《幾何畫板》在解決輔助圓問題中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)課作為義務(wù)教育階段的重要科學(xué)性學(xué)科，它對(duì)于學(xué)生的科學(xué)文化素養(yǎng)提升來說，有著不可替代的作用，但是由于數(shù)學(xué)本身帶有很強(qiáng)的科學(xué)性，所以如何在課堂上通過靈活的教學(xué)方式來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣成為困擾教師教學(xué)工作的一大問題。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷成熟，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)也漸漸走入課堂。幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的工具軟件。本文主要通過分析解決它在輔助圓問題教學(xué)中的運(yùn)用，從而展現(xiàn)其將數(shù)學(xué)知識(shí)直觀呈現(xiàn)給學(xué)生。從變化中尋找不變的規(guī)律，以期達(dá)到減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)從而實(shí)現(xiàn)“雙減”的初衷。關(guān)鍵詞幾何畫板輔助圓一、相關(guān)理論概念和定義(一) 幾何畫板 《幾何畫板》軟件是由美國KeyCurriculumPress公司制作并出版的幾何軟件。它的全名是《幾何畫板—21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何》，1996年該公司授權(quán)我國人民教育出版社發(fā)行該軟件的中文版。幾何畫板因其操作簡(jiǎn)單，功能強(qiáng)大，近幾年越來越受到社會(huì)各界的關(guān)注。由于其技術(shù)的先進(jìn)性，讓許多原本枯燥無味的知識(shí)學(xué)習(xí)過程變得更加生動(dòng)活潑。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的積極性和創(chuàng)新精神有著重要的促進(jìn)作用。(二) 輔助圓輔助圓是一種思想，是一個(gè)工具。是通過對(duì)問題中條件進(jìn)行深入挖掘所得到的圓的軌跡，引入輔助圓可以使抽象的問題變的直觀，可以有效的簡(jiǎn)化及輔助理解問題。二、幾何畫板在解決輔助圓問題中的應(yīng)用（一）抽象問題的具體化九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)《圓》這一章節(jié)的過程中，表現(xiàn)的格外吃力，由于“圓”是初中階段幾何問題的集大成者，其涵蓋了之前所學(xué)的所有幾何知識(shí)，而解決圓的問題往往綜合性較強(qiáng)，所以許多時(shí)候要求學(xué)生能夠?qū)δ骋粓D形具備基本的抽象構(gòu)思能力，但是這樣的能力在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生是并不完全具備的。這樣的情況也就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難度增加，幾何畫板的“直觀具體”的作用就得以充分發(fā)揮，例如將圓進(jìn)行等份分割，然后進(jìn)行重組，變成一些相對(duì)簡(jiǎn)單的矩形，將難點(diǎn)順利化解，又或者可以采用描述某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，來為學(xué)生生動(dòng)形象的展示圓的定義。（二）輔助圓問題解決的理論依據(jù)輔助圓問題的解決往往從題目表面上看似與圓無關(guān)，但經(jīng)過對(duì)題目中隱含條件的深入挖掘，巧妙的構(gòu)造符合題意特征的輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)以及兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)來解決問題。這樣的處理方式往往可以大大的簡(jiǎn)化題目，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。利用輔助圓解決問題常見的基本圖形（圖1）具體應(yīng)用實(shí)例如下：實(shí)例1：如圖1-1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC為斜邊在矩形外部作直角三角形BEC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求EF的最大值.教學(xué)思路：本題主要考察了矩形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，勾股定理。找到當(dāng)點(diǎn)O、E、F共線時(shí)，EF取最大值。即EFOEOF，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的切入點(diǎn)也比較多，可以取邊BC的中點(diǎn)O，連接OF、OE，利用勾股定理、直角三角形斜邊中線等知識(shí)，可以解決。如果換一種思路，引入圓的知識(shí)，就可以簡(jiǎn)化解題過程。通過對(duì)圖中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡的描述，動(dòng)態(tài)展示，讓學(xué)生充分的了解輔助圓的的形成過程。極大程度的降低了學(xué)生的理解難度。讓學(xué)生明白E的運(yùn)動(dòng)軌跡即是一個(gè)圓形，同時(shí)，不論E點(diǎn)在什么位置，只要保證BEC90，線段BC即為該圓的直徑，通過這樣的實(shí)踐探究，在促進(jìn)學(xué)生理解的同時(shí)，又能很好的鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力。