折疊(軸對(duì)稱(chēng))問(wèn)題學(xué)案一.復(fù)習(xí)目標(biāo):1.通過(guò)對(duì)折疊問(wèn)題的復(fù)習(xí),體會(huì)折疊問(wèn)題在解決問(wèn)題中的應(yīng)用.力.二．復(fù)習(xí)重點(diǎn):折疊問(wèn)題(對(duì)稱(chēng)問(wèn)題)是近幾年來(lái)中考出現(xiàn)頻率較高的一類(lèi)題型，學(xué)生往往，我們要把握以下方法：1、折疊問(wèn)題(翻折變換)實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱(chēng)變換．2、折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)．對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫(huà)圖時(shí)，畫(huà)出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．4、在矩形(紙片)折疊問(wèn)題中，重合部分一般會(huì)是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形《5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線(xiàn)段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)三、學(xué)習(xí)過(guò)程：處，有以下四個(gè)結(jié)論：②EC平分∠DCH； F》ABCD:考點(diǎn)：翻折變換(折疊問(wèn)題)相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角線(xiàn)可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，判斷出②錯(cuò)誤；/E∴∠BCH=∠ECH，》BF=4，="B'DE(N)DDE(N)DECDMCMHABBABAABBABAN56【答案】36…1∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AB＝CD＝83，∴DE＝CE＝2CD＝43．過(guò)點(diǎn)N作NF⊥CD于點(diǎn)F(如答案圖1)，則△DEM∽△FNE．DEEM43FNEN10FNEN10解得EN＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!．∴AN＝EN＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!．AN∴tan∠AMN＝AM＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!．DE(A)FCDMANBDCB'DCMKMHBANBA在答案圖2中，∵M(jìn)E⊥EN，HG⊥EN，∴ME∥HG．∴∠NME＝∠NHK．又∵∠NME＝∠AMN，∠EHG＝∠NHK，∴∠AMN＝∠EHG．6∴tan∠EHG＝tan∠AMN＝53．6由勾股定理可得BD由勾股定理可得BD=5，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得△ADG≌△△A’BG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則∠DFB等于()針對(duì)性練習(xí)上，∠CBD=度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC=∠GBC，∠EBD=∠HBD則∠CBD=90°!折疊前后的對(duì)應(yīng)角相等BCABACADE．12沿BC折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)A’處，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到BC垂直平分AA’，即AF=AA’，又2DE∥BC，得到△ABC∽△ADE，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出三《《對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)DDA'CAGB可》注注意折疊前后角的對(duì)應(yīng)關(guān)系：重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形ABEFDF321CABCDFEC則∠1=度；△EFG*對(duì)折前后對(duì)折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫(huà)出對(duì)折前后的圖形，便于尋找對(duì)折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰△GEFD‘FADFAD532BEBEF(1)求圖②中∠BCB′的大??；(2)圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎請(qǐng)說(shuō)明理由．理清在每一個(gè)折疊過(guò)程中的變與不變;ABCDABCD8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個(gè)三角形的周折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等CDBFEa2A長(zhǎng)長(zhǎng)之和為BMNCB的猜想．)AB'DPMQHN@@注意折疊過(guò)程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角相等BC二、紙片中的折疊\\例題1．如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則∠α的度數(shù)等于()CEAB∠2，根據(jù)翻折不變性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．]∵∠α∵∠α=∠1，∠2=∠1∴∠α=∠2，度的性質(zhì)，注意△EAB是以折痕AB為底的等腰三角形cmBCCAB面積為SS＝AB×CD=22△ABC在折疊問(wèn)題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補(bǔ)充完整，對(duì)于矩形(紙片)折疊，折疊后會(huì)形成“平行線(xiàn)+角平分線(xiàn)”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個(gè)以折痕為底邊的mPQ2意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．在矩形(紙片)折疊問(wèn)題中，會(huì)出現(xiàn)“平行線(xiàn)+角平分線(xiàn)”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為]c中的∠CFE的度數(shù)是()AEDBFCBABEGAFCDEGDCF對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．