ABeq\o\al(2,1)，所以AM⊥B1M.又因?yàn)锽1M∩BC＝M，所以AM⊥平面BCC1B1.(2)設(shè)斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，則V＝3VB1-ABC＝3VA-B1BC＝3×eq\f(1,3)S△B1BC·|AM|＝eq\f(1,2)×2×3×sin60°×eq\r(3)＝eq\f(9,2).所以斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積為eq\f(9,2).十五、證明面面垂直的兩種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決，注意：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化典例15：(1)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B[取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB，BD，BE.∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且為BD的中點(diǎn)．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨設(shè)AB＝2，則FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵M(jìn)G＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的中線，∴BM，EN必相交．故選B.](2)如圖，四棱錐P-ABCD中，△PCD為等邊三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q為CD，PA，PB，AD的中點(diǎn)，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.①證明：平面PAE⊥平面STRQ；②若AB＝1，求三棱錐Q-BCT的體積．[解]①證明：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四邊形ABCE為矩形，所以AE⊥CD.由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.因?yàn)椤螾EA＝90°，PE∩CD＝E，故AE⊥平面PCD，又因?yàn)锳E?平面ABCD.故平面PCD⊥平面ABCD.因?yàn)镻E⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.因?yàn)镽Q?平面ABCD，所以RQ⊥PE.又PE∩AE＝E，所以RQ⊥平面PAE.所以平面PAE⊥平面STRQ.②由①可知，PE⊥平面ABCD，又T是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)T到平面BCQ的距離為eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2)，易知S△BCQ＝eq\f(1,2)S梯形ABCD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),4).故三棱錐Q-BCT的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8).十六、求點(diǎn)到平面的距離(高)的兩種方法(1)定義法：求幾何體的高或點(diǎn)到面的距離，經(jīng)常根據(jù)高或距離的定義在幾何體中作出高或點(diǎn)到面的距離．其步驟為：一作、二證、三求．如何作出點(diǎn)到面的距離是關(guān)鍵，一般的方法是利用輔助面法，所作的輔助面，一是要經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，二是要與所求點(diǎn)到面的距離的面垂直，這樣在輔助面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作交線的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到面的距離．(2)等體積法：求棱錐的高或點(diǎn)到平面的距離常常利用同一個(gè)三棱錐變換頂點(diǎn)及底面的位置，其體積相等的方法求解．典例16:(1)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為．eq\r(2)[如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離．再過(guò)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝eq\r(3)，所以O(shè)E＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以O(shè)E＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\r(3)2－12)＝eq\r(2).](2)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．①證明：PO⊥平面ABC；②若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．[解]①證明：因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3).連接OB.因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB?平面ABC，AC?平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.②作CH⊥OM，垂足為H.又由①可得OP⊥CH，OP?平面POM，OM?平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，所以O(shè)M＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5).十七、求直線和平面所成角的步驟(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．典例17:(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為()A．8 B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)C[如圖，連接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V長(zhǎng)方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).](2)如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB＝2，AD＝2eq\r(3)，∠BAD＝90°.①求證：AD⊥BC；②求異面直線BC與MD所成角的余弦值；③求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．[解]①證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.②如圖，取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND.又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn)，所以MN∥BC.所以∠DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角．在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝eq\r(AD2＋AM2)＝eq\r(13).因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝eq\r(AD2＋AN2)＝eq\r(13).在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝eq\f(\f(1,2)MN,DM)＝eq\f(\r(13),26).所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為eq\f(\r(13),26).③如圖，連接CM.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB，CM＝eq\r(3).又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD，所以∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝eq\r(AC2＋AD2)＝4.在Rt△CMD中，sin∠CDM＝eq\f(CM,CD)＝eq\f(\r(3),4).所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),4).十八、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用(1)證明線面平行、面面平行可轉(zhuǎn)化為證明線線平行；證明線線平行可以轉(zhuǎn)化為證明線面平行或面面平行．(2)從解題方法上講，由于線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)解題過(guò)程始終沿著線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化途徑進(jìn)行．(3)求幾何體的體積也常用轉(zhuǎn)化法．如三棱錐頂點(diǎn)和底面的轉(zhuǎn)化，幾何體的高利用平行、中點(diǎn)，比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化等．典例18:如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面PAD⊥平面ABCD，M是PC的三等分點(diǎn)(靠近C點(diǎn)處)．(1)求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求三棱錐D-MAB的體積．[解](1)證明：由題易得BD＝AD＝4eq\r(2)，∴AB2＝AD2＋BD2，∴BD⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又∵BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)過(guò)點(diǎn)P作PO⊥AD交AD于點(diǎn)O(圖略)，∵平面PAD⊥平面DAB，平面PAD∩平面DAB＝AD，∴PO⊥平面DAB，∴點(diǎn)P到平面DAB的距離為PO＝2eq\r(2).∴VD-MAB＝VM-DAB＝eq\f(1,3)S△DAB·eq\f(1,3)PO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(4eq\r(2))2×eq\f(1,3)×2eq\r(2)＝eq\f(32\r(2),9).十九、解決平面圖形翻折問(wèn)題的步驟典例19：圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積．[解](1)證明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中點(diǎn)M，連接EM，DM.因?yàn)锳B∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝eq\r(3)，故DM＝2.所以四邊形ACGD的面積為4.二十、存在性問(wèn)題的一般解題方法先假設(shè)其存在，然后把這個(gè)假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算．在推理論證和計(jì)算無(wú)誤的前提下，如果得到了一個(gè)合理的結(jié)論，則說(shuō)明存在；如果得到了一個(gè)不合理的結(jié)論，則說(shuō)明不存在．而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．典例20：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．[解](1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因?yàn)锳E?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE.取PB的中點(diǎn)F，PA的中點(diǎn)G，連接CF，F(xiàn)G，EG，則FG∥AB，且FG＝eq\f(1,2)AB.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE＝eq\f(1,2)AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形．所以CF∥EG.因?yàn)镃F?平面PAE，EG?平面PAE，所以CF∥平面PAE.第八章

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（公式、定理、結(jié)論圖表）一、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來(lái)表示.

(2)相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2．散點(diǎn)圖(1)散點(diǎn)圖

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).3．線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).4．樣本相關(guān)系數(shù)(1)對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.二、一元線性回歸模型及其應(yīng)用1.線性回歸方程：（1）最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（2）回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：，其回歸方程為，則注意：線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．（3）相關(guān)系數(shù)：．【方法歸納】（1）利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡(jiǎn)便的方法．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān)．（2）利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng)．當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)．（3）在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計(jì)算相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷．若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．（4）正確運(yùn)用計(jì)算的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算