運(yùn)用幾何畫板直觀展示的方法如下：選中點(diǎn)E，在狀態(tài)欄點(diǎn)擊“追蹤點(diǎn)”然后用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)E，就生成了點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡。見圖1-2實(shí)例2：如圖2-1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BE,則線段CE的最小值是多少？教學(xué)思路：本題充分考察學(xué)生對(duì)于圓的知識(shí)的理解，通過分析題目，由于AE⊥BE，通過復(fù)習(xí)圓周角定理，對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡始終在以AB為直徑的圓上，想清楚這一點(diǎn)，問題就迎刃而解了。解：∵AE⊥BE,∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為直徑的圓弧(見圖2-2)，取AB中點(diǎn)O，連接OE、OC,則CE的最小值為OC-OE.∵OEBC2OB2210,OE1AB22∴22CEmin10上面的兩個(gè)例題屬于同種類型的問題，在解決時(shí)也有共性，都是通過挖掘題目隱含條件。問題中本身沒有圓的存在，但是通過對(duì)條件的理解加工，引入輔助圓，可以大大簡(jiǎn)化解題的步驟和降低題目的難度。（二）難點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化在幾何圖形的學(xué)習(xí)過程中，許多知識(shí)點(diǎn)對(duì)于學(xué)生來說，接收和理解的難度較高，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來苦惱的同時(shí)，也給教師的教學(xué)提出了新要求。幾何畫板在幾何教學(xué)中的運(yùn)用，對(duì)于難點(diǎn)重點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化性思維建設(shè)有著重要的作用。例如在圓的教學(xué)中，靈活的將圓轉(zhuǎn)化為其他理解程度較好，較為簡(jiǎn)單的圖形，以便于學(xué)生學(xué)習(xí)，實(shí)例如下：實(shí)例3：如圖3-1,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=2,D是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BD,以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E,則線段CE長的最小值是多少.分析:如圖3-2，連接AE,∵AD為直徑,∴∠AED=90°,∠AEB=90°,∴點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上.取AB中點(diǎn)O,作☉O,∵AB=2∴r=1.連結(jié)CO,∴CEmin=CO-r=2212151.點(diǎn)評(píng):本題動(dòng)點(diǎn)E處是直角,不難想到“直角對(duì)直徑”,存在隱圓.但是因本題中本身有一個(gè)圓,學(xué)生容易被這個(gè)已知圓干擾,錯(cuò)認(rèn)為E的軌跡是以AD為直徑的圓,從而錯(cuò)解.實(shí)際上因?yàn)镈是動(dòng)點(diǎn),所以AD是動(dòng)線段,因此這個(gè)已知圓也是不確定的.而∠AED的鄰補(bǔ)角∠AEB也等于90°,且∠AEB的所對(duì)邊AB是一條定邊,因此E點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是以AB為直徑的圓,畫出隱圓后,問題迎刃而解.例2是同類型的題型,在例2的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步突破難點(diǎn),加深學(xué)生對(duì)模型的理解.本題在實(shí)際課堂教學(xué)中可以利用幾何畫板直觀的展示給學(xué)生，幫助學(xué)生尋找解題的思路。三、存在的問題及對(duì)策建議（一）學(xué)生自我探究的能力較低在幾何畫板運(yùn)用的背景下，許多學(xué)生在面對(duì)討論和小組分析時(shí)候的積極性不高，討論的內(nèi)容也比較缺乏新意，基本還是跟著老師的思路進(jìn)行，缺乏自主探索的能力和主動(dòng)性。再往后的教育中，作為老師應(yīng)該加強(qiáng)引導(dǎo)者角色建設(shè)，積極鼓勵(lì)學(xué)生自主思考，而不是一味的灌輸知識(shí)。（二）對(duì)計(jì)算輔助教育的認(rèn)識(shí)不足受傳統(tǒng)觀念影響，不論是學(xué)生還是老師，對(duì)于計(jì)算機(jī)輔助教育在當(dāng)經(jīng)教育環(huán)境中的重要性，在認(rèn)識(shí)上還普遍存在不足，都認(rèn)為正確的教育方式是老師將自己的知識(shí)傳授給學(xué)生，并不重視學(xué)生的自主性。加之現(xiàn)有的幾何畫板課件資源少，選擇采用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)的老師較少。不論是老師還是學(xué)生，都應(yīng)該加快思想的轉(zhuǎn)變，對(duì)計(jì)算機(jī)輔助教育樹立一個(gè)正確、理性的認(rèn)識(shí)。四、總結(jié)幾何畫板作為新時(shí)代教育環(huán)境中的產(chǎn)物，對(duì)九年級(jí)數(shù)學(xué)中“圓”的教學(xué)有著明顯的促進(jìn)作用。它不僅僅能夠化解課程難點(diǎn)，方便學(xué)生理解，更重要的是在輔助教育的過程中，能夠改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和理念，讓學(xué)生積極的參與到課堂當(dāng)中來。符合當(dāng)前“雙減”的形勢(shì)要求。但當(dāng)前由于多方面的因素影響，例如學(xué)生的自主探索能力、社會(huì)對(duì)計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)的固有影響和偏見等等因素，都使得它的發(fā)展水平還有待進(jìn)一步提高，但是相信在未來，這樣的情