相似三角形證明技巧姓：____________一相、等關全等和相似是平面幾何中研究直線形性質的兩個重要方面形相似比為特殊相似形，相似形則是全等形的推廣．因而學習相似形要隨時與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)；相似形的討論又是以全等形的有關定理為基礎．二相三形(1)三形似條：①；②；③三兩三形似六圖：

只能復圖中認上基圖并根問需舔適的助構出本形從使題以決四三形似證思：定個角相思：）先找兩對內角對應相(對平行線型找平行線，因為這個條件最簡單；）再而先找一對內角對應相等，且看夾角的兩邊是否對應成比例；）若無對應角相等，則只考慮三組對應邊是否成比例；已知一對等角

找另一角兩對應相等，兩三角形相似找夾邊對應成比例兩對成比例且夾角相等，兩三角形相似找夾角相等兩對應成比例且夾角相等，兩三角形相似己知兩邊對應成比例找三邊也對應成比例三對應成比例，兩三角形相似找一個直角斜、直角邊對成比例，兩個直角三角形相似c)己一個直角

找另一角兩對應相，兩三角形相似找兩邊對應成比例判定或判定定理4找頂角對應相等判定理1有等腰關系找底角對應相等判定定理找底和腰對應成比例判定理3e)相似形的傳遞性若eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)∽△2eq\o\ac(△,2)eq\o\ac(△,)∽eq\o\ac(△,3)eq\o\ac(△,)，則eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)∽△五確證的入幾證明題的證明方法主要有三個方面。第一，從“已知”入手，通過推理論證，得出“求證，“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯到“已知三從“已知”“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁之為清晰的思維過程。六證題用法納（一體路“積”變“比例找“相似”（、比式等式方：對段例或積的明常“三點定形法、等線段替法、中間比過渡法、面積法等．若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時將段轉”必時需添輔助)使其分別構成兩個相似三角形來證明．1

可口：遇積改比，看看關；三點形相，點線平；平線轉例等等來替兩端自聯(lián)，用影園冪1“點形”通過“橫找”“豎看”尋找三角形，由有關線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形若能則要證明這兩個三角形相似就可以了叫“橫定能再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定例、知如圖,ABC中CE⊥AB,BFAC.求證:

AEAF例2、如圖，CD是eq\o\ac(△,Rt)ABC的邊上高，∠的分線分別交BC、于點E、，求證：AC·例3、已知：如圖，△中∠ACB=90，AB的直平分線交AB于D，交BC延長于F。求證：

=DE·。2

FBE2FBE2例3、如圖中，、別是BC、邊上的高DFAB，交AC的延長線于H，BE于，求證：(1)FG/FA＝/FH

(2)FD是FGFH的比例中項．AFGBD

E

CH說：明段成比例或等積式常是借三角形相似相似三角形用三點定形法(在比例式中，或橫著找三點，或豎著找三)若不能找到相似三角形，應考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例4、如圖，中，是上一點，交BD于，知＝3：1＝，求：(1)BF：FD(2)S

FDA

A

DFB

圖6

E

C說：段FD三點共線應用平截比定理由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再截比定理得對應線段成比例三角形相似；由比例合比性質轉化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積．、渡（叫換）有些習題無論如何也構造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運過渡”，其主要類型有三種（1）量渡（線代法遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添簡單的輔助線。然后再應用三點定形法確定相似三角形。當然，還要注意最后將代換的線段再換回來。例5如ABC中AD平∠BAC的直平分線FE交BC的長線于E求：DE

＝．3

2E22E2練習：如圖8在形中E是CD的點，⊥AC交于F過F作FG交AE于．證＝AFFC

DGFAB說：明線段的等積式，可先轉化為比例式，再用等線段替換法然后利用三定形法確定要證明的兩個三角形相似例6．如圖，已知△ABC中，AB=AC，是邊的中線，CF∥，BF于P點交AC于E點求證：

·PF。分析：因為BP三線段共線，找不到兩個三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因為AB=AC，是BC點，由等腰三角形的性質知AD是的直平分線，如果我們連結PC由線段垂直平分線的性質知，只需證明∽△，問題就能解決了。（2）比渡（比換）當用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例7：如圖，中，AD⊥BC是AC的點EDAB的長線于點F．求證：

ABAC

．4

練習圖，ABC中是BC邊的中線M的點的延長線交于N：：AB的值；E

ANMB

D

C說比例式的值接用己知的比關系或是借助己知條件中的平行線比渡已知條件中的比例關系不夠用時，還應添作平行線，再找中間比過渡．例．如圖，已知：在△ABC中∠BAC=900⊥，E是AC的中點，EDAB的長線于F求證：。（3、積渡（積換）思考問題的基本途徑是用三點形法確定兩個三角形后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。例9：如圖5ABC中，∠ACB=90°，是斜邊AB上高G是DC延長線上一點，過B作⊥AG垂足為E，CD于F求證：DF·DG．5

xx?。好鞣e思口“等積化例橫豎定似不似不急等等來替（三）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k;于等比問題，常用處理辦法是設“公比”為k。（四于雜的幾何圖形，常采用將部分需要的圖形（或基本圖形出的辦法處理。七中鏈：例10資）如圖10，直線＝＋1與軸、y分別相交于AB兩，與雙曲線yk＝（＞0相交于點，PCx軸點C且PC，點的坐標2,（1求雙曲線的解析式；（2若點Q為雙曲線上右的一點，且QH軸H，以、H為點的三角形與相時，求點的.同練：1．如圖，E是行四邊形的邊DA延長線上一點EC交AB于點G,交BD于F,求證：2=FG·6

2．如圖，E是方形ABCD邊BC延長線上一點，連接AE交于F,過F作FM∥BE交DE于M.求證：(注：等線替代和等比替代的思不局限于證明等積式，也可應用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決)7

【家庭業(yè)】．如圖，點、E分別在邊AB、AC上且ADE=∠C求證）ADE△ACB;(2)AD·AB=AE·、如圖，△中點DE在邊BC，且△ADE等邊三角形，