與CD間的距離為60cm，則原紙片的寬AB是()~CDFFEADBA…4．一根30cm、寬3cm的長(zhǎng)方形紙條，將其按照?qǐng)D示的過(guò)程折疊(陰影部分表示紙條的反面)，為了美觀(guān)，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，則最初折疊時(shí)，求MA的長(zhǎng)FEB三、三角形中的折疊￥CD1起來(lái)，折疊后兩個(gè)小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的．(1)當(dāng)中線(xiàn)CD等于a時(shí)，重疊部分的面積等于；(2)有如下結(jié)論(不在“CD等于a”的限制條件下)：①AC邊的長(zhǎng)可以等于a；②折疊前3等．其中，結(jié)論正確(把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)都填上，若認(rèn)為都不正確填“無(wú)”)．412(1)∵CD=AB213∴S△ABC=2×AC×BC=2a2BABD133D；180°-30°2∠BDC=180°-75°=1052∠BDC=180°-75°=105°∴∠3=105°-75°=30°32B312B3AEDE1∴重疊部分△CDE的面積等于△ABC的面積的43若折疊前△若折疊前△ABC的面積等于21323CH=23CH=a2BC2242E3BABDHBB3∴AH=2a1∴BH=2aCH則tan∠B=BH，得∠B=60°∴△CBD是等邊三角形4:又CB=BC=BD=a，∴CB=AD21C231AD注意“角平分線(xiàn)+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對(duì)比，找出相等的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊(3)如右圖，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，∠3=∠4，DA=DB32又∵∠3+∠4=∠1+∠21則重疊部分△CDE的面積是△ABC面積的22AH322．在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，現(xiàn)把△CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得△C′DE，進(jìn)行探究：(1)如圖(1)把△CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，則求∠1+∠2的和；(2)如圖(2)把△CDE沿DE折疊覆蓋∠A，則求∠1+∠2的和；(3)如圖(3)把△CDE沿DE斜向上折疊，探求∠1、∠2、∠C的關(guān)系．(1)根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根據(jù)三角{(2)連接DG，將∠ADG+∠AGD作為一個(gè)整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求；(3)將∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求．由于等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以在折疊三角形時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形開(kāi)紙片(如圖①)；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，紙片(如圖⑤)．求圖⑤中∠α的大?。?lt;抓住折疊前后圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系//在矩形中的折疊問(wèn)題，通常會(huì)出現(xiàn)“角平邊的等腰三角形探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中∠B的度數(shù)是多少寫(xiě)出你的后的圖形．的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可5．下列圖案給出了折疊一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形紙片(圖1)的全過(guò)程：首先度的和的最小值是()、6．小華將一條1(如圖1)，沿它對(duì)稱(chēng)軸折疊1次后得到(如圖)，再將圖沿它對(duì)稱(chēng)軸折疊圖n+1)一條腰長(zhǎng)為多少．部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．:1111111122122據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系四、平面直角坐標(biāo)系中的折疊(1)求m的值和直線(xiàn)AB的函數(shù)關(guān)系式；B\OPQ為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；DOPQPQOPQtQ圖象上若存在，求Q′的坐標(biāo)和t的(2)①由題意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面積公式可求出解析式；②通過(guò)三角形相似，用t的代數(shù)式表示出O′的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的意義可求出t值．.：m=8×1=8，：：y=，把(8，1)、B(1，8)代入上式得：tOQt=tt:∴△PEO′∽△O′FQ，∴∴==，，{圖形在第一象限，∴t＞0，∴∴t=．定和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的意義和能數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．點(diǎn)，把△AOB沿直線(xiàn)AB翻折后得到△AO′B，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)是(){。6x2．如圖，雙曲線(xiàn)y=(x＞0)經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，∠ABC=90°，OC平分OAx明白折疊中的對(duì)應(yīng)邊就行】OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；yAOBCxD2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解(3)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B″，且使B″D∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．yyBDCxOA/yBCODB'AxyyB1DC3B''Ax2折痕是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)五、圓中的折疊—DSSSOFCO