電子教案CG第七章第7章三維變換及三維觀察提出問題如何對(duì)三維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換如何進(jìn)行投影變換如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)三維圖形進(jìn)行觀察2023/5/2427.1三維變換的基本概念7.1.1三維齊次坐標(biāo)變換矩陣2023/5/2437.1.2幾何變換圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。點(diǎn)的矩陣變換線框圖的變換用參數(shù)方程描述的圖形的變換2023/5/2447.1.3平面幾何投影投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖。觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。2023/5/245投影中心、投影面、投影線：

2023/5/246平面幾何投影可分為兩大類：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的2023/5/2472023/5/2487.1.4觀察投影7.2三維幾何變換2023/5/24107.2.1三維基本幾何變換三維基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換假設(shè)三維形體變換前一點(diǎn)為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。2023/5/24111.平移變換2023/5/24122.比例變換(1)局部比例變換2023/5/2413 例子：對(duì)如圖7-6所示的長(zhǎng)方形體進(jìn)行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長(zhǎng)方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。

2023/5/2414(2)整體比例變換2023/5/24153.旋轉(zhuǎn)變換2023/5/2416(1)繞z軸旋轉(zhuǎn)2023/5/2417(2)繞x軸旋轉(zhuǎn)

2023/5/2418(3)繞y軸旋轉(zhuǎn)2023/5/24194.對(duì)稱變換(1)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱關(guān)于xoy平面進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

2023/5/2420關(guān)于yoz平面的對(duì)稱變換為：2023/5/2421關(guān)于zox平面的對(duì)稱變換為:2023/5/2422(2)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱變換關(guān)于x軸進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

2023/5/2423關(guān)于y軸的對(duì)稱變換為：2023/5/2424關(guān)于z軸的對(duì)稱變換為：2023/5/24255.錯(cuò)切變換

2023/5/2426(1)沿x方向錯(cuò)切

2023/5/2427(2)沿y方向錯(cuò)切2023/5/2428(3)沿z方向錯(cuò)切2023/5/24296.逆變換所謂逆變換即是與上述變換過程的相反的變換(1)平移的逆變換2023/5/2430(2)比例的逆變換局部比例變換的逆變換矩陣為：2023/5/2431整體比例變換的逆變換矩陣為：

2023/5/2432(3)旋轉(zhuǎn)的逆變換2023/5/24337.2.2三維復(fù)合變換三維復(fù)合變換是指圖形作一次以上的變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣相乘。

2023/5/24341.相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換相對(duì)于參考點(diǎn)F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換的過程分為以下三步：(1)將參考點(diǎn)F移至坐標(biāo)原點(diǎn)(2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行二維幾何變換(3)進(jìn)行反平移2023/5/2435例：相對(duì)于F(xf,yf,zf)點(diǎn)進(jìn)行比例變換2023/5/24362.繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換問題：如何求出為TRAB。

2023/5/2437分析：2023/5/2438公式推導(dǎo)：(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)(2)將O'BB'繞x'軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，則O'B旋轉(zhuǎn)到x'o'z'平面上(3)將O'B繞y'軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，則O'B旋轉(zhuǎn)到z'軸上。(4)經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z'軸重合，此時(shí)繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來的位置。2023/5/2439類似地，針對(duì)任意方向軸的變換可用五個(gè)步驟來完成：(1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。(3)針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。(4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。2023/5/24407.3平行投影平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。2023/5/24417.3.1正投影正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖。

三視圖：三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影面分別與X軸、Y軸和Z軸垂直。2023/5/2443正軸測(cè)圖正軸測(cè)有等軸測(cè)、正二測(cè)和正三測(cè)三種。當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等時(shí)為等軸測(cè)；當(dāng)投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角相等時(shí)為正二測(cè)；當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等時(shí)為正三測(cè)。

2023/5/24442023/5/24451.三視圖計(jì)算步驟：(1)確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)(2)引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣(3)將所作變換用矩陣表示，通過運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x',y')或(y',z')(4)由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。

2023/5/24462.主視圖將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。

2023/5/24473.俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1)投影變換(2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90°(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0

2023/5/24484.側(cè)視圖獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。(1)側(cè)視圖的投影變換(2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90°(3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x02023/5/24495.正軸測(cè)圖的投影變換矩陣分析：2023/5/2450公式推導(dǎo)：(1)先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(2)再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角(3)將三維形體向xoy平面作正投影

最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣2023/5/24516.正等測(cè)圖分析：2023/5/2452公式推導(dǎo)： 將α和β的值代入(7-1)式得到正等測(cè)圖的投影變換矩陣：2023/5/24537.正二測(cè)圖分析：2023/5/2454將α值代入(7-1)式得到正二測(cè)圖的投影變換矩陣：

特點(diǎn)分析：2023/5/24557.3.2斜投影斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。2023/5/24562023/5/2457斜軸測(cè)圖的形成通常β=30?取30°或45°。

2023/5/2458斜平行投影的投影變換矩陣為：對(duì)于斜等測(cè)圖有：α=45?,ctgα=1斜二測(cè)圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/22023/5/2459

對(duì)于斜等測(cè)圖有：α=45?,ctgα=1斜二測(cè)圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/22023/5/24602023/5/24617.4透視投影分析：2023/5/24622023/5/2463滅點(diǎn)：不平行于投影面的平行線的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為滅點(diǎn)(VanishingPoint)。坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱作主滅點(diǎn)。一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。2023/5/24642023/5/24657.4.1一點(diǎn)透視分析：要考慮下列幾點(diǎn)：(1)三維形體與畫面（投影面）的相對(duì)位置；(2)視距，即視點(diǎn)（投影中心）與畫面的距離；(3)視點(diǎn)的高度。

2023/5/2466假定視點(diǎn)（投影中心）在原點(diǎn)，畫面（投影面）與z軸垂直（z=d）。

一點(diǎn)透視的步驟：(1)將三維形體平移到適當(dāng)位置l、m、n；(2)令視點(diǎn)在z軸，利用公式(7-2)進(jìn)行透視變換；(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結(jié)果變換到xoy平面上。2023/5/2467例：試?yán)L制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點(diǎn)透視圖。2023/5/24687.4.2二點(diǎn)透視可以這樣來構(gòu)造二點(diǎn)透視的一般步驟：(1)先將三維形體平移到適當(dāng)位置，使視點(diǎn)有一定高度，且使形體的主要表面不會(huì)積聚成線；(2)將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)φ角(φ＜90?)，方向滿足右手定則；(3)進(jìn)行透視變換(4)最后向xoy面作正投影，即得二點(diǎn)透視圖。2023/5/2469例：試?yán)L制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點(diǎn)透視圖。2023/5/24707.4.3三點(diǎn)透視同樣可以簡(jiǎn)單的構(gòu)造三點(diǎn)透視圖：(1)首先將三維形體平移到適當(dāng)位置；(2)將形體進(jìn)行透視變換(3)然后使形體先繞y軸旋轉(zhuǎn)φ角；(4)再繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角；(5)將變形且旋轉(zhuǎn)后的形體向xoy面作正投影。2023/5/24717.5觀察坐標(biāo)系及觀察空間7.5.1觀察坐標(biāo)系觀察參考坐標(biāo)系（ViewReferenceCoordinate）觀察參考點(diǎn)（ViewReferencePoint）2023/5/2472觀察坐標(biāo)系（uvn坐標(biāo)系）的建立法矢量N、法矢量V、法矢量U2023/5/2473觀察平面（ViewPlane），即投影平面。2023/5/24747.5.2觀察空間觀察窗口：

2023/5/2475觀察空間：無(wú)限觀察空間、有限觀察空間2023/5/24762023/5/2477需注意，對(duì)于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。

2023/5/2478觀察平面和前后截面的有關(guān)位置取決于要生成的窗口類型及特殊圖形包的限制2023/5/24792023/5/2480規(guī)范化觀察空間平行投影的規(guī)范化觀察空間定義為：2023/5/2481透視投影的規(guī)范化觀察空間為：

2023/5/24827.6三維觀察流程2023/5/24837.6.1用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換具體變換步驟：(1)平移觀察參考點(diǎn)到用戶坐標(biāo)系原點(diǎn)(2)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換分別讓xv、yv和zv軸對(duì)應(yīng)到用戶坐標(biāo)系中的x、y和z軸。2023/5/24842023/5/24857.6.2平行投影的規(guī)范化投影變換分析：平行投影的規(guī)范化投影變換可由以下三步組成。(1)將投影中心平移到觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)。2023/5/2487(2)對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行錯(cuò)切變換，使投影中心和窗口中心的連線錯(cuò)切到zv軸2023/5/2488(3)進(jìn)行坐標(biāo)的歸一化變換2023/5/24897.6.3透視投影的規(guī)范化投影變換分析：透視投影的規(guī)范化投影變換分兩步進(jìn)行(1)2023/5/2490(2)2023/5/2491變換步驟：(1)將投影中心平移到觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)(2)對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行錯(cuò)切變換2023/5/2492(3)進(jìn)行比例變換。(4)將圖7-34(b)所示的透視投影的規(guī)范化觀察空間變換為圖7-34(a)的平行投影的規(guī)范化觀察空間。

2023/5/24937.7三維裁剪三維裁剪三維裁剪保留所有在觀察空間內(nèi)的圖形以便在輸出設(shè)備中顯示，所有在觀察空間外的圖形被丟棄。三維直線段的裁剪多邊形面的裁剪2023/5/2494四維齊次坐標(biāo)表示的圖形裁剪：一是將齊